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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Di 03.01.2006 | | Autor: | Rio |
| Aufgabe | Reihe a) 10 + 16+19+22+25+28+31
Reihe b) 37+40+43+46+49+52+55+58 |
Moin
frohes Neues euch allen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es sind zwei Zahlenreihen gegeben.
Kann man deren Schnittpunkt berechnen, ohne hochzuzählen? Sie weichen zwar voneinander ab, aber letztlich wachsen sie auf gleiche Weise. Der Schnittpunkt in diesem Beispiel liegt bei
Reihe a) 10 + 16+19+22+25+28
Reihe b) 37+40+43
Vielleicht lassen sie sich in irgendwelche Funktionen packen... In einem Koordinatensystem sieht die erste fast und die zweite Zahlenreihe wie eine Gerade aus. Kann man eigentlich schon anhand der Steigung erkennen. Ich hab sie beide diametral in ein Koordinatensystem eingezeichnet und auf diese Weise den Schnittpunkt graphisch kenntlich gemacht.
Ich muss mich für diesen pseudo-Ansatz entschuldigen, aber mir fällt kein besserer ein.
Dankeschön im Vorraus.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 Di 03.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rio!
Da sind aber so einige Unklarheiten in Deiner Frage.
Zum einen habe ich den Verdacht, dass Du Dich bei der ersten Reihe verschrieben hast. Muss der erste Summand nicht [mm] $1\red{3}$ [/mm] heißen?
Was meinst du genau mit Schnittpunkt?
Dass für dieselbe Anzahl an Gliedern derselbe Summenwert entsteht? Das wird hier nicht klappen, da beide Reihen gleichermaßen anwachsen aber unterschiedliche Startwerte haben.
Oder meinst Du: gibt es Summenwerte, die beide Reihen annehmen?
Bei beiden Reihen (den Tippfehler bei der ersten vorausgesetzt) handelt es sich um um arithmetische Reihen, die folgende allgemeine Formel haben:
$s(n) \ = \ [mm] \bruch{n}{2}*\left[2*a_1 + (n-1)*d\right]$
[/mm]
Damit wird:
[mm] $s_1(n) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n}{2}*\left[2*13 + (n-1)*3\right] [/mm] \ =\ [mm] \bruch{3*n^2+23*n}{2}$
[/mm]
[mm] $s_2(n) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n}{2}*\left[2*37 + (n-1)*3\right] [/mm] \ =\ [mm] \bruch{3*n^2+71*n}{2}$
[/mm]
Damit wird nun klar, dass diese beiden Reihen für dasselbe $n_$ nicht denselben Wert [mm] $s_i(n)$ [/mm] annehmen können.
Die Gerade in dem Koordinatenkreuz entstehen aber auch nur, wenn Du die einzelnen Summanden einträgst. Beii den Gesamtsummen, solltest Du jeweils eine Parabel zu sehen bekommen.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:27 Di 03.01.2006 | | Autor: | Rio |
Hallo Loddar,
danke für die rasche Antwort. Die 10 in der ersten Reihe ist schon richtig. Deswegen meinte ich ja, dass die erste Reihe "fast" eine Gerade bildet und habe die 10 etwas von den anderen Werten distanziert.
Ich habe mir einfach ein Koordinatensystem überlegt. Der y-Achse habe ich größere Werte zugewiesen, sodass ich die Summen der Reihen eintragen kann. Der x-Achse habe ich einfach 1,2,3 usw. zugewiesen.
Die erste Zahl (10) wurde bei der Koordinate x=1, y=10 notiert. Die nächste bei x=2, y=10+16=26. usw. Jetzt kann man am Ende der x-Achse noch eine "y-Achse" hochziehen und eine weitere Zahlenreihe der ersten entgegenwachsen lassen. Dort
wo die Summen sich schneiden ist der Schnittpunkt.
Wie Du siehst bin ich kein Mathematiker und meine Darstellung mit ziemlicher Sicherheit recht dilettantisch. Hoffe das hier ist trotzdem ein wenig nachvollziehbarer.
Ich meinte also eine Formel für: gib einen Summenwert, den beide Reihen einnehmen.
10 + 16+19+22+25+28 = 120
37+40+43 = 120
Grüße
Rio
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 Di 03.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rio!
Zunächst einmal: Deine gesuchte Lösung hast Du ja bereits gefunden. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber durch die "Anomalie" (die 10 als Startwert) lässt sich dieses Problem m.E. nicht über eine geschlossene (Summen-)Formel lösen.
Eine kleine Anmerkung zu Deiner Skizze. Durch den extremen Maßstab von x- und y-Achse scheinen die beiden Kurven jeweils Geraden zu sein.
Wie bereits oben angedeutet, handelt es sich hier aber um "krumme Kurven", nämlich Parabeln. Dies nur zur Info, aber ändert nichts an der graphischn Lösung.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Mi 04.01.2006 | | Autor: | Rio |
Hallo Loddar,
Hab jetzt kapiert was Du mit den Parabeln meintest (ich hau mir auch mit der flachen Hand auf die Stirn ;)
Was ich noch nicht verstanden habe sind die Gleichungen
s(n) ist das der Schnittpunkt oder die Summe ?
n was ist das ?
Wenn Du mir das erklärt hast, werd ich mich aber nicht hauen.
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Mi 04.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rio!
Die beiden Funktionen $s_(n)$ und [mm] $s_2(n)$ [/mm] geben bereits die Summen an.
Dabei ist die Angabe bei [mm] $s_1(n)$ [/mm] nicht korrekt, da wir den Ausreißer bei [mm] $a_1 [/mm] \ = \ 10$ (anstatt: $13_$) vorliegen haben. Hier müsste man mit dem Term $-3_$ korrigieren:
[mm] $s_1(n) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3n^2+23n}{2} [/mm] \ [mm] \red{-3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3n^2+23n-6}{2}$
[/mm]
Die Variable $n_$ gibt an, aus wievielen Summanden die Summe $s(n)_$ besteht.
Beispiel: [mm] $s_2(\red{4}) [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{37+40+43+46}_{n \ = \ \red{4} \ Summanden}$
[/mm]
Nun alle Klarheiten beseitigt? 
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:19 Do 05.01.2006 | | Autor: | Rio |
Hallo Loddar
jepp, nu sind alle Klarheide beseidigt. Bedingt durch die Anomalie (bist Du Treki oder Matrix-Fan ? ;) ist es nicht so ohne weiteres möglich die Anzahl der Stellen zu ermitteln. Aber auch wenn sie nicht existierte, käme man bei der Anordnung auf kein Ergebnis. Wirklich bedauerlich. Die eine Reihe hat n-Anzahl Summanden und die andere m-Anzahl (m hab ich frecherweise eingeführt). Zwei unbekannte Variablen in je einer Gleichung, wobei man beide gleichsetzen kann, da s(n) identisch sein soll.
Es gibt auch keinen Weg beide (n und m) in irgendeiner Weise auf eine Seite zu schaffen und möglichst ungeschminkt dort stehen zu lassen, oder? Eigentlich ist es, abgesehen vom Hochzählen, egal wie man das Problem löst. Die Anzahl der Formeln und Berechnungen mit eingeschlossen.
Vielleicht fällt mir noch ein anderer Weg ein das Problem zu lösen. Die Wahrheit ist nämlich, dass es keine Rückschläge gibt.
Nun, danke für Dein Bemühen Loddar. Ich empfinde das keineswegs als selbstverständlich, was ihr hier veranstaltet.
Grüße
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