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Wurzeln integrieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:39 Do 31.01.2013
Autor: ralfr

Hallo ich wollte einmal fragen, wie man vorgehen muss um folgende Integrale zu lösen:
[mm] $\integral{\wurzel{x^2-2x+5} dx}$ [/mm]
oder auch
[mm] $\integral{x^2 \wurzel{x^3+5} dx}$ [/mm]
Ich hoffe mir kann das jemand verständlich erklären, denn ich komme mit soetwas zum 1. mal in berührung.

        
Bezug
Wurzeln integrieren: das erste Integral
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:02 Do 31.01.2013
Autor: M.Rex

Hallo


> Hallo ich wollte einmal fragen, wie man vorgehen muss um
> folgende Integrale zu lösen:
>  [mm]\integral{\wurzel{x^2-2x+5} dx}[/mm]


Du benötigst das Integral:

[mm] $\int\sqrt{a^{2}+x^{2}}dx=\frac{x}{2}\cdot\sqrt{a^{2}+x^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\cdot\ln\left(x+\sqrt{a^{2}+x^{2}}\right)$ [/mm]


Damit dann:

[mm] $\integral{\wurzel{z^2-2z+5} dz}=\int\sqrt{(z-2)^{2}+1}dx$ [/mm]

Nun substituiere x=z2, dann hast du obige Form mit a=1


>  oder auch
>  [mm]\integral{x^2 \wurzel{x^3+5} dx}[/mm]

Dieses Integral würde ich versuchen, mit partieller Integration zu lösen. Ob das zielfühnrend ist, weiß ich gerade nicht, daher lasse ich das mal auf "Teilweise beantwortet".

Marius


Bezug
                
Bezug
Wurzeln integrieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:38 Do 31.01.2013
Autor: ralfr


> Hallo ralfr,
>  
> kennst und kannst Du schon Integration per Substitution?
>  
> > Hallo ich wollte einmal fragen, wie man vorgehen muss um
> > folgende Integrale zu lösen:
>  >  [mm]\integral{\wurzel{x^2-2x+5} dx}[/mm]
>  >  oder auch
>  >  [mm]\integral{x^2 \wurzel{x^3+5} dx}[/mm]
>  >  Ich hoffe mir kann
> das
> > jemand verständlich erklären, denn ich komme mit soetwas
> > zum 1. mal in berührung.
>
> Für das zweite Integral substituiert man am besten
> [mm]u=x^3+5.[/mm]
>  
> Ihr müsstet das Verfahren gehabt haben, denn sonst ist das
> Integral nicht analytisch zu lösen.
>  
> Versuchs mal und rechne vor, wenn Du Dir unsicher bist.
>  
> Grüße
>  reverend
>  

Also ich habe ja gedacht ich kann beim 1. Integral auch die Substitution anwenden also:
[mm] $\integral{\wurzel{x^2-2x+5} dx}$ [/mm]
[mm] $z=x^2-2x+5$ [/mm]
[mm] $\frac{dz}{dx}=2x-2$ [/mm]
[mm] $dx=\frac{1}{2x-2}dz$ [/mm]
[mm] $\integral{\wurzel{x^2-2x+5} dx}$ [/mm] = [mm] \integral{\wurzel{z}*\frac{1}{2x-2} dz}=\frac{1}{2x-2}* \integral{\wurzel{z} dz}=\frac{1}{2x-2}*\frac{2}{3}z^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{2x-2}*\frac{2}{3}(2x^2-2x+5)^{\frac{3}{2}}$ [/mm]
Aber das wäre zu einfach oder?


Bezug
                        
Bezug
Wurzeln integrieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:43 Do 31.01.2013
Autor: M.Rex


