Wurzelkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für welche a ist die Reihe [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}[/mm] konvergent für welche absolut konvergent? |
Guten Abend.
Zunächst einmal würde ich sagen, dass man hier am besten das Wurzelkriterium anwendet.
[mm]\wurzel[n]{|a_n|} =\wurzel[n]{| \bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}|} = (\bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}})^\bruch{1}{n}= \bruch{a}{(n^2+5n+6)^\bruch{1}{2n}}[/mm]
1.Frage:
Und nun muss ich den Grenzwert bestimmen, oder?
Der Exponent im Nenner konvergiert gegen 0 und das in der Klammer geht gegen unendlich. Verträgt sich das? Also zwei verschiedene Grenzwerte? Einmal der im Exponent und einmal der in der Klammer.
2.Frage:
In meinem Skript steht, dass für < 1 die Reihe absolut konvergiert und für > 1 divergiert. Und wann konvergiert sie "nur", also nicht absolut?
Vielen Dank :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 Mo 07.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa,
> Für welche a ist die Reihe [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}[/mm]
den Laufindex solltest Du einheitlich bezeichnen: Bei Dir soll ja [mm] $i=n\,$
[/mm]
stets sein - wobei wir zuvor die obere Grenze [mm] $n\,$ [/mm] noch durch [mm] $\infty$
[/mm]
ersetzen:
[mm] $$\summe_{\red{n}=1}^{\red{\infty}} \bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}\,.$$
[/mm]
Nicht wahr?! 
> konvergent für welche absolut konvergent?
>
> Guten Abend.
>
> Zunächst einmal würde ich sagen, dass man hier am besten
> das Wurzelkriterium anwendet.
>
> [mm]\wurzel[n]{|a_n|} =\wurzel[n]{| \bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}|} = (\bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}})^\bruch{1}{n}= \bruch{a}{(n^2+5n+6)^\bruch{1}{2n}}[/mm]
Kleine Korrektur:
[mm] $$\wurzel[n]{|a_n|} =\wurzel[n]{| \bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}|} [/mm] = [mm] (\bruch{\overbrace{\red{|}a^n\red{|}}^{=\red{|}a\red{|}^n}}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}})^\bruch{1}{n}= \bruch{\red{|}a\red{|}}{(n^2+5n+6)^\bruch{1}{2n}}$$
[/mm]
> 1.Frage:
> Und nun muss ich den Grenzwert bestimmen, oder?
Am besten den [mm] $\limsup_{n \to \infty}\,.$ [/mm] Wenn aber [mm] $\lim$ [/mm] existiert, dann gilt eh
[mm] $\lim=\limsup=\liminf\,.$ [/mm] (![[]](/images/popup.gif) Satz 5.21 2. (klick!), Richtung [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] in diesem
Satz! Dort bedeutet [mm] $\overline{\lim}=\limsup$ [/mm] und [mm] $\underline{\lim}=\liminf\,.$)
[/mm]
> Der Exponent im Nenner konvergiert gegen 0 und das in der
> Klammer geht gegen unendlich. Verträgt sich das? Also zwei
> verschiedene Grenzwerte? Einmal der im Exponent und einmal
> der in der Klammer.
Du kannst hier das Sandwichkriterium bemühen, indem Du [mm] $\sqrt[n]{n} \to [/mm] 1$
sowie auch [mm] $\sqrt[n]{r} \to [/mm] 1$ (für jedes bel., aber feste $r > 0$) ausnutzt.
(Ich hoffe, dass beides bekannt ist; zudem solltest Du insbesondere
die Rechenregel für den Grenzwert des Produktes einer Folge, die Produkt
zweier konvergenter Folgen ist, beherrschen!)
Tipp: Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt
[mm] $$\sqrt[n]{n}=\sqrt[2n]{n^2} \le \sqrt[2n]{n^2+5n+6} \le \sqrt[2n]{n^2+5n^2+6n^2}\,.$$
[/mm]
(Warum?)
> 2.Frage:
> In meinem Skript steht, dass für < 1 die Reihe absolut
Da steht sicher: Für jedes [mm] $a\,$ [/mm] mit $|a| < 1$
> konvergiert und für
jedes $a$ mit $|a| > 1$
> divergiert. Und wann konvergiert
> sie "nur", also nicht absolut?
Generell müsste es sowas ja gar nicht geben: Die geometrische Reihe
[mm] $\sum_{k=0}^\infty q^k$ [/mm] beispielsweise ist genau absolut konvergent
für $|q| < [mm] 1\,,$ [/mm] für $|q| [mm] \ge [/mm] 1$ divergiert sie. D.h. den Fall der sogenannten
"bedingten Konvergenz" (=Reihe ist konvergent, aber nicht absolut
konvergent) gibt es bei der geometrischen Reihe nicht.
Die bessere Frage ist also, wenn man sich [mm] $\summe_{\red{n}=1}^{\red{\infty}} \bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}$ [/mm] anguckt, und nun weiß, was für
$|a|<1$ und für $|a| > 1$ los ist:
Welches Konvergenzverhalten hat die Reihe JEWEILS für die [mm] $a\,$ [/mm] mit
$|a|=1$?
Falls bei Euch $a [mm] \in \IR$ [/mm] gelten soll, ist diese Frage einfach zu
beantworten:
Für $a=1$ ist
[mm] $$\summe_{n=1}^{\red{\infty}} \bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}=\summe_{n=1}^{\red{\infty}} \bruch{1}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}$$
[/mm]
in ziemlich offensichtlicher Weise divergent; respektive konvergent gegen
[mm] $\infty\,.$ [/mm] (Warum ist das "offensichtlich"?)
