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Zahlen teilen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:19 Mo 05.10.2009
Autor: alexmeier

Aufgabe
Teile 100 in 2 Summanden deren Summe der Quadrate möglichst klein ist.

Hallo,

ich weiß dass es die Zahlen 50 und 50 sind

aber wie kann ich das mit formeln beweisen?

also mit variablen oder sowas?

viele grüße


        
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Zahlen teilen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:25 Mo 05.10.2009
Autor: schachuzipus

Hallo alexmeier,

> Teile 100 in 2 Summanden deren Summe der Quadrate
> möglichst klein ist.
>  Hallo,
>  
> ich weiß dass es die Zahlen 50 und 50 sind
>  
> aber wie kann ich das mit formeln beweisen?
>  
> also mit variablen oder sowas?

;-)

Ja, genau, nenne die Summanden mal $a$ und $b$

Dann gilt

(1) $a+b=100$

und es soll

(2) [mm] $a^2+b^2$ [/mm] minimal sein

Löse in (1) mal nach $a$ auf und setze es in (2) ein, dann bekommst du in (2) eine Funktion $f(b)=....$, deren Minimum es zu bestimmen gilt.

Und wie das geht (Ableitung ....), das weißt du sicher ...

>  
> viele grüße
>  

LG

schachuzipus

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Zahlen teilen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:34 Mo 05.10.2009
Autor: alexmeier

a=100-b
und eingesetzt: f(b): (100-b)² so?
und dannw weiß ich was du mit ableiten meinst

tut mir leid

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Zahlen teilen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:41 Mo 05.10.2009
Autor: Steffi21

Hallo, du hast [mm] a^{2}+b^{2} [/mm] jetzt hast du für a den Term 100-b eingesetzt

[mm] (100-b)^{2}+b^{2} [/mm]

[mm] 10000-200b+b^{2}+b^{2} [/mm]

[mm] 2*b^{2}-200*b+10000 [/mm]

du kennst keine Ableitung, machen wir es anders, betrachte

[mm] f(b)=2*b^{2}-200*b+10000 [/mm] als Parabel, bestimme davon den Scheitelpunkt,

Steffi

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Zahlen teilen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:45 Mo 05.10.2009
Autor: alexmeier

ich habe deine schrtitte nich so ganz verstande wie du das gemacht hast :(

kannst dus nochmal erklären alsow as dazu sagen?

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Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:59 Mo 05.10.2009
Autor: Herby

Hallo,


Du hattest folgenden Term:

[mm] \red{a}^2+b^2 [/mm]


Jetzt setzt du dort einfach für [mm] \red{a}=100-b [/mm] ein

[mm] (\underbrace{\red{100-b}}_{=a})^2+b^2 [/mm]

Anschließend die Klammer binomisch entwickeln und alles was zusammenpasst dann zusammenfassen

[mm] f(b)=(100-b)^2+b^2=....... [/mm]


Lg
Herby

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Zahlen teilen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:04 Mo 05.10.2009
Autor: alexmeier

also ist der scheitelpunkt dann S(y/y²)
und wie komme ich dann auf die 50?

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Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:08 Mo 05.10.2009
Autor: Herby

Moin,

> also ist der scheitelpunkt dann S(y/y²)
>  und wie komme ich dann auf die 50?

Den Scheitelpunkt erhältst du doch über die quadratische Ergänzung...


.... was war das noch ;-)


Lg
Herby

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Zahlen teilen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:10 Mo 05.10.2009
Autor: alexmeier

ja wozu quadratische ergänzung wenn ich des einfach so in ne binomische formel setzen kann?

(100-b)²+b²

so war doch der eine schritt und das ist doch binomische formel


also b/b²

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Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:16 Mo 05.10.2009
Autor: leduart

Hallo
aber so ist es nicht in Scheitelform, d.h. du kannst den Scheitel nicht ablesen.
Gruss leduart

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Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:15 Mo 05.10.2009
Autor: leduart

Hallo
Vielleicht schreibst du mal statt b x, dann hast du ne Parabel [mm] f(x)=y=(100-x)^2+x^2 [/mm]
die jetzt umformen, bis du die Scheitelform hast. Wo liegt der Scheitel dann? an der Stelle ist y am kleinsten, also eben genau die Summe der Quadrate.
was du mit [mm] (y,y^2) [/mm] als Scheitel meinst weiss ich nicht.
Aber wie man den Scheitel einer parabel findet hast du doch gelernt?
Gruss leduart

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Zahlen teilen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:42 Mo 05.10.2009
Autor: alexmeier

ich weiß es nich könnt ihr mir helfen?

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Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:05 Mo 05.10.2009
Autor: Steffi21

Hallo, wir hatten ja gesagt, für b schreiben wir x

[mm] f(x)=(100-x)^{2}+x^{2} [/mm]

[mm] f(x)=10000-200x+x^{2}+x^{2} [/mm]

[mm] f(x)=2x^{2}-200x+10000 [/mm]

[mm] f(x)=2*(x^{2}-100x+5000) [/mm]

[mm] f(x)=2*(x^{2}-100x+2500+2500) [/mm]

[mm] x^{2}-100x+2500 [/mm] ist ein Binom

[mm] f(x)=2*((x-50)^{2}+2500) [/mm]

[mm] f(X)=2*(x-50)^{2}+5000 [/mm]

jetzt kannst du den Scheitelpunkt ablesen S(50; 5000), interessant die dabei x-Koordinate,

Steffi







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Zahlen teilen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:13 Mo 05.10.2009
Autor: abakus


> Teile 100 in 2 Summanden deren Summe der Quadrate
> möglichst klein ist.
>  Hallo,
>  
> ich weiß dass es die Zahlen 50 und 50 sind
>  
> aber wie kann ich das mit formeln beweisen?

Hallo Alex,
die bisherigen Ansätze sind auch mir etwas zu kompliziert.
Die Summe von zwei Zahlen soll 100 sein.
Das geht mit 50+50, aber auch mit 47+53 oder mit 40+60 oder ...
Egal, wie groß du die beiden Zahlen wählst, sie sind IM DURCHSCHNITT 50. Sollte die eine etwas größer sein als 50, so ist die andere entsprechend kleiner als 50.
Man kann also sagen: Wenn a=50-x ist, dann ist b=50+x (x ist das Stück, um das sich a und b von 50 unterscheiden).
Soweit klar?
[mm] a^2+b^2 [/mm] ist dann [mm] (50-x)^2+(50+x)^2. [/mm]
Bitte multipliziere diese beiden Summanden mit der binomischen Formel aus und vereinfache so weit wie möglich. dann hast du fast das gewünschte Ergebnis.
Gruß Abakus

>  
> also mit variablen oder sowas?
>  
> viele grüße
>  


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