Zahlenfolgen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 So 08.05.2011 | | Autor: | marie28 |
| Aufgabe | Untersuche die folgenden Aufgaben auf ihre Monotonie.
[mm] c_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n+2}{n} [/mm]
[mm] a_{1}=3 a_{3}=1,6 a_{5}=1,4 a_{10}=1,2
[/mm]
Vermutung: Z.F. ist monoton fallend |
Die Formel für die mon.fal. Z.F. ist ja
[mm] a_{n+1}-a_{n} \le [/mm] 0
Ich weiß jetzt überhaupt nicht wie ich weiter machen sollte! Kann mir bitte jemand erklähren wie ich jetzt fortfahren muss?!?
Dankeschööön!!!
LG Marie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 So 08.05.2011 | | Autor: | al3pou |
Also für die Monotonie gibt es ja mehrere Kriterien.
1. [mm] a_{n} \ge a_{n+1} [/mm] -> monoton fallend
2. [mm] a_{n} [/mm] > [mm] a_{n+1} [/mm] -> streng monoton fallend
3. [mm] a_{n} \le a_{n+1} [/mm] -> monoton steigend
4. [mm] a_{n} [/mm] < [mm] a_{n+1} [/mm] -> streng monoton steigend
Du gehst jetzt davon aus, dass es sich um eine monoton fallende Folge handelt.
Also gehst du wie folgt vor:
Die Behauptung ist ja, dass
[mm] a_{n} \ge a_{n+1}
[/mm]
Jetzt guckst du erstmal ob das ganze für [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] stimmt. Wenn das für die beiden stimmt, dann muss es ja auch für alle weiteren Glieder stimmen. Also muss auch
[mm] a_{n+1} \ge a_{n+2}
[/mm]
sein.
So jetzt setzt du einfach deine Folge für [mm] a_{n+1} [/mm] bzw [mm] a_{n+2} [/mm] ein und löst die Ungleichung auf.
Bei deiner Folge wäre z.B
[mm] c_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)+2}{(n+1)}
[/mm]
LG
al3pou
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 So 08.05.2011 | | Autor: | marie28 |
Das heist wenn ich jetzt [mm] c_{1+1} [/mm] nehme und für n 1 einsetze kommt 2 raus, genau das gleiche Ergebnis was rauskommt, wenn ich [mm] a_{2} [/mm] ausrechne, oder?
Lg Marie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 So 08.05.2011 | | Autor: | al3pou |
Also du willst in [mm] c_{n+1} [/mm] n=1 einsetzen. Also folgt daraus ja [mm] c_{1+1} [/mm] = [mm] c_{2} [/mm] also ist es so, aber für den Beweis würdest du nichts einsetzen. Du würdest die Ungleichung einfach ausrechnen und am Ende hättest du eine wahre Aussage, wie z.B 1 [mm] \le [/mm] 2 oder sowas und damit ist die Monotonie dann bewiesen oder auch nicht. Kommt ja drauf an, ob es nun wirklich so ist oder nicht.
LG
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