Z15 - Zahlensystem mit Inverse < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 So 27.01.2008 | | Autor: | sign |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie [mm] \IZ_{15}* [/mm] und geben Sie für alle Elemente aus [mm] \IZ_{15}* [/mm] die zugehörigen multiplikativen Inversen an. |
Also die Aufgabenstellung ist ja eigentlich relativ easy, aber ich habe trotzdem Probleme bei der Lösung *grml* (habe auch schon die Lösung offiziell bekommen, kann sie halt nicht nachvollziehen)
Es besitzen genau die Elemente [i] [mm] \in \IZ_{15} [/mm] ein Inverses, für die
ggT(15, i) = 1 gilt.
Also rechnen wir:
ggT(15, 0) = 15,
ggT(15, 1) = 1,
ggT(15, 2) = 1,
ggT(15, 3) = 3,
ggT(15, 4) = 1,
ggT(15, 5) = 5,
ggT(15, 6) = 3,
ggT(15, 7) = 1,
ggT(15, 8) = 1,
ggT(15, 9) = 3,
ggT(15, 10) = 5,
ggT(15, 11) = 1,
ggT(15, 12) = 3,
ggT(15, 13) = 1,
ggT(15, 14) = 1.
Daraus ergibt sich:
[mm] \IZ_{15}* [/mm] = {[1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]}.
Dafür die Inverse:
[mm] 1^{-1} [/mm] = 1,
[mm] 2^{-1} [/mm] = 8,
[mm] 4^{-1} [/mm] = 4,
[mm] 7^{-1} [/mm] = 13,
[mm] 8^{-1} [/mm] = 2,
[mm] 11^{-1} [/mm] = 11,
[mm] 13^{-1} [/mm] = 7,
[mm] 14^{-1} [/mm] = 14.
Meine Frage: Wie kommt man auf die Inverse?! Also die rechts stehenden Ergebnisse... Ich hab schon alles mögliche probiert..
Bitte um Hilfe!
lg
lars
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo sign!
> Bestimmen Sie [mm]\IZ_{15}*[/mm] und geben Sie für alle Elemente aus
> [mm]\IZ_{15}*[/mm] die zugehörigen multiplikativen Inversen an.
> Also die Aufgabenstellung ist ja eigentlich relativ easy,
> aber ich habe trotzdem Probleme bei der Lösung *grml* (habe
> auch schon die Lösung offiziell bekommen, kann sie halt
> nicht nachvollziehen)
>
> Es besitzen genau die Elemente [mm]\in \IZ_{15}[/mm] ein Inverses,
> für die
> ggT(15, i) = 1 gilt.
>
> Also rechnen wir:
> ggT(15, 0) = 15,
> ggT(15, 1) = 1,
> ggT(15, 2) = 1,
> ggT(15, 3) = 3,
> ggT(15, 4) = 1,
> ggT(15, 5) = 5,
> ggT(15, 6) = 3,
> ggT(15, 7) = 1,
> ggT(15, 8) = 1,
> ggT(15, 9) = 3,
> ggT(15, 10) = 5,
> ggT(15, 11) = 1,
> ggT(15, 12) = 3,
> ggT(15, 13) = 1,
> ggT(15, 14) = 1.
>
> Daraus ergibt sich:
> [mm]\IZ_{15}*[/mm] = {[1], [2], [4], [7], [8], [11], [13],
> [14]}.
>
> Dafür die Inverse:
> [mm]1^{-1}[/mm] = 1,
> [mm]2^{-1}[/mm] = 8,
> [mm]4^{-1}[/mm] = 4,
> [mm]7^{-1}[/mm] = 13,
> [mm]8^{-1}[/mm] = 2,
> [mm]11^{-1}[/mm] = 11,
> [mm]13^{-1}[/mm] = 7,
> [mm]14^{-1}[/mm] = 14.
>
> Meine Frage: Wie kommt man auf die Inverse?! Also die
> rechts stehenden Ergebnisse... Ich hab schon alles mögliche
> probiert..
Wie man drauf kommt, weiß ich nicht, notfalls ausprobieren, aber es stimmt, wenn gilt, dass die Zahl multipliziert mir ihrer Inversen 1 mod 15 ergibt. Also 1*1=1 mod 15; 2*8=16=1 mod 15; 7*13=91=1 mod 15 usw.. Du kannst ja einfach die Zahl mit jeder anderen multiplizieren, und wenn du 1 mod 15 erhältst, ist das die Inverse gewesen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 So 27.01.2008 | | Autor: | sign |
aaaaaaaah.. man bin ich hohl *sry*
Ich danke Dir, das macht Sinn :)
lg
lars
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 So 27.01.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hi,
> Meine Frage: Wie kommt man auf die Inverse?! Also die
> rechts stehenden Ergebnisse... Ich hab schon alles mögliche
> probiert..
>
die Inversen einer Restklasse des Ringes [mm] $\IZ/n\IZ$ [/mm] erhält man mit Hilfe des sog. erweiterten Euklidischen Algorithmus. Dieser basiert auf dem Lemma von Bézout (oder etwas allg. auf dem Hauptsatz des ggT).
In ![[]](/images/popup.gif) Lemma 4.1 kannst du die formal korrekte Form und ein Beispiel dazu finden. Solltest Du noch Fragen haben, dann melde Dich.
LG
Alex
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