Zahlen mit Basen umrechnen < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:07 Do 31.10.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Wie wir unter anderem aus Aufgabe 1 wissen, ist die Umrechnung einer Zahl in der Darstellung von einer Basis in die andere nicht immer einfach. Es gibt jedoch Falle, in denen das einfacher als oben geht: Wir betrachten einmal die Zahlen {0, ... , 16} in den Basen 2, 4 und 10.
(Jetzt stehen hier halt die Zahlen dargestellt in den Basen 10, 4 und 2)
Können Sie einen Zusammenhang zwischen der Darstellung zur Basis 4 und der zur Basis 2 erkennen (Hinweis: Beachten Sie die Gruppierung der Ziff ern)?
Notieren Sie Ihre Beobachtung als mathematische Aussage über die Zahldarstellung und beweisen Sie, dass sie wahr ist. Nutzen Sie die gefundene Aussage, um 101001101011001012 zur Basis 4 und 130210312014 zur Basis 2 darzustellen.
Welcher Zusammenhang muss zwischen zwei Basen q und r bestehen, damit ein ahnlicher Umwandlungstrick wie oben klappt? Beweisen Sie Ihre Behauptung!
Also ich habe keinerlei Anhaltspunkte, wie ich an diese Aufgabe rangehen muss.... Habe probiert, mir via Google Hilfe zu verschaffen, aber irgendwie habe ich zu dem Thema nur folgendes gefunden:
Habe ich eine Zahl zur Basis 9 und soll die in eine Zahl umrechnen zur Basis 3, ist klar, dass [mm] 3^2 [/mm] = 9.
Also ist 9 ein Vielfaches von 3. Da es [mm] 3^2 [/mm] ist, muss ich die gegebene Zahl in 2 Blöcke unterteilen, von links nach rechts und diese Blöcke in die Basis 3 umrechnen und dann zusammenfügen.
Ich hab das mit mehreren Beispielen probiert aber irgendwie will das nicht funktionieren.
Wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte. Beim Umrechnen von einer Zahl zur Basis a in eine Zahl zur Basis b ist mir bis jetzt nur der Weg bekannt, dass man erst ins Dezimalsystem umrechnet und dann in das gesuchte.
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Beim Hexadezimalsystem kann man eine ziffer nehmen und in das jeweilige 4er-packet der jeweiligen Binärzahl umwandeln.
AFh = 10101111b
anders herum entsprechend auch.
Vielleicht ist da eine ähnliche Beziehung
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> Wie wir unter anderem aus Aufgabe 1 wissen, ist die
> Umrechnung einer Zahl in der Darstellung von einer Basis in
> die andere nicht immer einfach. Es gibt jedoch Falle, in
> denen das einfacher als oben geht: Wir betrachten einmal
> die Zahlen {0, ... , 16} in den Basen 2, 4 und 10.
>
> (Jetzt stehen hier halt die Zahlen dargestellt in den Basen
> 10, 4 und 2)
>
> Können Sie einen Zusammenhang zwischen der Darstellung zur
> Basis 4 und der zur Basis 2 erkennen (Hinweis: Beachten Sie
> die Gruppierung der Ziff ern)?
>
>
> Notieren Sie Ihre Beobachtung als mathematische Aussage
> über die Zahldarstellung und beweisen Sie, dass sie wahr
> ist. Nutzen Sie die gefundene Aussage, um
> 101001101011001012 zur Basis 4 und 130210312014 zur Basis 2
> darzustellen.
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> Welcher Zusammenhang muss zwischen zwei Basen q und r
> bestehen, damit ein ahnlicher Umwandlungstrick wie oben
> klappt? Beweisen Sie Ihre Behauptung!
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> Also ich habe keinerlei Anhaltspunkte, wie ich an diese
> Aufgabe rangehen muss.... Habe probiert, mir via Google
> Hilfe zu verschaffen, aber irgendwie habe ich zu dem Thema
> nur folgendes gefunden:
>
> Habe ich eine Zahl zur Basis 9 und soll die in eine Zahl
> umrechnen zur Basis 3, ist klar, dass [mm]3^2[/mm] = 9.
>
> Also ist 9 ein Vielfaches von 3. Da es [mm]3^2[/mm] ist, muss ich
> die gegebene Zahl in 2 Blöcke unterteilen, von links nach
> rechts und diese Blöcke in die Basis 3 umrechnen und dann
> zusammenfügen.
>
> Ich hab das mit mehreren Beispielen probiert aber irgendwie
> will das nicht funktionieren.
Du schreibst beim Beispiel mit den Basen 9 und 3 nur,
dass 9 ein Vielfaches von 3 sei. Wahrscheinlich meinst
du aber nicht bloß dies, sondern dass 9 eine Potenz von
3 ist !
Obwohl beispielsweise 10 ein Vielfaches von 2 (oder auch von 5)
ist, sind die Umrechnungen zwischen den Basen 2 und 10 oder
auch 5 und 10 nicht zum "Spartarif" zu haben.
Eine Umrechnung zwischen Oktalsystem (Basis 8) und
HEX (Basis 16) würde man (ohne Zuhilfenahme eines
Rechners mit eingebautem Umrechnungsalgorithmus) am
besten mit einem Zwischenschritt über das Binärsystem
(Basis 2) machen, da [mm] 8=2^3 [/mm] und [mm] 16=2^4. [/mm] Man kann
also zuerst jede Ziffer der Zahl im System zur Basis 8
in je 3 Binärziffern umschreiben, dann die erhaltenen
Binärziffern neu in Vierergruppen zusammenfassen und
dann jede solche Vierergruppe in eine HEX-Ziffer umschreiben.
