Z[w] euklidisch? < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] \rho=e^{2\pi i/3}, \IZ[\rho]\subset\IC. [/mm] Beweisen Sie, dass der Ring [mm] \IZ[\rho] [/mm] euklidisch bezüglich der Normfunktion [mm] N(m+ni)=m^2+n^2 [/mm] ist. |
In einem anderen Thread ging es um [mm] \IZ[i] [/mm] - das war irgendwie noch anschaulich klar. Aber [mm] \rho [/mm] ist leider [mm] -0,5+\bruch{\sqrt{3}}{2}i...
[/mm]
Grundsätzlich weiß ich, was zu zeigen ist: sind [mm] d,f\in\IZ[\rho], d\neq [/mm] 0, dann muss ich q,r finden mit f=qd+r, wobei N(r) < N(d). Aber wie kann ich zeigen, dass diese q,r existieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Fr 26.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]\rho=e^{2\pi i/3}, \IZ[\rho]\subset\IC.[/mm] Beweisen Sie,
> dass der Ring [mm]\IZ[\rho][/mm] euklidisch bezüglich der
> Normfunktion [mm]N(m+ni)=m^2+n^2[/mm] ist.
> In einem anderen Thread ging es um [mm]\IZ[i][/mm] - das war irgendwie
> noch anschaulich klar. Aber [mm]\rho[/mm] ist leider
> [mm]-0,5+\bruch{\sqrt{3}}{2}i...[/mm]
> Grundsätzlich weiß ich, was zu zeigen ist: sind
> [mm]d,f\in\IZ[\rho], d\neq[/mm] 0, dann muss ich q,r finden mit
> f=qd+r, wobei N(r) < N(d). Aber wie kann ich zeigen, dass
> diese q,r existieren?
Ich denke man macht das genauso wie bei [mm] $\IZ[i]$: [/mm] Dort ist ja der Trick, dass du zuerst [mm] $\frac{f}{d} \in \IC \setminus \{ 0 \}$ [/mm] anschaust und dann $q$ als das ''naechste'' Element aus [mm] $\IZ[\rho]$ [/mm] nimmst. Und dann hast du $f = d [mm] \cdot \frac{f}{d} [/mm] = d (q + [mm] (\frac{f}{d} [/mm] - q)) = q d + (f - q d)$. Jetzt musst du noch zeigen, dass $N(f - q d) < N(d)$ ist, also dass [mm] $N(\frac{f}{d} [/mm] - q) < N(1) = 1$ ist.
Du musst also zeigen, dass es zu jedem Element $x$ aus [mm] $\IC$ [/mm] ein Element $y$ aus [mm] $\IZ[\rho] \subseteq \IC$ [/mm] mit $N(x - y) < 1$, also mit $|x - y| < 1$ (normaler Betrag fuer komplexe Zahlen).
LG Felix
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