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X zusammenhängend: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:10 Fr 08.08.2008
Autor: Irmchen

Guten Tag alle zusammen!

Ich versuche gerade den Beweis eines Satzen nachzuvollziehen und irgendwie scheitert es immer an 2 Folgerungen, die ich nicht nachvollziehen kann.

Satz :

Sei X eine Teilmenge von [mm] \mathbb R [/mm] die mehr als einen Punkt enthält. Dann sind äquivalent:

a) X ist zusammenhängend
b) X ist ein Intervall

Beweis :

a) [mm] \Rightarrow [/mm] b) KLAR

b) [mm] \Rightarrow [/mm] a).

Sei X ein Intervall . Angenommen, X sein nicht zusammenhängend.
Dann gibt es nicht leere, offene Teilmengen A, B von X mit
[mm] A \cup B = X [/mm] und [mm] A \cap B = \emptyset [/mm].
Sei [mm] a \in A, b \in B [/mm]. Sei o.B.d.A. [mm] a
Weil X ein Intervall ist , ist [mm] \left[a, b \right] \subseteq X [/mm].
Sei [mm] M:= \{ x \in A \ | \ x < b \}. [/mm]. Dann ist M nicht leer, und M ist nach oben beschränkt.
Deswegen existiert [mm] \sup M := c \in \left[ a, b \right] [/mm]
Weil B offen in X ist, ist A abgeschlossen in X [mm] \Rightarrow c \in A [/mm].

( Ich denke, A ist offen??? Oder versucht man hie zu zeigen, dass A eine offene und abgeschlossene Menge in X ist, was nicht sein darf , wenn X zusammenhängend ist? )

Also [mm] c \notin B [/mm]. Deswegen ist  [mm] a \le c < b [/mm].
Weil A offen in X ist, gibt es ein [mm] \epsilon > 0 [/mm] mit [mm] \left[c, c + \epsilon \right[ \subseteq A [/mm] und dies ist ein Widerspruch zum
[mm] c = [mm] \sup \{ x \in A \ | \ x < b \}. [/mm]

( Haben wir also gezeigt, dass A nicht gleichzeitig offen und abgeschlossen sein kann, und deswegen X zusammenhängend ist? )

Vielen Dank
Viele Grüße
Irmchen

        
Bezug
X zusammenhängend: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:15 Fr 08.08.2008
Autor: Merle23


> Guten Tag alle zusammen!
>  
> Ich versuche gerade den Beweis eines Satzen
> nachzuvollziehen und irgendwie scheitert es immer an 2
> Folgerungen, die ich nicht nachvollziehen kann.
>  
> Satz :
>  
> Sei X eine Teilmenge von [mm]\mathbb R[/mm] die mehr als einen Punkt
> enthält. Dann sind äquivalent:
>  
> a) X ist zusammenhängend
>  b) X ist ein Intervall
>  
> Beweis :
>  
> a) [mm]\Rightarrow[/mm] b) KLAR
>  
> b) [mm]\Rightarrow[/mm] a).
>  
> Sei X ein Intervall . Angenommen, X sein nicht
> zusammenhängend.
>  Dann gibt es nicht leere, offene Teilmengen A, B von X
> mit
>  [mm]A \cup B = X[/mm] und [mm]A \cap B = \emptyset [/mm].
>  Sei [mm]a \in A, b \in B [/mm].
> Sei o.B.d.A. [mm]a
>  
> Weil X ein Intervall ist , ist [mm]\left[a, b \right] \subseteq X [/mm].
>  
> Sei [mm]M:= \{ x \in A \ | \ x < b \}. [/mm]. Dann ist M nicht leer,
> und M ist nach oben beschränkt.
>  Deswegen existiert [mm]\sup M := c \in \left[ a, b \right][/mm]
>  
> Weil B offen in X ist, ist A abgeschlossen in X [mm]\Rightarrow c \in A [/mm].
>  
> ( Ich denke, A ist offen??? Oder versucht man hie zu
> zeigen, dass A eine offene und abgeschlossene Menge in X
> ist, was nicht sein darf , wenn X zusammenhängend ist? )

Da B offen ist, ist [mm]X\setminus B[/mm] abgeschlossen. Und wegen [mm]A \cup B = X[/mm] und [mm]A \cap B = \emptyset [/mm] ist [mm]X\setminus B=A[/mm], also A abgeschlossen.