Für [mm] $a=\;-\;1$ [/mm] solltest Du an das Leibnizkriterium denken... Und jetzt mal die Frage:
Ist für [mm] $a=\;-\;1$ [/mm] die Reihe dann auch absolut konvergent? (Wenn Du das
vorangegangene verstanden hast, sollte Dir die Antwort zu dieser Frage
wie eine Banalität vorkommen...) Was haben wir also bzgl. "bedingt
konvergent" nun rausgefunden?
> Vielen Dank :)
Gerne! 
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel :)
> > Für welche a ist die Reihe [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}[/mm]
>
> den Laufindex solltest Du einheitlich bezeichnen: Bei Dir
> soll ja [mm]i=n\,[/mm]
> stets sein - wobei wir zuvor die obere Grenze [mm]n\,[/mm] noch
> durch [mm]\infty[/mm]
> ersetzen:
> [mm]\summe_{\red{n}=1}^{\red{\infty}} \bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}\,.[/mm]
>
> Nicht wahr?!
Oh ja, tut mir Leid :-D
> > konvergent für welche absolut konvergent?
> >
> > Guten Abend.
> >
> > Zunächst einmal würde ich sagen, dass man hier am besten
> > das Wurzelkriterium anwendet.
> >
> > [mm]\wurzel[n]{|a_n|} =\wurzel[n]{| \bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}|} = (\bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}})^\bruch{1}{n}= \bruch{a}{(n^2+5n+6)^\bruch{1}{2n}}[/mm]
>
> Kleine Korrektur:
> [mm]\wurzel[n]{|a_n|} =\wurzel[n]{| \bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}|} = (\bruch{\overbrace{\red{|}a^n\red{|}}^{=\red{|}a\red{|}^n}}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}})^\bruch{1}{n}= \bruch{\red{|}a\red{|}}{(n^2+5n+6)^\bruch{1}{2n}}[/mm]
Weil ich nicht weiß, ob das a negativ oder positiv ist, darf ich die Betragstriche nicht weglassen, aber ich weiß, dass der Nenner immer positiv ist und lasse deshalb dort die Betragstriche weg.?
> > 1.Frage:
> > Und nun muss ich den Grenzwert bestimmen, oder?
>
> Am besten den [mm]\limsup_{n \to \infty}\,.[/mm] Wenn aber [mm]\lim[/mm]
> existiert, dann gilt eh
> [mm]\lim=\limsup=\liminf\,.[/mm]
> (Satz 5.21 2. (klick!),
> Richtung "[mm]\Rightarrow[/mm]" in diesem
> Satz! Dort bedeutet [mm]\overline{\lim}=\limsup[/mm] und
> [mm]\underline{\lim}=\liminf\,.[/mm])
Bei Wikipedia steht "Limes superior und Limes inferior sind ein partieller Ersatz für den Grenzwert, falls dieser nicht existiert." Und warum verwende ich den Limes superior dann hier? Wenn kein Grenzwert existiert, dann ist die Reihe doch nicht konvergent.
> > Der Exponent im Nenner konvergiert gegen 0 und das in der
> > Klammer geht gegen unendlich. Verträgt sich das? Also zwei
> > verschiedene Grenzwerte? Einmal der im Exponent und einmal
> > der in der Klammer.
>
> Du kannst hier das Sandwichkriterium bemühen, indem Du
> [mm]\sqrt[n]{n} \to 1[/mm]
Leider verstehe ich nicht ganz warum es gegen 1 konvergiert.. :(
Der Exponent geht im Unendlichen gegen Null und ich weiß das eine Zahl hoch Null 1 ergibt. Aber die Basis also das n geht doch auch gegen unendlich und was bei [mm]\infty^0[/mm] passiert ist doch gar nicht festgelegt?
> sowie auch [mm]\sqrt[n]{r} \to 1[/mm] (für jedes
> bel., aber feste [mm]r > 0[/mm]) ausnutzt.
Wenn das r fest ist, dann bin ich damit einverstanden, dass es gegen 1 konvergiert, aber wie gesagt bei dem ersten Beispiel habe ich wohl einen Denkfehler..
> (Ich hoffe, dass beides bekannt ist; zudem solltest Du
> insbesondere
> die Rechenregel für den Grenzwert des Produktes einer
> Folge, die Produkt
> zweier konvergenter Folgen ist, beherrschen!)
<span class="math">[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n = a
\limes_{n\rightarrow\infty} b_n = b
\limes_{n\rightarrow\infty} a_n * b_n = a * b[/mm]
Meinst du das?
</span>
> Tipp: Für jedes [mm]n \in \IN[/mm] gilt
> [mm]\sqrt[n]{n}=\sqrt[2n]{n^2} \le \sqrt[2n]{n^2+5n+6} \le \sqrt[2n]{n^2+5n^2+6n^2}\,.[/mm]
>
> (Warum?)
Weil [mm]n^2 \leq n^2 + 5n + 6 \leq n^2 + 5n^2 + 6n^2[/mm], oder wie meinst du das?
> > 2.Frage:
> > In meinem Skript steht, dass für < 1 die Reihe
> absolut
>
> Da steht sicher: Für jedes [mm]a\,[/mm] mit [mm]|a| < 1[/mm]
>
> > konvergiert und für
>
> jedes [mm]a[/mm] mit [mm]|a| > 1[/mm]
>
> > divergiert. Und wann konvergiert
> > sie "nur", also nicht absolut?
>
> Generell müsste es sowas ja gar nicht geben: Die
> geometrische Reihe
> [mm]\sum_{k=0}^\infty q^k[/mm] beispielsweise ist genau absolut
> konvergent
> für [mm]|q| < 1\,,[/mm] für [mm]|q| \ge 1[/mm] divergiert sie. D.h. den
> Fall der sogenannten
> "bedingten Konvergenz" (=Reihe ist konvergent, aber nicht
> absolut
> konvergent) gibt es bei der geometrischen Reihe nicht.
