Zahlenfolgen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Mo 26.10.2009 | | Autor: | Crichnoq |
| Aufgabe | an = 24 / (n+2)(n+3)
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich soll beweisen das diese Folge monton fallend ist.
Habe jetzt (an) umgestellt auf (an+1), und habe folgendes raus,
an = 24 / [mm] n^2+7n+12
[/mm]
Nun habe ich (an) und (an+1) gegenübergestellt und ausgerechnet und als Endergebnis: -48 ≤ 144
Das beweißt das die Zahlenfolge monoton fallend ist.
Ich bin mir allerdings nicht ganz sicher ob das stimmt, und bräuchte jetzt mal eine Meinung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 Mo 26.10.2009 | | Autor: | meep |
hi,
ja einfach zeigen, dass [mm] a_{n} \ge a_{n+1} [/mm] -> monoton fallend
in deinem fall wäre das dann [mm] \bruch{24}{(n+2)(n+3)} \ge \bruch{24}{(n+3)(n+4)}
[/mm]
ausrechnen, prüfen ob die aussage wahr ist und falls ja haste ja was du wolltest
mfg
meep
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Mo 26.10.2009 | | Autor: | Crichnoq |
| Aufgabe | | an = 24 / (n+2)(n+3) |
Behauptung: (an) monoton fallend
Beweis:
an+1 ≤ an
[mm] 24/n^2+7n+12 [/mm] ≤ [mm] 24/n^2+5n+6
[/mm]
[mm] 24(n^2+5n+6) [/mm] ≤ [mm] 24(n^2+7n+12)
[/mm]
[mm] 24n^2+120n+144 [/mm] ≤ [mm] 24n^2+168n+288 [/mm] l [mm] -24n^2
[/mm]
120n+144 ≤ 168n+288 l -168n
-48n+144 ≤ 288 l -144
-48n ≤ 144
w. A. Zahlenfolge ist monoton fallend
Ist dieser Lösungsweg richtig oder muss ich mit den beiden letzten Zahlen noch etwas machen (z.B. dividieren oder so ähnlich)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 Mo 26.10.2009 | | Autor: | meep |
[mm] a_{n} \ge a_{n+1} [/mm]
[mm] \bruch{24}{(n+2)(n+3)} \ge \bruch{24}{(n+3)(n+4)}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{(n+2)(n+3)} \ge \bruch{1}{(n+3)(n+4)} [/mm]
nun mit HN durchmultiplizieren ergibt
n + 4 [mm] \ge [/mm] n+2
2 [mm] \ge [/mm] 1
das is ne wahre aussage also stimmt obige behauptung
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Mo 26.10.2009 | | Autor: | Crichnoq |
| Aufgabe | | an = 24 / (n+2)(n+3) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Behauptung: (an) monoton fallend
Beweis:
an+1 ≤ an
[mm] 24/n^2+7n+12 [/mm] ≤ [mm] 24/n^2+5n+6
[/mm]
[mm] 24(n^2+5n+6) [/mm] ≤ [mm] 24(n^2+7n+12)
[/mm]
[mm] 24n^2+120n+144 [/mm] ≤ [mm] 24n^2+168n+288 [/mm] l [mm] -24n^2
[/mm]
120n+144 ≤ 168n+288 l -168n
-48n+144 ≤ 288 l -144
-48n ≤ 144
w. A. Zahlenfolge ist monoton fallend
Ist dieser Lösungsweg richtig oder muss ich mit den beiden letzten Zahlen noch etwas machen (z.B. dividieren oder so ähnlich)?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Mo 26.10.2009 | | Autor: | abakus |
> an = 24 / (n+2)(n+3)
> Behauptung: (an) monoton fallend
>
> Beweis:
> an+1 ≤ an
>
> [mm]24/n^2+7n+12[/mm] ≤ [mm]24/n^2+5n+6[/mm]
>
> [mm]24(n^2+5n+6)[/mm] ≤ [mm]24(n^2+7n+12)[/mm]
>
> [mm]24n^2+120n+144[/mm] ≤ [mm]24n^2+168n+288[/mm] l [mm]-24n^2[/mm]
>
> 120n+144 ≤ 168n+288
> l -168n
>
> -48n+144 ≤ 288
> l -144
>
> -48n ≤ 144
>
> w. A. Zahlenfolge ist monoton fallend
>
>
> Ist dieser Lösungsweg richtig oder muss ich mit den beiden
> letzten Zahlen noch etwas machen (z.B. dividieren oder so
> ähnlich)?
Hallo, dein Lösungsweg ist grundsätzlich verkehrt- aber das kann man reparieren.
Ein Beweis beginnt NIE - ich wiederhole: NIE - mit der Behauptung.
Mögliche Variante 1:
Du beginnst mit deinem Schluss:
Für alle n>0 gilt -48n<144.
Daraus folgt -48n+144<288
...
bis du bei der 1. Zeile deines Beweises ankommst. Dann hast du von einer wahren Aussage auf die Behauptung geschlossen. Achte allerdings darauf, dass an den Stellen, an denen du eine Ungleichung mit irgendwelchen Termen multiplizierst oder dividierst, diese Faktoren ganz sicher positiv sind (sonst wäre eine Fallunterscheidung betreffs möglicher Relationszeichenumkeht nötig).
Variante 2:
Betrachte einfach nur den Term [mm] a_{n+1}-a_n [/mm] und forme ihn so lange um, bis er erkennbar positiv oder negativ ist.
z.B. so:
[mm] a_{n+1}-a_n =\bruch{24}{(n+3)(n+4)}-\bruch{24}{(n+2)(n+3)}
[/mm]
[mm] =\bruch{24(n+2)}{(n+2)(n+3)(n+4)}-\bruch{24(n+4)}{(n+2)(n+3)(n+4)}=\bruch{...}{(n+2)(n+3)(n+4)}
[/mm]
Der Nenner dieses Terms ist für n>0 offensitzlich positiv, du musst also nur noch den Zahler ausrechnen.
Gruß Abakus
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