>  
> Also [mm]c \notin B [/mm]. Deswegen ist  [mm]a \le c < b [/mm].
>  Weil A offen
> in X ist, gibt es ein [mm]\epsilon > 0[/mm] mit [mm]\left[c, c + \epsilon \right[ \subseteq A[/mm]
> und dies ist ein Widerspruch zum
> [mm]c = [mm]\sup \{ x \in A \ | \ x < b \}.[/mm]

> ( Haben wir also gezeigt, dass A nicht gleichzeitig offen und abgeschlossen sein kann, und deswegen X zusammenhängend ist? )


Nein, denn dann wären wir ja schon weiter oben fertig gewesen. Der Widerspruch folgt aus der Definition von c als das Supremum der einen Menge da und das wir zum Schluss gezeigt haben, dass c nicht das Supremum ist.

Vielen Dank
Viele Grüße
Irmchen

Bezug
                
Bezug
X zusammenhängend: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:37 Fr 08.08.2008
Autor: Irmchen

Hallo!

  

> > Satz :
>  >  
> > Sei X eine Teilmenge von [mm]\mathbb R[/mm] die mehr als einen Punkt
> > enthält. Dann sind äquivalent:
>  >  
> > a) X ist zusammenhängend
>  >  b) X ist ein Intervall
>  >  
> > Beweis :
>  >  
> > a) [mm]\Rightarrow[/mm] b) KLAR
>  >  
> > b) [mm]\Rightarrow[/mm] a).
>  >  
> > Sei X ein Intervall . Angenommen, X sein nicht
> > zusammenhängend.
>  >  Dann gibt es nicht leere, offene Teilmengen A, B von X
> > mit
>  >  [mm]A \cup B = X[/mm] und [mm]A \cap B = \emptyset [/mm].
>  >  Sei [mm]a \in A, b \in B [/mm].
> > Sei o.B.d.A. [mm]a
>  >  
> > Weil X ein Intervall ist , ist [mm]\left[a, b \right] \subseteq X [/mm].
>  
> >  

> > Sei [mm]M:= \{ x \in A \ | \ x < b \}. [/mm]. Dann ist M nicht leer,
> > und M ist nach oben beschränkt.
>  >  Deswegen existiert [mm]\sup M := c \in \left[ a, b \right][/mm]
>  
> >  

> > Weil B offen in X ist, ist A abgeschlossen in X [mm]\Rightarrow c \in A [/mm].
>  
> >  

> > ( Ich denke, A ist offen??? Oder versucht man hie zu
> > zeigen, dass A eine offene und abgeschlossene Menge in X
> > ist, was nicht sein darf , wenn X zusammenhängend ist? )
>  
> Da B offen ist, ist [mm]X\setminus B[/mm] abgeschlossen. Und wegen [mm]A \cup B = X[/mm]
> und [mm]A \cap B = \emptyset[/mm] ist [mm]X\setminus B=A[/mm], also A
> abgeschlossen.

In Ordnung, das habe ich jetzt nachvollziehen können.

> > Also [mm]c \notin B [/mm]. Deswegen ist  [mm]a \le c < b [/mm].
>  >  Weil A
> offen
> > in X ist, gibt es ein [mm]\epsilon > 0[/mm] mit [mm]\left[c, c + \epsilon \right[ \subseteq A[/mm]
> > und dies ist ein Widerspruch zum
> > [mm]c = [mm]\sup \{ x \in A \ | \ x < b \}.[/mm]

  

> ( Haben wir also gezeigt, dass A nicht gleichzeitig offen und abgeschlossen sein kann, und deswegen X zusammenhängend ist? )

  

> Nein, denn dann wären wir ja schon weiter oben fertig gewesen. Der > Widerspruch folgt aus der Definition von c als das Supremum der einen > Menge da und das wir zum Schluss gezeigt haben, dass c nicht das > Supremum ist.

Aber hier, fehlt mir immernoch das Verständnis... Ich sehe, dass c nicht das Supremun ist, aber warum folgt nun X zusammenhängend?

  
Vielen Dank
  Viele Grüße
  Irmchen  


Bezug
                        
Bezug
X zusammenhängend: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:32 Sa 09.08.2008
Autor: Merle23

Weil wir einen Widerspruchsbeweis geführt haben. Wir haben doch oben angenommen, dass X nicht zusammenhängend ist und unsere Mengen A, B dementsprechend als diese "Trennungsmengen" gewählt.

Bezug
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