> > Hallo ralfr,
>  >  
> > kennst und kannst Du schon Integration per Substitution?
>  >  
> > > Hallo ich wollte einmal fragen, wie man vorgehen muss um
> > > folgende Integrale zu lösen:
>  >  >  [mm]\integral{\wurzel{x^2-2x+5} dx}[/mm]
>  >  >  oder auch
>  >  >  [mm]\integral{x^2 \wurzel{x^3+5} dx}[/mm]
>  >  >  Ich hoffe
> mir kann
> > das
> > > jemand verständlich erklären, denn ich komme mit soetwas
> > > zum 1. mal in berührung.
> >
> > Für das zweite Integral substituiert man am besten
> > [mm]u=x^3+5.[/mm]
>  >  
> > Ihr müsstet das Verfahren gehabt haben, denn sonst ist das
> > Integral nicht analytisch zu lösen.
>  >  
> > Versuchs mal und rechne vor, wenn Du Dir unsicher bist.
>  >  
> > Grüße
>  >  reverend
>  >  
> Also ich habe ja gedacht ich kann beim 1. Integral auch die
> Substitution anwenden also:
>  [mm]\integral{\wurzel{x^2-2x+5} dx}[/mm]
>  [mm]z=x^2-2x+5[/mm]
>  [mm]\frac{dz}{dx}=2x-2[/mm]
>  [mm]dx=\frac{1}{2x-2}dz[/mm]
>  [mm]\integral{\wurzel{x^2-2x+5} dx}[/mm][/mm] =
> [mm]\integral{\wurzel{z}*\frac{1}{2x-2} dz}=\frac{1}{2x-2}* \integral{\wurzel{z} dz}=\frac{1}{2x-2}*\frac{2}{3}z^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{2x-2}*\frac{2}{3}(2x^2-2x+5)^{\frac{3}{2}}$[/mm]
>  
> Aber das wäre zu einfach oder?

Ja, denn du hast die Variable x durch die Substitution nicht komplett aus dem Integral herausbekommen, den Faktor [mm] \frac{1}{2x-2} [/mm] darfst du nicht aus dem Integral als konstanten Faktor hervorziehen, da x und die Integrationsvariable z nicht unabhängig sind.

Marius


Bezug
                
Bezug
Wurzeln integrieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:10 Do 31.01.2013
Autor: ralfr


> Hallo
>  
>
> > Hallo ich wollte einmal fragen, wie man vorgehen muss um
> > folgende Integrale zu lösen:
>  >  [mm]\integral{\wurzel{x^2-2x+5} dx}[/mm]
>  
>
> Du benötigst das Integral:
>  
> [mm]\int\sqrt{a^{2}+x^{2}}dx=\frac{x}{2}\cdot\sqrt{a^{2}+x^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\cdot\ln\left(x+\sqrt{a^{2}+x^{2}}\right)[/mm]
>  
>
> Damit dann:
>  
> [mm]\integral{\wurzel{z^2-2z+5} dz}=\int\sqrt{(z-2)^{2}+1}dx[/mm]
>  
> Nun substituiere x=z2, dann hast du obige Form mit a=1
>  
>
> >  oder auch

>  >  [mm]\integral{x^2 \wurzel{x^3+5} dx}[/mm]
>  
> Dieses Integral würde ich versuchen, mit partieller
> Integration zu lösen. Ob das zielfühnrend ist, weiß ich
> gerade nicht, daher lasse ich das mal auf "Teilweise
> beantwortet".
>  
> Marius
>  

[mm]\integral{\wurzel{z^2-2z+5} dz}=\int\sqrt{(z-2)^{2}+1}dx[/mm]
Das ist mit nicht klar. Ist das nicht:
[mm] $\int\sqrt{(x-1)^{2}+4}dx$? [/mm]


Bezug
                        
Bezug
Wurzeln integrieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:28 Do 31.01.2013
Autor: M.Rex


> > Hallo
>  >  
> >
> > > Hallo ich wollte einmal fragen, wie man vorgehen muss um
> > > folgende Integrale zu lösen:
>  >  >  [mm]\integral{\wurzel{x^2-2x+5} dx}[/mm]
>  >  
> >
> > Du benötigst das Integral:
>  >  
> >
> [mm]\int\sqrt{a^{2}+x^{2}}dx=\frac{x}{2}\cdot\sqrt{a^{2}+x^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\cdot\ln\left(x+\sqrt{a^{2}+x^{2}}\right)[/mm]
>  >  
> >
> > Damit dann:
>  >  
> > [mm]\integral{\wurzel{z^2-2z+5} dz}=\int\sqrt{(z-2)^{2}+1}dx[/mm]
>  
> >  

> > Nun substituiere x=z2, dann hast du obige Form mit a=1
>  >  
> >
> > >  oder auch

>  >  >  [mm]\integral{x^2 \wurzel{x^3+5} dx}[/mm]
>  >  
> > Dieses Integral würde ich versuchen, mit partieller
> > Integration zu lösen. Ob das zielfühnrend ist, weiß ich
> > gerade nicht, daher lasse ich das mal auf "Teilweise
> > beantwortet".
>  >  
> > Marius
>  >  
> [mm]\integral{\wurzel{z^2-2z+5} dz}=\int\sqrt{(z-2)^{2}+1}dx[/mm]
>  
> Das ist mit nicht klar. Ist das nicht:
>  [mm]\int\sqrt{(x-1)^{2}+4}dx[/mm]?
>  

