Wurzelkriterium, Grenzwertbest < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 Di 18.01.2011 | | Autor: | UNR8D |
| Aufgabe | Zeigen Sie mit dem Wurzelkriterium, dass die folgende Reihe konvergiert:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(n-2)^3 n!}{2^n n^n} [/mm] |
Hi,
Wenn ich also die n-te Wurzel ziehe steht dort
[mm] \bruch{(n-2)^\bruch{3}{n} \wurzel[n]{n!} }{2n}
[/mm]
An der Stelle komme ich leider nicht recht weiter.
Vor allem weis ich nicht was ich mit der Fakultät anstellen soll.
Als Grenzwert scheint [mm] \bruch{1}{2e} [/mm] rauszukommen.
Komme ich also irgendwie auf [mm] \bruch{(1+1/n)^n}{2} [/mm] ?
Vielen Dank für eure Mühe!
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Moin UNR8D,
> Zeigen Sie mit dem Wurzelkriterium, dass die folgende Reihe
> konvergiert:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(n-2)^3 n!}{2^n n^n}[/mm]
> Hi,
>
> Wenn ich also die n-te Wurzel ziehe steht dort
> [mm]\bruch{(n-2)^\bruch{3}{n} \wurzel[n]{n!} }{2n}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Davon gilt es den [mm]\limsup\limits_{n\to\infty}[/mm] zu bestimmen.
>
> An der Stelle komme ich leider nicht recht weiter.
> Vor allem weis ich nicht was ich mit der Fakultät
> anstellen soll.
Benutze die Stirlingformel, die dir für große n eine passable Abschätzung für die Fakultät liefert ...
> Als Grenzwert scheint [mm]\bruch{1}{2e}[/mm] rauszukommen.
> Komme ich also irgendwie auf [mm]\bruch{(1+1/n)^n}{2}[/mm] ?
Das sehe ich nicht, aber die Stirlingformel hilft da schnellstens weiter ..
>
> Vielen Dank für eure Mühe!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Di 18.01.2011 | | Autor: | UNR8D |
Hi schachuzipus,
danke für deine Antwort!
leider haben wir in der Vorlesung noch nix von der Stirlingformel gehört, sodass ich die nicht ohne Weiteres verwenden darf.
Hab mir gerade folgendes überlegt:
Es ist doch [mm] \bruch{n!}{n^n} [/mm] < 1 für n>1
Also gilt [mm] \wurzel[n]{\bruch{(n-2)^3 n!}{2^n n^n}} [/mm] < [mm] \wurzel[n]{\bruch{(n-2)^3}{2^n}} [/mm] = [mm] \bruch{n^\bruch{3}{n}\wurzel[n]{1- 6/n +12/n²-8/n³}}{2}
[/mm]
und der lim davon ist 1/2.
Kann man das so machen?
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Hallo nochmal,
> Hi schachuzipus,
>
> danke für deine Antwort!
> leider haben wir in der Vorlesung noch nix von der
> Stirlingformel gehört, sodass ich die nicht ohne Weiteres
> verwenden darf.
Muss es denn unbedingt das WK sein?
Mit dem Quotientenkriterium ist es ganz simpel, da du dich nicht mit der Fakultät rumschlagen musst.
Da kürzt sich alles raus ...
>
> Hab mir gerade folgendes überlegt:
> Es ist doch [mm]\bruch{n!}{n^n}[/mm] < 1 für n>1
> Also gilt [mm]\wurzel[n]{\bruch{(n-2)^3 n!}{2^n n^n}}[/mm] <
> [mm]\wurzel[n]{\bruch{(n-2)^3}{2^n}}[/mm] =
> [mm]\bruch{n^\bruch{3}{n}\wurzel[n]{1- 6/n +12/n²-8/n³}}{2}[/mm]
>
> und der lim davon ist 1/2.
Die erste Umformung solltest du noch begründen. Wieso darfst du die n-te Wurzel "draufhauen"?
Ansonsten sieht das gut aus (es sollten zwar Beträge unter der Wurzel stehen ..), aber nun gut.
Das WK, angewandt auf die Ausgangsreihe liefert also einen GW <1, damit ist die Reihe konvergent.
>
> Kann man das so machen?
Ich denke schon
Gruß
schachuzipus
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> Zeigen Sie mit dem Wurzelkriterium, dass die folgende Reihe
> konvergiert:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(n-2)^3 n!}{2^n n^n}[/mm]
> Hi,
>
> Wenn ich also die n-te Wurzel ziehe steht dort
> [mm]\bruch{(n-2)^\bruch{3}{n} \wurzel[n]{n!} }{2n}[/mm]
>
> An der Stelle komme ich leider nicht recht weiter.
> Vor allem weis ich nicht was ich mit der Fakultät
> anstellen soll.
> Als Grenzwert scheint [mm]\bruch{1}{2e}[/mm] rauszukommen.
> Komme ich also irgendwie auf [mm]\bruch{(1+1/n)^n}{2}[/mm] ?
>
> Vielen Dank für eure Mühe!
Hallo,
1.) um die Fakultät loszuwerden: natürlich ist $\ n!\ <\ [mm] n^n$
[/mm]
(einfach jeden einzelnen Faktor der Fakultät durch n ersetzen)
2.) $\ [mm] (n-2)^t\ [/mm] =\ [mm] n^t*\left(1-\frac{2}{n}\right)^t$
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Mi 19.01.2011 | | Autor: | UNR8D |
Vielen Dank euch beiden.
Ja, die Aufgabe sollte explizit mit dem Wurzelkriterium bearbeitet werden.
Ich denke das habe ich jetzt auch zufriedenstellend geschafft :)
lg UNR8D
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