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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Mo 09.05.2011 | | Autor: | Dr.Weber |
| Aufgabe | Man berechne die Legendre-Symbole
[mm] (\bruch{10}{13}), (\bruch{26}{59}), (\bruch{-209}{719}), (\bruch{3267}{5563}) [/mm] |
Hey Leute,
also die erste habe ich glaube ich gelöst und zwar:
[mm] \bruch{10}{13} [/mm] = [mm] 10^\bruch{13-1}{2} [/mm] = [mm] 10^6 \equiv [/mm] 1 mod 13
doch bei den nächsten komm ich nicht weiter. Auch weil mein Taschenrechner die größeren Zahlen nicht mehr richtig anzeigen kann. Kann mir jemand helfen und ist das obrige überhaupt richtig?
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Hallo Dr:Weber,
> Man berechne die Legendre-Symbole
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> [mm](\bruch{10}{13}), (\bruch{26}{59}), (\bruch{-209}{719}), (\bruch{3267}{5563})[/mm]
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> Hey Leute,
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> also die erste habe ich glaube ich gelöst und zwar:
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> [mm]\bruch{10}{13}[/mm] = [mm]10^\bruch{13-1}{2}[/mm] = [mm]10^6 \equiv[/mm] 1 mod 13
>
> doch bei den nächsten komm ich nicht weiter. Auch weil
> mein Taschenrechner die größeren Zahlen nicht mehr
> richtig anzeigen kann. Kann mir jemand helfen und ist das
> obrige überhaupt richtig?
Bei der ersten Aufgabe geht das wie folgt:
Stelle zunächst die 6 als Summe von 2er-.Potenzen dar:
[mm]6=2^2+2^{1}[/mm]
Berechne dann:
[mm]10^{2^{0}} \operatorname{mod} \ 13[/mm]
[mm]10^{2^{1}}=10^{2^{0}}*10^{2^{0}} \operatorname{mod} \ 13[/mm]
[mm]10^{2^{2}}=10^{2^{1}}*10^{2^{1}} \operatorname{mod} \ 13[/mm]
Dann ist
[mm]10^{6}=10^{2^{2}}*10^{2^{1}} \operatorname{mod} \ 13[/mm]
Analog geht das für die anderen Legendre-Symbole.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Mo 09.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Man berechne die Legendre-Symbole
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> [mm](\bruch{10}{13}), (\bruch{26}{59}), (\bruch{-209}{719}), (\bruch{3267}{5563})[/mm]
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> Hey Leute,
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> also die erste habe ich glaube ich gelöst und zwar:
>
> [mm]\bruch{10}{13}[/mm] = [mm]10^\bruch{13-1}{2}[/mm] = [mm]10^6 \equiv[/mm] 1 mod 13
>
> doch bei den nächsten komm ich nicht weiter. Auch weil
> mein Taschenrechner die größeren Zahlen nicht mehr
> richtig anzeigen kann. Kann mir jemand helfen und ist das
> obrige überhaupt richtig?
Alternativ zum von MathePower beschriebenen Vorgehen kannst du auch einfach das Reziprokitaetsgesetz und die Multiplikativitaet nutzen und der Eigenschaft, dass [mm] $(\frac{a}{p}) [/mm] = [mm] (\frac{a \text{ mod } p}{p})$ [/mm] ist:
[mm] $(\frac{26}{59}) [/mm] = [mm] (\frac{2}{59}) \cdot (\frac{13}{59}) [/mm] = [mm] (-1)^{...} (\frac{59}{2}) \cdot (-1)^{...} (\frac{59}{13}) [/mm] = [mm] (-1)^{...} (\frac{1}{2}) \cdot (-1)^{...} (\frac{7}{13}) [/mm] = ...$.
LG Felix
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