>
> Die bessere Frage ist also, wenn man sich
> [mm]\summe_{\red{n}=1}^{\red{\infty}} \bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}[/mm]
> anguckt, und nun weiß, was für
> [mm]|a|<1[/mm] und für [mm]|a| > 1[/mm] los ist:
> Welches Konvergenzverhalten hat die Reihe JEWEILS für die
> [mm]a\,[/mm] mit
> [mm]|a|=1[/mm]?
>
> Falls bei Euch [mm]a \in \IR[/mm] gelten soll, ist diese Frage
> einfach zu
> beantworten:
> Für [mm]a=1[/mm] ist
> [mm]\summe_{n=1}^{\red{\infty}} \bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}=\summe_{n=1}^{\red{\infty}} \bruch{1}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}[/mm]
>
> in ziemlich offensichtlicher Weise divergent; respektive
> konvergent gegen
> [mm]\infty\,.[/mm] (Warum ist das "offensichtlich"?)
Meinst du die Summe der Reihe konvergiert gegen [mm]\infty[/mm]?
Die Folge der Reihenglieder an sich ist eine Nullfolge oder?
Ist es vielleicht offensichtlich, weil die Reihe dann eine harmonische Reihe ist?
> Für [mm]a=\;-\;1[/mm] solltest Du an das Leibnizkriterium denken...
> Und jetzt mal die Frage:
> Ist für [mm]a=\;-\;1[/mm] die Reihe dann auch absolut konvergent?
> (Wenn Du das
> vorangegangene verstanden hast, sollte Dir die Antwort zu
> dieser Frage
> wie eine Banalität vorkommen...)
Wieso auch? Ich dachte für a = 1 ist sie divergent und daher würde ich sagen, dass sie für a = -1 gegen minus-unendlich geht. ??
Was haben wir also bzgl.
> "bedingt
> konvergent" nun rausgefunden?
Dass es hier keine bedingte Konvergenz gibt sondern nur Divergenz oder absolte Konvergenz??
> > Vielen Dank :)
>
> Gerne!
>
> Gruß,
> Marcel
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Hallo Lisa,
>
> Hallo Marcel :)
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> > > Für welche a ist die Reihe [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}[/mm]
> >
> > den Laufindex solltest Du einheitlich bezeichnen: Bei Dir
> > soll ja [mm]i=n\,[/mm]
> > stets sein - wobei wir zuvor die obere Grenze [mm]n\,[/mm] noch
> > durch [mm]\infty[/mm]
> > ersetzen:
> > [mm]\summe_{\red{n}=1}^{\red{\infty}} \bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}\,.[/mm]
>
> >
> > Nicht wahr?!
>
> Oh ja, tut mir Leid :-D
>
> > > konvergent für welche absolut konvergent?
> > >
> > > Guten Abend.
> > >
> > > Zunächst einmal würde ich sagen, dass man hier am besten
> > > das Wurzelkriterium anwendet.
> > >
> > > [mm]\wurzel[n]{|a_n|} =\wurzel[n]{| \bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}|} = (\bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}})^\bruch{1}{n}= \bruch{a}{(n^2+5n+6)^\bruch{1}{2n}}[/mm]
>
> >
> > Kleine Korrektur:
> > [mm]\wurzel[n]{|a_n|} =\wurzel[n]{| \bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}|} = (\bruch{\overbrace{\red{|}a^n\red{|}}^{=\red{|}a\red{|}^n}}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}})^\bruch{1}{n}= \bruch{\red{|}a\red{|}}{(n^2+5n+6)^\bruch{1}{2n}}[/mm]
>
> Weil ich nicht weiß, ob das a negativ oder positiv ist,
> darf ich die Betragstriche nicht weglassen, aber ich weiß,
> dass der Nenner immer positiv ist und lasse deshalb dort
> die Betragstriche weg.?
>
> > > 1.Frage:
> > > Und nun muss ich den Grenzwert bestimmen, oder?
> >
> > Am besten den [mm]\limsup_{n \to \infty}\,.[/mm] Wenn aber [mm]\lim[/mm]
> > existiert, dann gilt eh
> > [mm]\lim=\limsup=\liminf\,.[/mm]
> >
> (Satz 5.21 2. (klick!),
> > Richtung "[mm]\Rightarrow[/mm]" in diesem
> > Satz! Dort bedeutet [mm]\overline{\lim}=\limsup[/mm] und
> > [mm]\underline{\lim}=\liminf\,.[/mm])
>
> Bei Wikipedia steht "Limes superior und Limes inferior sind
> ein partieller Ersatz für den Grenzwert, falls dieser
> nicht existiert." Und warum verwende ich den Limes superior
> dann hier? Wenn kein Grenzwert existiert, dann ist die
> Reihe doch nicht konvergent.
Hast du eine Reihe [mm]\sum a_n[/mm] gegeben, so kannst du gem. dem Wurzelkriterium durch die Berechnung von [mm]\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}[/mm] nunmal auf Konvergenz prüfen.
Ist dieser Limsup <1 hast du gewonnen, die Reihe konvergiert (absolut), ist er >1 hast du auch gewonnen, die Reihe divergiert sicher.
Allein wenn der Limsup =1 ist, hilft dir das nix im Hinblick auf die Konvergenz der Reihe
>
> > > Der Exponent im Nenner konvergiert gegen 0 und das in der
> > > Klammer geht gegen unendlich. Verträgt sich das? Also zwei
> > > verschiedene Grenzwerte? Einmal der im Exponent und einmal
> > > der in der Klammer.
