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Hallöchen,
ich bin immer noch am durch arbeiten meines Vorlesungsskriptes und bin auf eine kleine Zwischenfrage bei einem Beweis gestoßen und zwar geht es um den Satz:
[mm] \IZ [/mm] /m [mm] \IZ [/mm] ist Körper [mm] \gdw [/mm] m=p=Primzahl
Bei meinem Problem geht es nun um die Rückrichtung und zwar haben wir wie folgt argumentiert.
Sei [mm] \overline{a} \not= [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] p teilt nicht a.
Dann ist der ggT(p,a)=1. Mithilfe des euklidischen Algorithmuses erhalten wir Zahlen x,y [mm] \in \IZ, [/mm] sodaa
[mm] \overline{1} [/mm] = [mm] \overline{x} \overline{p} [/mm] + [mm] \overline{y} \overline{a}.
[/mm]
Betrachten wir diese Gleichung modulo p erhalten wir:
ay [mm] \equiv [/mm] 1 mod p
Also ist (ay+p [mm] \IZ)=(1+p \IZ). [/mm] Also auch [mm] (a+p\IZ)(y+p\IZ)=ay+p\IZ=1+p\IZ
[/mm]
Mein Problem ist einfach das ich überhaupt nicht sehe wie ich hiermit gezeigt habe das [mm] \IZ/m\IZ [/mm] ein Körper ist. KAnn mir das bitte jemand erklären? Ich verstehe die einzelnen Schritte des Beweises verstehe nur nicht wo jetzt eigentlich die Aussage folgt oder fehlt noch irgendwas?
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Sa 14.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ich bin immer noch am durch arbeiten meines
> Vorlesungsskriptes und bin auf eine kleine Zwischenfrage
> bei einem Beweis gestoßen und zwar geht es um den Satz:
> [mm]\IZ[/mm] /m [mm]\IZ[/mm] ist Körper [mm]\gdw[/mm] m=p=Primzahl
>
> Bei meinem Problem geht es nun um die Rückrichtung und
> zwar haben wir wie folgt argumentiert.
>
> Sei [mm]\overline{a} \not=[/mm] 0 [mm]\gdw[/mm] p teilt nicht a.
> Dann ist der ggT(p,a)=1. Mithilfe des euklidischen
> Algorithmuses erhalten wir Zahlen x,y [mm]\in \IZ,[/mm] sodaa
> [mm]\overline{1}[/mm] = [mm]\overline{x} \overline{p}[/mm] + [mm]\overline{y} \overline{a}.[/mm]
>
> Betrachten wir diese Gleichung modulo p erhalten wir:
> ay [mm]\equiv[/mm] 1 mod p
> Also ist (ay+p [mm]\IZ)=(1+p \IZ).[/mm] Also auch
> [mm](a+p\IZ)(y+p\IZ)=ay+p\IZ=1+p\IZ[/mm]
>
> Mein Problem ist einfach das ich überhaupt nicht sehe wie
> ich hiermit gezeigt habe das [mm]\IZ/m\IZ[/mm] ein Körper ist. KAnn
Das [mm] $\IZ/m\IZ$ [/mm] ein kommutativer Ring mit Eins ist solltest du schon wissen.
Hier wird gezeigt, dass jedes Element [mm] $\neq [/mm] 0$ in diesem Ring (falls $m = p$ prim ist) ein multiplikativ Inverses hat, also eine Einheit ist.
Und ein Koerper ist per Definition ein kommutativer Ring mit Eins, in dem jedes Element [mm] $\neq [/mm] 0$ eine Einheit ist.
LG Felix
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Ohhhhhhhhh, danke. Ich war so in diesem Restklassen rechnen, dass mir gar nicht aufgefallen ist das ich das gezeigt habe.
Danke schön.
Liebe Grüße
Schmetterfee
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