X^n + 1 = (X+1)^n --> n prim < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei [mm] n\in\IN, [/mm] n > 1. Zeige, dass n genau dann eine Primzahl ist, wenn [mm](X+1)^n = X^n + 1[/mm] im Polynomring [mm](\IZ/ n\IZ)[X][/mm]. |
Hallo!
Die Aufgabe stammt aus einer Algebra 1 Klausur. Ich würde gern wissen, ob meine Lösung zur Rückrichtung korrekt ist und ob es evtl. einen besseren (eleganteren) Weg gibt:
Also sei [mm]n\in\IN, n> 1[/mm] und [mm](X+1)^n = X^n + 1[/mm] im Polynomring [mm](\IZ/ n\IZ)[X][/mm]. Zu zeigen ist, dass n eine Primzahl ist.
Mein Versuch: Angenommen, n wäre keine Primzahl, dann gäbe es [mm]a,b\in\IN, a\ge b > 1[/mm] mit [mm] n = a*b[/mm] und es wäre
[mm](X+1)^{n} = X^n + 1 + \sum_{k=1}^{n-1}\vektor{n\\
k}\cdot X^k[/mm].
Ich versuche k = b. Dann:
[mm] $\vektor{n\\k} [/mm] = [mm] \frac{(a*b)!}{b! * (a*b - b)!} [/mm] = [mm] \frac{(a*b) * (a*b - 1)* ... * (a*b - b + 1) * (a*b - b)!}{b! * (a*b - b)!} [/mm] = [mm] \frac{a*(a*b - 1)*...*(a*b - b + 1)}{(b-1)!}$
[/mm]
Damit ist der Zähler nicht mehr durch b teilbar, folglich auch nicht durch $a*b = n$ und der Term [mm] $\vektor{n\\ b}\cdot X^{b}$ [/mm] in der Darstellung würde nicht verschwinden.
Ist das so ok?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Di 15.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Es sei [mm]n\in\IN,[/mm] n > 1. Zeige, dass n genau dann eine
> Primzahl ist, wenn [mm](X+1)^n = X^n + 1[/mm] im Polynomring [mm](\IZ/ n\IZ)[X][/mm].
>
> Die Aufgabe stammt aus einer Algebra 1 Klausur. Ich würde
> gern wissen, ob meine Lösung zur Rückrichtung korrekt ist
> und ob es evtl. einen besseren (eleganteren) Weg gibt:
>
> Also sei [mm]n\in\IN, n> 1[/mm] und [mm](X+1)^n = X^n + 1[/mm] im Polynomring
> [mm](\IZ/ n\IZ)[X][/mm]. Zu zeigen ist, dass n eine Primzahl ist.
> Mein Versuch: Angenommen, n wäre keine Primzahl, dann
> gäbe es [mm]a,b\in\IN, a\ge b > 1[/mm] mit [mm]n = a*b[/mm] und es wäre
>
> [mm](X+1)^{n} = X^n + 1 + \sum_{k=1}^{n-1}\vektor{n\\
k}\cdot X^k[/mm].
>
> Ich versuche k = b. Dann:
>
> [mm]\vektor{n\\k} = \frac{(a*b)!}{b! * (a*b - b)!} = \frac{(a*b) * (a*b - 1)* ... * (a*b - b + 1) * (a*b - b)!}{b! * (a*b - b)!} = \frac{a*(a*b - 1)*...*(a*b - b + 1)}{(b-1)!}[/mm]
>
> Damit ist der Zähler nicht mehr durch b teilbar, folglich
> auch nicht durch [mm]a*b = n[/mm] und der Term [mm]\vektor{n\\ b}\cdot X^{b}[/mm]
> in der Darstellung würde nicht verschwinden.
bedenke, dass $a$ und $b$ keine Primzahlen sind. Es kann hier also schiefgehen.
Nimm doch an, dass $b$ die kleinste Primzahl ist, die $n$ teilt.
LG Felix
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Hallo Felix,
danke für deine Antwort!
> > Also sei [mm]n\in\IN, n> 1[/mm] und [mm](X+1)^n = X^n + 1[/mm] im Polynomring
> > [mm](\IZ/ n\IZ)[X][/mm]. Zu zeigen ist, dass n eine Primzahl ist.
> > Mein Versuch: Angenommen, n wäre keine Primzahl, dann
> > gäbe es [mm]a,b\in\IN, a\ge b > 1[/mm] mit [mm]n = a*b[/mm] und es wäre
> >
> > [mm](X+1)^{n} = X^n + 1 + \sum_{k=1}^{n-1}\vektor{n\\
k}\cdot X^k[/mm].
>
> >
> > Ich versuche k = b. Dann:
> >
> > [mm]\vektor{n\\
k} = \frac{(a*b)!}{b! * (a*b - b)!} = \frac{(a*b) * (a*b - 1)* ... * (a*b - b + 1) * (a*b - b)!}{b! * (a*b - b)!} = \frac{a*(a*b - 1)*...*(a*b - b + 1)}{(b-1)!}[/mm]
>
> >
> > Damit ist der Zähler nicht mehr durch b teilbar, folglich
> > auch nicht durch [mm]a*b = n[/mm] und der Term [mm]\vektor{n\\
b}\cdot X^{b}[/mm]
> > in der Darstellung würde nicht verschwinden.
