ZPE-Ring <=> Primideal... < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:48 Di 22.06.2010 | | Autor: | malamala |
| Aufgabe | Ein Integritätsring R ist genau dann ein ZPE-Ring ist, falls jedes Primideal P
von R mit P != {0} ein Primelement besitzt. |
Hallo,
die Hinrichtung der Äquivalenz ist mir klar, jedoch habe ich keinen fruchtbaren Ansatz für die Rückrichtung gefunden.
Gruß,
malamala
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:55 Mi 23.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ein Integritätsring R ist genau dann ein ZPE-Ring ist,
> falls jedes Primideal P
> von R mit P != {0} ein Primelement besitzt.
>
> die Hinrichtung der Äquivalenz ist mir klar, jedoch habe
> ich keinen fruchtbaren Ansatz für die Rückrichtung
> gefunden.
Schau dir mal die Menge $S := [mm] R^\ast \cup \{ \prod_{i=1}^n p_i \mid p_1, \dots, p_n \text{ sind Primelemente } \}$ [/mm] an. Es ist zu zeigen, dass $S = R [mm] \setminus \{ 0 \}$ [/mm] ist.
Angenommen, dies waere nicht der Fall. Dann kannst du ein Primideal $P$ finden mit $P [mm] \cap [/mm] S = [mm] \emptyset$. [/mm] Dies ist ein Widerspruch. (Warum?)
LG Felix
PS: Die Aussage ist ein bekanntes Theorem eines gewissen Herrn K.
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