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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:21 Fr 10.06.2005 | | Autor: | Binu |
Hallo an alle!
Stecke mal wieder total fest an meinen Übungsaufgaben ;-( Hoffe mir kann jemand helfen..
Aufgabe 1) Geben sie für die angegebenen Zahlen die 27.Stelle hinter dem Komma an, und entscheiden sie, ob es sich um eine rationale oder irrationale Zahl handelt:
a:= 0.2323232323...
b:= 0.2323323332...
c:= 0.2223232323...
d:= 0.1001000010000001...
(Lösungsansatz: Kann ich nun einfach die Zahlenfolgen entsprechend auf die 27. Kommastelle verlängern oder muss ich das rechnerisch machen?)
Aufgabe 2) Geben sie für die Zahl d aus Aufgabe 1 die Ziffernfolge [mm] (a_{n})n [/mm] Element natürliche Zahlen an, für die gilt:
d= [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} *(1/10)^{n}
[/mm]
(Lösungsansatz: Muss man das durch probieren rausfinden oder gibt es auch hier einen Rechnenweg?)
Aufgabe 3a) Bestimmen sie alle Zahlen k Element natürliche Zahlen, für die 1/kFakultät /le [mm] (1/2)^{k}
[/mm]
(Lösungsansatz: Habe durch probieren herausgefunden, dass dies erst für k grösser gleich 4 gilt und möchte dies nun mit Hilfe der Induktion beweisen, aber starte ich meine Induktion nun mit k=1 oder mit k=4 und wie komme ich dann von 1/4Fakultät wieder auf [mm] (1/2)^{k}?)
[/mm]
Aufgabe 3b) Zeigen sie, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt:
[mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] 1/kFakultät < 67/24, und geben sie 67/24 als Dezimalbruch an.
(Lösungsansatz: Habe 67/24 als Dezimalbruch ausgerechnet /approx 2,791667, aber wie kann ich das nun zeigen?)
Ich danke euch im vorraus - Mfg
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Grüße!
Hui, soviele Fragen auf einmal... 
Ich werde mal versuchen, darauf einzugehen.
> Aufgabe 1) Geben sie für die angegebenen Zahlen die
> 27.Stelle hinter dem Komma an, und entscheiden sie, ob es
> sich um eine rationale oder irrationale Zahl handelt:
> a:= 0.2323232323...
> b:= 0.2323323332...
> c:= 0.2223232323...
> d:= 0.1001000010000001...
>
> (Lösungsansatz: Kann ich nun einfach die Zahlenfolgen
> entsprechend auf die 27. Kommastelle verlängern oder muss
> ich das rechnerisch machen?)
Naja, ich denke die Aufgabe ist schon so gedacht, dass man "raten" soll, wie es weitergeht. Es ist ja nicht schwer, das jeweilige System zu entdecken, auch wenn ich solche Aufgaben nicht mag - denn "theoretisch" könnte es ja auch ganz anders weitergehen. Aber hier wird es wohl so gemeint sein.
Übrigens sollte aus der Vorlesung bekannt sein, dass ein Dezimalbruch genau dann eine rationale Zahl ist, wenn er (irgendwann) periodisch ist.
> Aufgabe 2) Geben sie für die Zahl d aus Aufgabe 1 die
> Ziffernfolge [mm](a_{n})n[/mm] Element natürliche Zahlen an, für die
> gilt:
>
> d= [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n} *(1/10)^{n}[/mm]
>
> (Lösungsansatz: Muss man das durch probieren rausfinden
> oder gibt es auch hier einen Rechnenweg?)
Das ist nur eine Formalisierung der Überlegung aus der ersten Aufgabe. Die Nachkommastellen bestehen ja aus 1 oder 0, wobei die 1 nur an bestimmten Stellen auftritt. Du mußt jetzt herausfinden, an welchen genau und dann gilt für diese $n$ eben [mm] $a_n [/mm] = 1$ und für alle anderen gilt [mm] $a_n [/mm] = 0$.
> Aufgabe 3a) Bestimmen sie alle Zahlen k Element natürliche
> Zahlen, für die 1/kFakultät /le [mm](1/2)^{k}[/mm]
>
> (Lösungsansatz: Habe durch probieren herausgefunden, dass
> dies erst für k grösser gleich 4 gilt und möchte dies nun
> mit Hilfe der Induktion beweisen, aber starte ich meine
> Induktion nun mit k=1 oder mit k=4 und wie komme ich dann
> von 1/4Fakultät wieder auf [mm](1/2)^{k}?)[/mm]
Naja, für die ersten ist es ja schlicht falsch - daher mach Deinen Induktionsanfang mit $k = 4$. Für den Induktionsschritt spielt das ja keine Rolle, da Du dort ja ohnehin von beliebigem $k$ auf $k + 1$ schließt.
> Aufgabe 3b) Zeigen sie, dass für alle natürlichen Zahlen n
> gilt:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}[/mm] 1/kFakultät < 67/24, und geben sie 67/24
> als Dezimalbruch an.
>
> (Lösungsansatz: Habe 67/24 als Dezimalbruch ausgerechnet
> /approx 2,791667, aber wie kann ich das nun zeigen?)
Das geht mit Aufgabe a): die ersten 3 Summanden läßt Du stehen und für den Rest kannst Du benutzen, dass [mm] $\frac{1}{k!} \leq \left( \frac{1}{2}\right)^k$. [/mm] Dann erhältst Du eine geometrische Reihe (bzw. den Rest davon), deren Wert Du (aus der Vorlesung?) kennst.
Viel Erfolg!
Lars
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Hi,
noch eine Ergänzung zu 3b)
> Aufgabe 3b) Zeigen sie, dass für alle natürlichen Zahlen n
> gilt:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}[/mm] 1/kFakultät < 67/24, und geben sie 67/24
> als Dezimalbruch an.
>
> (Lösungsansatz: Habe 67/24 als Dezimalbruch ausgerechnet
> /approx 2,791667, aber wie kann ich das nun zeigen?)
>
Vielleicht weißt du, daß [mm]\sum_{i=0}^\infty\bruch{1}{k!}=e[/mm]. Und da bekanntlich [mm] e=2.718281828<2.791666667=\bruch{67}{24}[/mm] ist, folgt die Behauptung
mfg
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