> bedenke, dass [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] keine Primzahlen sind. Es kann hier
> also schiefgehen.
>
> Nimm doch an, dass [mm]b[/mm] die kleinste Primzahl ist, die [mm]n[/mm]
> teilt.
Wenn ich das annehmen, klappt es, oder?
Denn dann ist
a*b durch b teilbar gewesen, und die nächste durch b teilbare Zahl wäre (a-1)*b, die aber schon nicht mehr im Zähler vorkommt.
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Di 15.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > [mm]\vektor{n\\
k} = \frac{(a*b)!}{b! * (a*b - b)!} = \frac{(a*b) * (a*b - 1)* ... * (a*b - b + 1) * (a*b - b)!}{b! * (a*b - b)!} = \frac{a*(a*b - 1)*...*(a*b - b + 1)}{(b-1)!}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Damit ist der Zähler nicht mehr durch b teilbar, folglich
> > > auch nicht durch [mm]a*b = n[/mm] und der Term [mm]\vektor{n\\
b}\cdot X^{b}[/mm]
> > > in der Darstellung würde nicht verschwinden.
>
>
> > bedenke, dass [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] keine Primzahlen sind. Es kann hier
> > also schiefgehen.
> >
> > Nimm doch an, dass [mm]b[/mm] die kleinste Primzahl ist, die [mm]n[/mm]
> > teilt.
>
> Wenn ich das annehmen, klappt es, oder?
> Denn dann ist
>
> a*b durch b teilbar gewesen, und die nächste durch b
> teilbare Zahl wäre (a-1)*b, die aber schon nicht mehr im
> Zähler vorkommt.
Nunja, wenn $a$ selber durch $b$ teilbar ist, dann kommt $b$ immer noch im Zaehler vor.
Allerdings in einer geringeren Potenz, mit der es in $n = a b$ vorkommt.
Das musst du jetzt ausnutzen 
LG Felix
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Hallo Felix,
danke für deine Antwort!
[mm]\vektor{n\\
k} = \frac{(a*b)!}{b! * (a*b - b)!} = \frac{(a*b) * (a*b - 1)* ... * (a*b - b + 1) * (a*b - b)!}{b! * (a*b - b)!} = \frac{a*(a*b - 1)*...*(a*b - b + 1)}{(b-1)!}[/mm]
> > Denn a*b ist durch b teilbar gewesen, und die nächste durch b
> > teilbare Zahl wäre (a-1)*b, die aber schon nicht mehr im
> > Zähler vorkommt.
>
> Nunja, wenn [mm]a[/mm] selber durch [mm]b[/mm] teilbar ist, dann kommt [mm]b[/mm]
> immer noch im Zaehler vor.
>
> Allerdings in einer geringeren Potenz, mit der es in [mm]n = a b[/mm]
> vorkommt.
Oh Gott, bei der Aufgabe schussel ich die ganze Zeit rum...
Also: b sei die kleinste Primzahl, die n teilt. Entsprechend $a = n / b$. Es gilt somit $a [mm] \ge [/mm] b$.
Im Zähler des obigen Bruches kommt a als Faktor vor. Wir müssen also zeigen, dass b nicht den restlichen Teil
(a*b - 1)*...*(a*b - b + 1)
teilt. Das liegt daran, dass b den Term $a*b$ geteilt hat und als nächstkleinere Zahl (a-1)*b teilt, die aber schon nicht mehr in obigem Produkt enthalten ist.
Jetzt richtig ?
Danke!
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 Di 15.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Denn a*b ist durch b teilbar gewesen, und die nächste
> durch b
> > > teilbare Zahl wäre (a-1)*b, die aber schon nicht mehr im
> > > Zähler vorkommt.
> >
> > Nunja, wenn [mm]a[/mm] selber durch [mm]b[/mm] teilbar ist, dann kommt [mm]b[/mm]
> > immer noch im Zaehler vor.
> >
> > Allerdings in einer geringeren Potenz, mit der es in [mm]n = a b[/mm]
> > vorkommt.
>
> Oh Gott, bei der Aufgabe schussel ich die ganze Zeit
> rum...
> Also: b sei die kleinste Primzahl, die n teilt.
> Entsprechend [mm]a = n / b[/mm]. Es gilt somit [mm]a \ge b[/mm].
>
> Im Zähler des obigen Bruches kommt a als Faktor vor. Wir
> müssen also zeigen, dass b nicht den restlichen Teil
>
> (a*b - 1)*...*(a*b - b + 1)
>
> teilt. Das liegt daran, dass b den Term [mm]a*b[/mm] geteilt hat und
> als nächstkleinere Zahl (a-1)*b teilt, die aber schon
> nicht mehr in obigem Produkt enthalten ist.
>
> Jetzt richtig ?
Da $b$ prim ist, ja :) Wenn $b$ nicht prim ist und keinen Faktor teilt, kann es trotzdem das Produkt teilen.
Zum Beispiel fuer $b = 6$ und $a = 2$ steht da $11 * 10 * 9 * 8 * 7$, und das ist sehr wohl durch 6 teilbar.
LG Felix
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