Du hast recht, mein Fehler

[mm] \sqrt{z^{2}-2z+5}=\sqrt{(z-1)^{2}+4} [/mm]

Damit bekommst du nach der Substitution x=z-1 ein Integral der Form

[mm] \sqrt{2^{2}+x^{2}} [/mm]

Marius


Bezug
                                
Bezug
Wurzeln integrieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:48 Do 31.01.2013
Autor: ralfr


>
> > > Hallo
>  >  >  
> > >
> > > > Hallo ich wollte einmal fragen, wie man vorgehen muss um
> > > > folgende Integrale zu lösen:
>  >  >  >  [mm]\integral{\wurzel{x^2-2x+5} dx}[/mm]
>  >  >  
> > >
> > > Du benötigst das Integral:
>  >  >  
> > >
> >
> [mm]\int\sqrt{a^{2}+x^{2}}dx=\frac{x}{2}\cdot\sqrt{a^{2}+x^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\cdot\ln\left(x+\sqrt{a^{2}+x^{2}}\right)[/mm]
>  >  >  
> > >
> > > Damit dann:
>  >  >  
> > > [mm]\integral{\wurzel{z^2-2z+5} dz}=\int\sqrt{(z-2)^{2}+1}dx[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Nun substituiere x=z2, dann hast du obige Form mit a=1
>  >  >  
> > >
> > > >  oder auch

>  >  >  >  [mm]\integral{x^2 \wurzel{x^3+5} dx}[/mm]
>  >  >  
> > > Dieses Integral würde ich versuchen, mit partieller
> > > Integration zu lösen. Ob das zielfühnrend ist, weiß ich
> > > gerade nicht, daher lasse ich das mal auf "Teilweise
> > > beantwortet".
>  >  >  
> > > Marius
>  >  >  
> > [mm]\integral{\wurzel{z^2-2z+5} dz}=\int\sqrt{(z-2)^{2}+1}dx[/mm]
>  
> >  

> > Das ist mit nicht klar. Ist das nicht:
>  >  [mm]\int\sqrt{(x-1)^{2}+4}dx[/mm]?
>  >  
>
> Du hast recht, mein Fehler
>  
> [mm]\sqrt{z^{2}-2z+5}=\sqrt{(z-1)^{2}+4}[/mm]
>  
> Damit bekommst du nach der Substitution x=z-1 ein Integral
> der Form
>  
> [mm]\sqrt{2^{2}+x^{2}}[/mm]
>  
> Marius
>  

Also wäre dann die Lösung:
[mm] $\frac{x-1}{2}*\sqrt{x^2-2x+5}+2*ln((x-1)+\sqrt{x^2-2x+5})$ [/mm]
oder?

Bezug
                                        
Bezug
Wurzeln integrieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:53 Do 31.01.2013
Autor: M.Rex


> >
> > > > Hallo
>  >  >  >  
> > > >
> > > > > Hallo ich wollte einmal fragen, wie man vorgehen muss um
> > > > > folgende Integrale zu lösen:
>  >  >  >  >  [mm]\integral{\wurzel{x^2-2x+5} dx}[/mm]
>  >  >  >  
> > > >
> > > > Du benötigst das Integral:
>  >  >  >  
> > > >
> > >
> >
> [mm]\int\sqrt{a^{2}+x^{2}}dx=\frac{x}{2}\cdot\sqrt{a^{2}+x^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\cdot\ln\left(x+\sqrt{a^{2}+x^{2}}\right)[/mm]
>  >  >  >  
> > > >
> > > > Damit dann:
>  >  >  >  
> > > > [mm]\integral{\wurzel{z^2-2z+5} dz}=\int\sqrt{(z-2)^{2}+1}dx[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > >  

> > > > Nun substituiere x=z2, dann hast du obige Form mit a=1
>  >  >  >  
> > > >
> > > > >  oder auch

>  >  >  >  >  [mm]\integral{x^2 \wurzel{x^3+5} dx}[/mm]
>  >  >  >  
> > > > Dieses Integral würde ich versuchen, mit partieller
> > > > Integration zu lösen. Ob das zielfühnrend ist, weiß ich
> > > > gerade nicht, daher lasse ich das mal auf "Teilweise
> > > > beantwortet".
>  >  >  >  
> > > > Marius
>  >  >  >  
> > > [mm]\integral{\wurzel{z^2-2z+5} dz}=\int\sqrt{(z-2)^{2}+1}dx[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Das ist mit nicht klar. Ist das nicht:
>  >  >  [mm]\int\sqrt{(x-1)^{2}+4}dx[/mm]?
>  >  >  
> >
> > Du hast recht, mein Fehler
>  >  
> > [mm]\sqrt{z^{2}-2z+5}=\sqrt{(z-1)^{2}+4}[/mm]
>  >  
> > Damit bekommst du nach der Substitution x=z-1 ein Integral
> > der Form
>  >  
> > [mm]\sqrt{2^{2}+x^{2}}[/mm]
>  >  
> > Marius
>  >  
>
> Also wäre dann die Lösung:
>  [mm]\frac{x-1}{2}*\sqrt{x^2-2x+5}+2*ln((x-1)+\sqrt{x^2-2x+5})[/mm]
>  oder?


