Zahlentheoretische Funktion < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 So 29.05.2005 | | Autor: | Bonnie |
ist glaub ich zu warm zum denken, ich komme hier gerade nicht weiter:
Für die Teileranzahlfunktion Tau gilt:
[mm] \summe_{d/n} tau(d)^3 [/mm] = ( [mm] \summe_{d/n}tau(d))^2
[/mm]
PS: Tau summiert die Anzahl der positiven Teiler dvon n auf.
die summe geht über alle d die n teilen.
Danke Bonnie
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:36 So 29.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Bonnie!
Die Aufgabe hat mich jetzt fast zwei Stunden gekostet, ich finde sie wirklich nicht trivial. Jetzt aber habe ich sie rausbekommen.
Zunächst einmal macht man sich klar, dass die Aussage für Primzahlpotenzen richtig ist. Die folgt aber sofort aus
[mm] $\sum\limits_{i=1}^n i^3 [/mm] = [mm] \frac{n^2(n+1)^2}{4} [/mm] = [mm] \left(\sum\limits_{i=1}^n i \right)^2$.
[/mm]
Der Rest ist dann nur noch Formsache, wenn man die Multiplikativität von [mm] $\tau$ [/mm] ausnutzt.
Wenn du die Details sehen willst, liefere ich sie gerne nach. 
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 So 29.05.2005 | | Autor: | Bonnie |
Wäre nett wenn du die Details noch liefern könntest!!!
Vielen vielen Dank
Bonnie
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 So 29.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Bonnie!
Es wäre schön gewesen, wenn du etwas genauer geschrieben, was dir jetzt unklar ist. Ich nehme mal an der Teil für die Primzahlpotenzen. Dann will ich das einmal genauer vorrechnen. Es gilt:
[mm] $\sum\limits_{d|p^{\alpha}} \tau(d)^3$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{i=0}^{\alpha} \tau(p^i)^3$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{i=0}^{\alpha} (i+1)^3$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{i=1}^{\alpha+1} i^3$
[/mm]
$= [mm] \frac{(\alpha+1)^2(\alpha+2)^2}{4}$
[/mm]
$= [mm] \left( \sum\limits_{i=1}^{\alpha+1} i \right)^2$
[/mm]
$= [mm] \left( \sum\limits_{i=0}^{\alpha} (i+1) \right)^2$
[/mm]
$= [mm] \left( \sum\limits_{i=0}^{\alpha} \tau(p^i) \right)^2$
[/mm]
$= [mm] \left( \sum\limits_{d|p^{\alpha}}\tau(d) \right)^2$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
|