> >
> > Du kannst hier das Sandwichkriterium bemühen, indem Du
> > [mm]\sqrt[n]{n} \to 1[/mm]
>
> Leider verstehe ich nicht ganz warum es gegen 1
> konvergiert.. :(
> Der Exponent geht im Unendlichen gegen Null und ich weiß
> das eine Zahl hoch Null 1 ergibt. Aber die Basis also das n
> geht doch auch gegen unendlich und was bei [mm]\infty^0[/mm]
> passiert ist doch gar nicht festgelegt?
Das ist doch in jeder AnaI-Vorlesung dran.
Das kann man mithilfe des binomischen Lehrsatzes beweisen.
Schaue dich um nach einem Beweis (Skript, web), bin gerade zu faul, das selbst zu suchen bzw. auszuführen ...
>
> > sowie auch [mm]\sqrt[n]{r} \to 1[/mm] (für jedes
> > bel., aber feste [mm]r > 0[/mm]) ausnutzt.
>
> Wenn das r fest ist, dann bin ich damit einverstanden, dass
> es gegen 1 konvergiert, aber wie gesagt bei dem ersten
> Beispiel habe ich wohl einen Denkfehler..
>
> > (Ich hoffe, dass beides bekannt ist; zudem solltest Du
> > insbesondere
> > die Rechenregel für den Grenzwert des Produktes einer
> > Folge, die Produkt
> > zweier konvergenter Folgen ist, beherrschen!)
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n = a \limes_{n\rightarrow\infty} b_n = b \limes_{n\rightarrow\infty} a_n * b_n = a * b[/mm]
>
> Meinst du das?
>
> > Tipp: Für jedes [mm]n \in \IN[/mm] gilt
> > [mm]\sqrt[n]{n}=\sqrt[2n]{n^2} \le \sqrt[2n]{n^2+5n+6} \le \sqrt[2n]{n^2+5n^2+6n^2}\,.[/mm]
>
> >
> > (Warum?)
>
> Weil [mm]n^2 \leq n^2 + 5n + 6 \leq n^2 + 5n^2 + 6n^2[/mm], oder wie
> meinst du das?
Jo, die Wurzel ist monoton ...
>
>
> > > 2.Frage:
> > > In meinem Skript steht, dass für < 1 die Reihe
> > absolut
> >
> > Da steht sicher: Für jedes [mm]a\,[/mm] mit [mm]|a| < 1[/mm]
> >
> > > konvergiert und für
> >
> > jedes [mm]a[/mm] mit [mm]|a| > 1[/mm]
> >
> > > divergiert. Und wann konvergiert
> > > sie "nur", also nicht absolut?
> >
> > Generell müsste es sowas ja gar nicht geben: Die
> > geometrische Reihe
> > [mm]\sum_{k=0}^\infty q^k[/mm] beispielsweise ist genau absolut
> > konvergent
> > für [mm]|q| < 1\,,[/mm] für [mm]|q| \ge 1[/mm] divergiert sie. D.h. den
> > Fall der sogenannten
> > "bedingten Konvergenz" (=Reihe ist konvergent, aber
> nicht
> > absolut
> > konvergent) gibt es bei der geometrischen Reihe nicht.
> >
> > Die bessere Frage ist also, wenn man sich
> > [mm]\summe_{\red{n}=1}^{\red{\infty}} \bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}[/mm]
> > anguckt, und nun weiß, was für
> > [mm]|a|<1[/mm] und für [mm]|a| > 1[/mm] los ist:
> > Welches Konvergenzverhalten hat die Reihe JEWEILS für
> die
> > [mm]a\,[/mm] mit
> > [mm]|a|=1[/mm]?
> >
> > Falls bei Euch [mm]a \in \IR[/mm] gelten soll, ist diese Frage
> > einfach zu
> > beantworten:
> > Für [mm]a=1[/mm] ist
> > [mm]\summe_{n=1}^{\red{\infty}} \bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}=\summe_{n=1}^{\red{\infty}} \bruch{1}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}[/mm]
>
> >
> > in ziemlich offensichtlicher Weise divergent; respektive
> > konvergent gegen
> > [mm]\infty\,.[/mm] (Warum ist das "offensichtlich"?)
>
> Meinst du die Summe der Reihe konvergiert gegen [mm]\infty[/mm]?
Nein, was soll die "Summe der Reihe" sein?
Die Reihe bzw. ihr Wert (Reihenwert) strebt gegen [mm]\infty[/mm], also [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{\sqrt{n^2+5n+6}}=\infty[/mm]
> Die Folge der Reihenglieder an sich ist eine Nullfolge
> oder?
Ja, aber das impliziert noch lange nicht die Konvergenz der zugeh. Reihe, wie die harmonische Reihe zeigt
>
> Ist es vielleicht offensichtlich, weil die Reihe dann eine
> harmonische Reihe ist?
Yepp
>
> > Für [mm]a=\;-\;1[/mm] solltest Du an das Leibnizkriterium denken...
>
> > Und jetzt mal die Frage:
> > Ist für [mm]a=\;-\;1[/mm] die Reihe dann auch absolut konvergent?
> > (Wenn Du das
> > vorangegangene verstanden hast, sollte Dir die Antwort
> zu
> > dieser Frage
> > wie eine Banalität vorkommen...)
>
> Wieso auch? Ich dachte für a = 1 ist sie divergent und
> daher würde ich sagen, dass sie für a = -1 gegen
> minus-unendlich geht. ??
Na, was heißt denn "absolut konvergent" ?
Mache dir das klar und deine Antwort wird dir im Nachhinein ziemlich vermurkst vorkommen ...
>
> Was haben wir also bzgl.
> > "bedingt
> > konvergent" nun rausgefunden?
>
> Dass es hier keine bedingte Konvergenz gibt sondern nur
> Divergenz oder absolte Konvergenz??
Langsam an, wir haben nun rausgefunden, dass [mm]\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{a^n}{\sqrt{n^2+5n+6}}\right|}=\frac{|a|}{1}=|a|[/mm] ist.