Das sieht gut aus.

Marius


Bezug
        
Bezug
Wurzeln integrieren: Das zweite Integral
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:33 Do 31.01.2013
Autor: reverend

Hallo ralfr,

kennst und kannst Du schon Integration per Substitution?

> Hallo ich wollte einmal fragen, wie man vorgehen muss um
> folgende Integrale zu lösen:
>  [mm]\integral{\wurzel{x^2-2x+5} dx}[/mm]
>  oder auch
>  [mm]\integral{x^2 \wurzel{x^3+5} dx}[/mm]
>  Ich hoffe mir kann das
> jemand verständlich erklären, denn ich komme mit soetwas
> zum 1. mal in berührung.

Für das zweite Integral substituiert man am besten [mm] u=x^3+5. [/mm]

Ihr müsstet das Verfahren gehabt haben, denn sonst ist das Integral nicht analytisch zu lösen.

Versuchs mal und rechne vor, wenn Du Dir unsicher bist.

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Wurzeln integrieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:51 Do 31.01.2013
Autor: ralfr


> Hallo ralfr,
>  
> kennst und kannst Du schon Integration per Substitution?
>  
> > Hallo ich wollte einmal fragen, wie man vorgehen muss um
> > folgende Integrale zu lösen:
>  >  [mm]\integral{\wurzel{x^2-2x+5} dx}[/mm]
>  >  oder auch
>  >  [mm]\integral{x^2 \wurzel{x^3+5} dx}[/mm]
>  >  Ich hoffe mir kann
> das
> > jemand verständlich erklären, denn ich komme mit soetwas
> > zum 1. mal in berührung.
>
> Für das zweite Integral substituiert man am besten
> [mm]u=x^3+5.[/mm]
>  
> Ihr müsstet das Verfahren gehabt haben, denn sonst ist das
> Integral nicht analytisch zu lösen.
>  
> Versuchs mal und rechne vor, wenn Du Dir unsicher bist.
>  
> Grüße
>  reverend
>  

Danke ich probiere es einfach mal:
[mm]\integral{x^2 \wurzel{x^3+5} dx}[/mm]
[mm] $z=x^3+5$ [/mm]
[mm] $\frac{dz}{dx}=3x^2$ [/mm]
[mm] $dx=\frac{1}{3x^2} [/mm] du$
[mm] $\integral{x^2 \wurzel{x^3+5} dx}=\frac{1}{3} \integral{\wurzel{u} du}=\frac{1}{3}*\frac{2}{3}*u^{\frac{3}{2}}=\frac{2}{9}*(x^3+5)^{\frac{3}{2}}$ [/mm]

Gibt es keinen einfacheren Weg für die 1. Integration?
Das ist ziemlich umständlich mit der partiellen integration?

Bezug
                        
Bezug
Wurzeln integrieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:55 Do 31.01.2013
Autor: M.Rex


> Danke ich probiere es einfach mal:
>  [mm]\integral{x^2 \wurzel{x^3+5} dx}[/mm]
>  [mm]z=x^3+5[/mm]
>  [mm]\frac{dz}{dx}=3x^2[/mm]
>  [mm]dx=\frac{1}{3x^2} du[/mm]
>  [mm]\integral{x^2 \wurzel{x^3+5} dx}=\frac{1}{3} \integral{\wurzel{u} du}=\frac{1}{3}*\frac{2}{3}*u^{\frac{3}{2}}=\frac{2}{9}*(x^3+5)^{\frac{3}{2}}[/mm]


Das sieht gut aus. Dieser Weg ist definitiv eleganter als meine Idde über die partielle Integration.

>  
> Gibt es keinen einfacheren Weg für die 1. Integration?

Ich fürchte nein, durch eine Umformung auf ein Standartintegral zu gelangen, ist schon recht komfortabel.

>  Das ist ziemlich umständlich mit der partiellen
> integration?

Ist es in der Tat. Aber reverend hat ja eine schöne Lösung per Substitution gefunden.

Marius


Bezug
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