Z[sqrt(-3)] zeichnen, ZPE-Ring < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Fr 07.12.2012 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | | Sei [mm] R_1 [/mm] = [mm] \IZ[\wurzel{-3}]. [/mm] Zeichnen Sie in einem Ausschnitt der Gaußschen Zahlenebene die Elemente von [mm] R_1 [/mm] ein. Zeigen Sie weiter, dass [mm] R_1 [/mm] kein ZPE-Ring ist. |
Hallo.
Ich weiss bereits, wie [mm] \IZ[\wurzel{-1}]=\IZ[i] [/mm] aussieht (Gaußsche Zahlen). Jetzt ist nur die Frage wie man allgemein [mm] \IZ[\wurzel{n}], [/mm] n [mm] \in \IZ, [/mm] ausschnittsweise zeichnen kann, zum Besipiel [mm] \IZ[\wurzel{-3}].[/mm] ![[]](/images/popup.gif) Hier auf der y-Achse (Imaginärachse) das 1i, 2i, 3i, ... durch [mm] 1\wurzel{-3},\; 2\wurzel{-3}, [/mm] ... zu ersetzen kommt mir ein wenig zu einfach vor. Reicht das oder wie muss man da vorgehen?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:08 Sa 08.12.2012 | | Autor: | triad |
Hallo nochmal.
Im zweiten Teil soll man zeigen, dass [mm] R_1 [/mm] = [mm] \IZ[\wurzel{-3}] [/mm] kein ZPE-Ring ist, es also ein irreduzibles Element darin gibt, welches aber kein Primelement ist. Ich habe zunächst versucht dies für die 2 zu zeigen und ein bisschen herumgerechnet, aber ohne Erfolg. Ich denke für die 2 geht das hier nicht. Anstatt jetzt andere Zahlen zu vermuten und zu überprüfen, frage ich mich, ob es nicht einen Weg gibt, solche irreduziblen Elemente, die keine Primelemente sind, zu bestimmen. Kann da jemand weiterhelfen?
gruß triad
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> Hallo nochmal.
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> Im zweiten Teil soll man zeigen, dass [mm]R_1[/mm] =
> [mm]\IZ[\wurzel{-3}][/mm] kein ZPE-Ring ist, es also ein
> irreduzibles Element darin gibt, welches aber kein
> Primelement ist. Ich habe zunächst versucht dies für die
> 2 zu zeigen und ein bisschen herumgerechnet, aber ohne
> Erfolg. Ich denke für die 2 geht das hier nicht. Anstatt
> jetzt andere Zahlen zu vermuten und zu überprüfen, frage
> ich mich, ob es nicht einen Weg gibt, solche irreduziblen
> Elemente, die keine Primelemente sind, zu bestimmen. Kann
> da jemand weiterhelfen?
>
>
> gruß triad
Felix hat vor 4 Tagen schon einmal genau zu diesem Thema eine ausfürhliche Antwort verfasst:
https://matheraum.de/read?i=932949
Mittels Normfunktion kommt man schnell ans Ziel.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:23 Sa 08.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \wurzel{3} [/mm] ist die Höhe im gleichseitigen Dreieck Seite 2
du hast ein Rechteckiges Gitter, das man leicht durch diese 60° geraden und die waagerechten dazu konstruieren kann.
zu der anderen Frage 2*2=4 und [mm] (1+i\wurzel{3})*(1-i\wurzel{3})=4
[/mm]
Gruss leduart
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 14:22 So 09.12.2012 | | Autor: | wieschoo |
> Hallo
> [mm]\wurzel{3}[/mm] ist die Höhe im gleichseitigen Dreieck Seite
> 2
> du hast ein Rechteckiges Gitter, das man leicht durch
> diese 60° geraden und die waagerechten dazu konstruieren
> kann.
> zu der anderen Frage 2*2=4 und
> [mm](1+i\wurzel{3})*(1+i\wurzel{3})=4[/mm]
> Gruss leduart
Du wolltest sicherlich [mm](1+i\wurzel{3})*(1\blue{-}i\wurzel{3})=4[/mm] tippen.
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![[]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7d/Gaussian_integer_lattice.png){kind=small}
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