Nun sagt das Wurzelkriterium:
1) Für [mm]|a|>1[/mm] ist die Reihe ...
2) Für [mm]|a|<1[/mm] ist die Reihe ...
Und durch Einsetzen und Nachrechnen wissen wir schon:
3) Für [mm]a=1[/mm] ist die Reihe ...
4) Für $a=-1$ steht immer noch Leibniz an ...
Fülle die Lücken noch aus ...
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus :)
> Hast du eine Reihe [mm]\sum a_n[/mm] gegeben, so kannst du gem. dem
> Wurzelkriterium durch die Berechnung von
> [mm]\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}[/mm] nunmal auf
> Konvergenz prüfen.
>
> Ist dieser Limsup <1 hast du gewonnen, die Reihe
> konvergiert (absolut), ist er >1 hast du auch gewonnen, die
> Reihe divergiert sicher.
>
> Allein wenn der Limsup =1 ist, hilft dir das nix im
> Hinblick auf die Konvergenz der Reihe
Okay, verstanden, verinnerlicht und gemerkt :)
> > > Du kannst hier das Sandwichkriterium bemühen, indem Du
> > > [mm]\sqrt[n]{n} \to 1[/mm]
> >
> > Leider verstehe ich nicht ganz warum es gegen 1
> > konvergiert.. :(
> > Der Exponent geht im Unendlichen gegen Null und ich
> weiß
> > das eine Zahl hoch Null 1 ergibt. Aber die Basis also das n
> > geht doch auch gegen unendlich und was bei [mm]\infty^0[/mm]
> > passiert ist doch gar nicht festgelegt?
>
> Das ist doch in jeder AnaI-Vorlesung dran.
>
> Das kann man mithilfe des binomischen Lehrsatzes beweisen.
>
> Schaue dich um nach einem Beweis (Skript, web), bin gerade
> zu faul, das selbst zu suchen bzw. auszuführen ...
Habe etwas gefunden und nun glaube ich es auch :P
> > > Tipp: Für jedes [mm]n \in \IN[/mm] gilt
> > > [mm]\sqrt[n]{n}=\sqrt[2n]{n^2} \le \sqrt[2n]{n^2+5n+6} \le \sqrt[2n]{n^2+5n^2+6n^2}\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > > (Warum?)
> >
> > Weil [mm]n^2 \leq n^2 + 5n + 6 \leq n^2 + 5n^2 + 6n^2[/mm], oder wie
> > meinst du das?
>
> Jo, die Wurzel ist monoton ...
Die Wurzel ist monoton wachsend.
Aber was soll mir [mm]\sqrt[n]{n}=\sqrt[2n]{n^2} \le \sqrt[2n]{n^2+5n+6} \le \sqrt[2n]{n^2+5n^2+6n^2}\,[/mm] eigentlich sagen bzw. wie weiterhelfen?
> > > Für [mm]a=1[/mm] ist
> > > [mm]\summe_{n=1}^{\red{\infty}} \bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}=\summe_{n=1}^{\red{\infty}} \bruch{1}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > in ziemlich offensichtlicher Weise divergent; respektive
> > > konvergent gegen
> > > [mm]\infty\,.[/mm] (Warum ist das "offensichtlich"?)
> >
> > Meinst du die Summe der Reihe konvergiert gegen [mm]\infty[/mm]?
>
> Nein, was soll die "Summe der Reihe" sein?
>
> Die Reihe bzw. ihr Wert (Reihenwert) strebt gegen [mm]\infty[/mm],
> also [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{\sqrt{n^2+5n+6}}=\infty[/mm]
Genau das meinte ich. Das ist doch eine Summe?
Ab jetzt werde ich Reihenwert dazu sagen.
> > Die Folge der Reihenglieder an sich ist eine Nullfolge
> > oder?
>
> Ja, aber das impliziert noch lange nicht die Konvergenz der
> zugeh. Reihe, wie die harmonische Reihe zeigt
>
Verstanden.
> > Ist es vielleicht offensichtlich, weil die Reihe dann eine
> > harmonische Reihe ist?
>
> Yepp
Hier habe ich einen Denkfehler ich hoffe Ihr könnt mir da helfen.
Wenn ich eine Reihe auf Konvergenz untersuchen will und mich dem Majorantenkriterium bediene dann suche ich dieses Verhältnis [mm]|a_n| \leq b_n[/mm], wobei [mm]a_n[/mm]die Folge der Reihenglieder der gegebenen Reihe ist und <span class="math">[mm]b_n[/mm] die einer Reihe die bereits bekannt konvergent ist (geometrische Reihe). Und für Divergenz suche ich dieses Verhltnis [mm]a_n \geq b_n[/mm], das heißt hier konkret [mm]\bruch{1}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}} \geq \bruch{1}{n}[/mm], dafür muss aber [mm]\wurzel{n^2 + 5n + 6} < n[/mm] ist doch nie erfüllt??
Wo ist mein Denkfehler?
> > > Für [mm]a=\;-\;1[/mm] solltest Du an das Leibnizkriterium denken...
> >
> > > Und jetzt mal die Frage:
> > > Ist für [mm]a=\;-\;1[/mm] die Reihe dann auch absolut konvergent?
> > > (Wenn Du das
> > > vorangegangene verstanden hast, sollte Dir die
> Antwort
> > zu
> > > dieser Frage
> > > wie eine Banalität vorkommen...)
> >
> > Wieso auch? Ich dachte für a = 1 ist sie divergent und
> > daher würde ich sagen, dass sie für a = -1 gegen
> > minus-unendlich geht. ??
>
> Na, was heißt denn "absolut konvergent" ?
>
> Mache dir das klar und deine Antwort wird dir im Nachhinein
> ziemlich vermurkst vorkommen ...