Beispiel:
$\ [mm] 2674_{oct}\ [/mm] =\ [mm] 10'110'111'100_{bin}\ [/mm] =\ [mm] 101'1011'1100_{bin}\ [/mm] =\ [mm] 5BC_{hex}$
[/mm]
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Do 31.10.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Potenz meinte ich auch. Manchmal sollte man alles wirklich genau hinschreiben. 
Okay, also den Ansatz habe ich verstanden.
Da 8 = [mm] 2^3 [/mm] ist, muss ich Dreierblöcke bilden, da die Potenz 3 ist. Dann dividiere ich die einzelnen Blöcke durch 2, bis irgendwann nichts mehr zu teilen geht und erhalte:
[mm] 2674_8 [/mm] = [mm] 10110111100_2
[/mm]
Das Ergebnis unterteile ich nun in Viererblöcke, da [mm] 2^4 [/mm] = 16 ist.
Was ich jetzt aber nicht hinbekomme, ist von [mm] 101´1011´1100_2 [/mm] auf 5BC_16 zu kommen... Was muss ich dafür machen?
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> Potenz meinte ich auch. Manchmal sollte man alles wirklich
> genau hinschreiben.
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> Okay, also den Ansatz habe ich verstanden.
>
> Da 8 = [mm]2^3[/mm] ist, muss ich Dreierblöcke bilden, da die
> Potenz 3 ist. Dann dividiere ich die einzelnen Blöcke
> durch 2, bis irgendwann nichts mehr zu teilen geht und
> erhalte:
>
> [mm]2674_8[/mm] = [mm]10110111100_2[/mm]
>
> Das Ergebnis unterteile ich nun in Viererblöcke, da [mm]2^4[/mm] =
> 16 ist.
>
> Was ich jetzt aber nicht hinbekomme, ist von
> [mm]101'1011'1100_2[/mm] auf [mm] 5BC_{16} [/mm] zu kommen... Was muss ich
> dafür machen?
$\ [mm] 101_{bin}\ [/mm] =\ [mm] 1*2^2+0*2^1+1*2^0\ [/mm] = [mm] 5_{dez}\ [/mm] =\ [mm] 5_{hex}$
[/mm]
$\ [mm] 1011_{bin}\ [/mm] =\ [mm] 1*2^3+0*2^2+1*2^1+1*2^0\ [/mm] = [mm] 11_{dez}\ [/mm] =\ [mm] B_{hex}$ [/mm]
$\ [mm] 1100_{bin}\ [/mm] =\ [mm] 1*2^3+1*2^2+0*2^1+0*2^0\ [/mm] = [mm] 12_{dez}\ [/mm] =\ [mm] C_{hex}$
[/mm]
(Dezimaldarstellung nur als Hilfe mit einbezogen !)
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Do 31.10.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Also stelle ich die einzelnen Blöcke als Dezimaldarstellung dar und wenn ich sie nebeneinanderschreibe, kommt in diesem Falle die Hexadezimaldarstellung..
Also kann ich das quasi für jedes System übernehmen, was Basen hat, die so miteinander verbunden sind?
3 und 9 bzw 27
4 und 16
5 und 25
2 und 4/8/16...
Wie könnte denn hier ein eventueller Ansatz für einen formellen Beweis aussehen?
Auf jeden Fall erstmal vielen Dank. :)
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> Also stelle ich die einzelnen Blöcke als
> Dezimaldarstellung dar und wenn ich sie
> nebeneinanderschreibe, kommt in diesem Falle die
> Hexadezimaldarstellung..
Da scheinst du etwas missverstanden zu haben. Im
Beispiel habe ich die dezimale Darstellung nur auch
noch dazu geschrieben, weil sie unseren Gewohn-
heiten entgegenkommt. Insbesondere, weil uns die
Ziffern A,B,C, ... des Hexadezimalsystems nicht
so vertraut sind.
> Also kann ich das quasi für jedes System übernehmen, was
> Basen hat, die so miteinander verbunden sind?
>
> 3 und 9 bzw 27
> 4 und 16
> 5 und 25
> 2 und 4/8/16...
Ja, das geht (und eben, auch ohne Umweg über das
Dezimalsystem !)
> Wie könnte denn hier ein eventueller Ansatz für einen
> formellen Beweis aussehen?
Brauchst du denn einen formellen Beweis ? Macht der
irgendetwas klarer als ein paar gute, geeignete Beispiele ?
Natürlich ist es auch möglich, das Ganze "formal"
aufzuziehen. Das würde dann beispielsweise
etwa so anfangen:
Seien [mm] a,b,c,k\in\IN_0 [/mm] mit [mm] b\ge2 [/mm] , [mm] k\ge2 [/mm] , [mm] c=b^k [/mm]
mit $\ a\ =\ [mm] \summe_{i=0}^{n} u_i*b^i\qquad mit\quad u_i\in\{0,1,\,...\,b-1\,\}$
[/mm]
und $\ a\ =\ [mm] \summe_{k=0}^{m} v_k*c^k\qquad mit\quad v_k\in\{0,1,\,...\,c-1\,\}$
[/mm]
Dann gilt (für die und die i bzw. k ...)
$\ [mm] v_k\ [/mm] = [mm] \summe_{j=\,...}^{...} u_j*b^{\,...}$
[/mm]
Ich erspare mir jetzt aber die weiteren Details ...
LG , Al-Chw.
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