Eine Reihe [mm]\summe_{i=0}^{\infty} a_n[/mm] ist absolut konvergent, wenn sie für [mm]\summe_{i=0}^{\infty} | a_n|[/mm] konvergiert.
Ich schäme mich etwas, nicht wegen meiner vorherigen Antwort, sondern weil ich es noch immer nicht richtig verstanden habe...
Für a = 1 haben wir gesagt, die Reihe ist divergent.
Nun werde ich gefragt, ob die Reihe für a = -1 absolut konvergent ist.
Meine Antwort ist nun, wenn die Reihe für a = 1 divergiert, dann kann sie für a = -1 nicht absolut konvergieren, da [mm]|-1| = 1[/mm] und daher divergiert sie auch für a = -1.
??
> >
> > Was haben wir also bzgl.
> > > "bedingt
> > > konvergent" nun rausgefunden?
> >
> > Dass es hier keine bedingte Konvergenz gibt sondern nur
> > Divergenz oder absolte Konvergenz??
>
> Langsam an, wir haben nun rausgefunden, dass
> [mm]\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{a^n}{\sqrt{n^2+5n+6}}\right|}=\frac{|a|}{1}=|a|[/mm]
> ist.
>
> Nun sagt das Wurzelkriterium:
>
1) Für [mm]|a|>1[/mm] ist die Reihe divergent.
2) Für [mm]|a|<1[/mm] ist die Reihe absolut konvergent.
> Und durch Einsetzen und Nachrechnen wissen wir schon:
3) Für [mm]a=1[/mm] ist die Reihe divergent.
> 4) Für [mm]a=-1[/mm] steht immer noch Leibniz an ...
Kommt gleich in einer seperaten Antwort.
Und warum steht dann in der Aufgabenstellung für welche a ist die Reihe konvergent und für welche absolut konvergent?
Für die a, für die sie absolut konvergent ist, ist sie auch konvergent.
> Gruß
>
> schachuzipus
>
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Leibnizkriterium für a = -1.
Wenn [mm]a_n[/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist, dann konvergiert die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} -1^n * a_n[/mm].
Das heißt ich muss unsere Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} -1^n * \bruch{1}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}[/mm] auf Monotonie untersuchen und ob sie eine Nullfolge ist.
Beweis durch Grenzwertsätze:
Hier schaue ich mir aber nur [mm]a_n[/mm] und lasse das [mm]-1^n [/mm] weg?
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{n^2}} = 0
[/mm]
Es ist also eine Nullfolge.
Beweis für Monotonie:
Damit die Folge monoton fallend ist muss gelten: [mm]a_{n+1} \leq a_n
[/mm]
[mm]\bruch{1}{\wurzel{(n+1)^2 + 5(n+1) + 6}} \leq \bruch{1}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}} \gdw \bruch{1}{(n+1)^2 + 5(n+1) + 6} \leq \bruch{1}{n^2 + 5n + 6}[/mm]
[mm] \gdw n^2 + 5n + 6 \leq (n+1)^2 + 5(n+1) + 6 = n^2 + 2n + 1 + 5n + 5 + 6 = n^2 + 7n + 11[/mm]
[mm] \gdw n^2 + 5n + 6 \leq n^2 + 7n + 11[/mm]
[mm] \gdw -2n -5 < 0[/mm]
Damit ist bewiesen, dass die Folge auch (streng) monoton fallend ist, daher konvergiert die Reihe für a = -1.
Soweit ich das verstanden habe ist die Reihe nun bedingt konvergent, also nicht absolut konvergent.
Damit wäre die Reihe für a = -1 konvergent und für [mm]|a| < 1[/mm] absolut konvergent.
Richtig??????
mfg Lisa
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:19 Di 08.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa,
es ist nun echt spät, ich guck' mir das lieber morgen nochmal an. So grob
geguckt sieht's gut aus, bis darauf, dass Du lernen musst, dass da
[mm] $$\red{(}-1\red{)}^n$$
[/mm]
zu stehen hat: Denn es wäre [mm] $-1^n=-\red{(}1^n\red{)}=-1$ [/mm] zu lesen.
Und dann gerade der Schlusssatz:
> Damit wäre die Reihe für a = -1 konvergent und für [mm]|a| < 1[/mm]
> absolut konvergent.
>
> Richtig??????
Richtig, und genau passend für Formulierungen, wie sie der
Aufgabensteller benutzt. Ich würde DEUTLICH schreiben:
Für [mm] $a=-1\,$ [/mm] ist die Reihe BEDINGT konvergent, für $|a| < [mm] 1\,$ [/mm] konvergiert
sie absolut.
Und ich würde auch noch dazuschreiben, dass sie sonst stets divergiert...
Aber wie gesagt: Deine Antwort ist absolut passend zu der Sprache des
Aufgabenstellers, der darf sich da eigentlich bei Deiner Antwort so nicht
beschweren. Ich persönlich bin da ein wenig arg penibler.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:21 Di 08.01.2013 | | Autor: | LisaWeide |
> Hallo Lisa,
>
> es ist nun echt spät, ich guck' mir das lieber morgen
> nochmal an. So grob
> geguckt sieht's gut aus
Okay, vielen lieben Dank Marcel :) Das ist das erste Mal, dass ich das Leibnizkriterium anwende, deswegen würde ich mich über eine Rückmeldung freuen :)
> bis darauf, dass Du lernen musst,
> dass da
> [mm]\red{(}-1\red{)}^n[/mm]
> zu stehen hat: Denn es wäre [mm]-1^n=-\red{(}1^n\red{)}=-1[/mm] zu
> lesen.
Ok, verstanden.
> Und dann gerade der Schlusssatz:
> > Damit wäre die Reihe für a = -1 konvergent und für
> [mm]|a| < 1[/mm]
> > absolut konvergent.
> >
> > Richtig??????
>
> Richtig, und genau passend für Formulierungen, wie sie der
> Aufgabensteller benutzt. Ich würde DEUTLICH schreiben:
> Für [mm]a=-1\,[/mm] ist die Reihe BEDINGT konvergent, für [mm]|a| < 1\,[/mm]
> konvergiert
> sie absolut.
>
> Und ich würde auch noch dazuschreiben, dass sie sonst
> stets divergiert...
>
> Aber wie gesagt: Deine Antwort ist absolut passend zu der
> Sprache des
> Aufgabenstellers, der darf sich da eigentlich bei Deiner
> Antwort so nicht
> beschweren. Ich persönlich bin da ein wenig arg penibler.
>
Okay :)
Ich kann mich nicht beschweren, sondern nur bedanken, dafür, dass du dir Zeit genommen hast und mich sehr viel weiter gebracht hast :)
Gute Nacht :)
Antworte auf deine beiden Antworten morgen :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:16 Di 08.01.2013 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Marcel:
Dass [mm] (a_n) [/mm] eine fallende Nullfolge ist, hast Du richtig gezeigt.
FRED
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> Ergänzend zu Marcel:
>
> Dass [mm](a_n)[/mm] eine fallende Nullfolge ist, hast Du richtig
> gezeigt.
Okay, super danke :)
Ist die Grenzwertberechnung richtig?
Denn ich war mir nicht sicher, ob ich einfach [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{n^2}}[/mm] schreiben kann, ohne das zu begründen?
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Hallo Lisa,
> Ist die Grenzwertberechnung richtig?
Sie hat das richtige Ergebnis.
> Denn ich war mir nicht sicher, ob ich einfach
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{n^2}}[/mm]
> schreiben kann, ohne das zu begründen?
Das ist eigentlich offensichtlich, aber es gibt Korrektoren, die es Dir anstreichen würden, wenn Du es nicht begründest.
Wozu muss man das überhaupt schreiben?
Notfalls geht auch
[mm] \lim_{n\to\infty}\bruch{1}{\wurzel{n^2+5n+6}}=\lim_{n\to\infty}\bruch{1}{\wurzel{n+2}*\wurzel{n+3}}\blue{=}\lim_{n\to\infty}\bruch{1}{\wurzel{n}*\wurzel{n}}=\lim_{n\to\infty}\bruch{1}{n}
[/mm]
..., aber man kann erstens auch zuviel schreiben und müsste eigentlich zweitens trotzdem noch das blaue Gleichheitszeichen begründen.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa,
>
>
> > Ergänzend zu Marcel:
> >
> > Dass [mm](a_n)[/mm] eine fallende Nullfolge ist, hast Du richtig
> > gezeigt.
>
> Okay, super danke :)
>
> Ist die Grenzwertberechnung richtig?
> Denn ich war mir nicht sicher, ob ich einfach
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{n^2}}[/mm]
> schreiben kann, ohne das zu begründen?
es sollte begründet werden - aber dann begründe doch einfach direkt
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}=0$$
[/mm]
mithilfe von
$$0 [mm] \le \frac{1}{\sqrt{n^2+5n+6}}\le \frac{1}{n} \to 0\,.$$
[/mm]
(Das ist sicher eh das, woran Du dabei denkst!)
Als Korrektor würde ich Dir das aber nicht bemängeln, sondern höchstens
"kommentieren", dass da noch 'ne "Kleinigkeit" fehlt.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:18 Mi 09.01.2013 | | Autor: | LisaWeide |
Okay, vielen Dank euch beiden :)
> [mm]0 \le \frac{1}{\sqrt{n^2+5n+6}}\le \frac{1}{n} \to 0\[/mm]
Das Sandwichkriterium ist wirklich super, ich werde versuchen es öfter anzuwenden :)
Gruß,
Lisa
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:09 Di 08.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo schachuzipus :)
>
>
> > Hast du eine Reihe [mm]\sum a_n[/mm] gegeben, so kannst du gem. dem
> > Wurzelkriterium durch die Berechnung von
> > [mm]\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}[/mm] nunmal auf
> > Konvergenz prüfen.
> >
> > Ist dieser Limsup <1 hast du gewonnen, die Reihe
> > konvergiert (absolut), ist er >1 hast du auch gewonnen, die
> > Reihe divergiert sicher.
> >
> > Allein wenn der Limsup =1 ist, hilft dir das nix im
> > Hinblick auf die Konvergenz der Reihe
>
> Okay, verstanden, verinnerlicht und gemerkt :)
>
>
> > > > Du kannst hier das Sandwichkriterium bemühen, indem Du
> > > > [mm]\sqrt[n]{n} \to 1[/mm]
> > >
> > > Leider verstehe ich nicht ganz warum es gegen 1
> > > konvergiert.. :(
> > > Der Exponent geht im Unendlichen gegen Null und ich
> > weiß
> > > das eine Zahl hoch Null 1 ergibt. Aber die Basis also das n
> > > geht doch auch gegen unendlich und was bei [mm]\infty^0[/mm]
> > > passiert ist doch gar nicht festgelegt?
> >
> > Das ist doch in jeder AnaI-Vorlesung dran.
> >
> > Das kann man mithilfe des binomischen Lehrsatzes beweisen.
> >
> > Schaue dich um nach einem Beweis (Skript, web), bin gerade
> > zu faul, das selbst zu suchen bzw. auszuführen ...
>
> Habe etwas gefunden und nun glaube ich es auch :P
>
>
> > > > Tipp: Für jedes [mm]n \in \IN[/mm] gilt
> > > > [mm]\sqrt[n]{n}=\sqrt[2n]{n^2} \le \sqrt[2n]{n^2+5n+6} \le \sqrt[2n]{n^2+5n^2+6n^2}\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > (Warum?)
> > >
> > > Weil [mm]n^2 \leq n^2 + 5n + 6 \leq n^2 + 5n^2 + 6n^2[/mm], oder wie
> > > meinst du das?
> >
> > Jo, die Wurzel ist monoton ...
>
> Die Wurzel ist monoton wachsend.
richtig. Mit monoton meint man immer "monoton wachsend oder monoton
fallend"; dahingehend hat Schachu das dennoch richtig gesagt, nur nicht
so konkret. Monoton fallend wäre eigentlich hier genauso gut, aber
nehmen wir doch lieber monoton wachsend, weil das ja auch die Wahrheit hier ist.
> Aber was soll mir [mm]\sqrt[n]{n}=\sqrt[2n]{n^2} \le \sqrt[2n]{n^2+5n+6} \le \sqrt[2n]{n^2+5n^2+6n^2}\,[/mm]
> eigentlich sagen bzw. wie weiterhelfen?
Rechts kannst Du doch [mm] $n^2+5n^2+6n^2=12n^2$ [/mm] schreiben, dann ist
[mm] $$\sqrt[2n]{n^2+5n^2+6n^2}=\sqrt[2n]{12}*\sqrt[2n]{n^2}=\sqrt[2n]{12}*\sqrt[n]{n}$$
[/mm]
Und jetzt gibt's wenigstens zwei gute Begründungen, warum [mm] $\sqrt[2n]{12} \to 1\,.$ [/mm] Bei der einen argumentiert
man einfach mit einer Teilfolge, bei der anderen mit Umschreiben, wo halt
dann [mm] $\sqrt[]{}=\sqrt[2]{}$ [/mm] ins Spiel kommt... Danach Sandwichkritierum...
(Was passiert mit den Schranken bei $n [mm] \to \infty$?)
[/mm]
>
> > > > Für [mm]a=1[/mm] ist
> > > > [mm]\summe_{n=1}^{\red{\infty}} \bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}=\summe_{n=1}^{\red{\infty}} \bruch{1}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > in ziemlich offensichtlicher Weise divergent; respektive
> > > > konvergent gegen
> > > > [mm]\infty\,.[/mm] (Warum ist das "offensichtlich"?)
> > >
> > > Meinst du die Summe der Reihe konvergiert gegen [mm]\infty[/mm]?
> >
> > Nein, was soll die "Summe der Reihe" sein?
> >
> > Die Reihe bzw. ihr Wert (Reihenwert) strebt gegen [mm]\infty[/mm],
> > also [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{\sqrt{n^2+5n+6}}=\infty[/mm]
>
> Genau das meinte ich. Das ist doch eine Summe?
> Ab jetzt werde ich Reihenwert dazu sagen.
>
> > > Die Folge der Reihenglieder an sich ist eine Nullfolge
> > > oder?
> >
> > Ja, aber das impliziert noch lange nicht die Konvergenz der
> > zugeh. Reihe, wie die harmonische Reihe zeigt
> >
>
> Verstanden.
>
> > > Ist es vielleicht offensichtlich, weil die Reihe dann eine
> > > harmonische Reihe ist?
> >
> > Yepp
>
> Hier habe ich einen Denkfehler ich hoffe Ihr könnt mir da
> helfen.
> Wenn ich eine Reihe auf Konvergenz untersuchen will und
> mich dem Majorantenkriterium bediene dann suche ich dieses
> Verhältnis [mm]|a_n| \leq b_n[/mm], wobei [mm]a_n[/mm]die Folge der
> Reihenglieder der gegebenen Reihe ist und <span
> class="math">[mm]b_n[/mm] die einer Reihe die bereits bekannt
> konvergent ist (geometrische Reihe).
Das muss nicht immer die geometrische sein, in den meisten Fällen ist es
auch eine von einer anderen Form. Man muss halt irgendwoher wissen,
dass die Majorante eine konvergente Reihe ist. Das geht manchmal auch
durch Betrachtungen mit Ziehharmonikareihen oder wie auch immer...
> Und für Divergenz
> suche ich dieses Verhltnis [mm]a_n \geq b_n[/mm], das heißt hier
> konkret [mm]\bruch{1}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}} \geq \bruch{1}{n}[/mm],
> dafür muss aber [mm]\wurzel{n^2 + 5n + 6} < n[/mm] ist doch nie
> erfüllt??
> Wo ist mein Denkfehler?
Du hast Dich dem Vergleichskriterium bedient. Das ist auch in Ordnung. Der
Fehler ist versteckt, das versteht man wirklich besser, wenn man sich mal
den Beweis des Vergleichskriteriums anschaut:
Die Aussage, dass Deine Reihe das gleiche Konvergenzverhalten hat wie
die Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty 1/n\,,$ [/mm] ist absolut korrekt. Der Fehler ist,
dass das noch nicht heißt, dass Du direkt einfach [mm] $\sum_{n=1}^\infty [/mm] 1/n$
als divergente Minorante für Deine Reihe hernehmen kannst. Sondern, es
heißt, dass es sicher ein $C > [mm] 0\,$ [/mm] so gibt, dass Du
[mm] $$C*\sum_{n=1}^\infty 1/n=\sum_{n=1}^\infty [/mm] C/n$$
als divergente Minorante nehmen kannst.
Und wenn man's ganz genau nimmt: Bei der Minoranten kommt es dann
auf endlich viele Summanden nicht an - anders gesagt: Es reicht auch,
ein "Reststück" einer Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n\,$ [/mm] mit einer
divergenten Minoranten (bzw. dem "Reststück" einer divergenten
Minoranten) abzuschätzen.
Also beispielsweise bei Dir oben:
Benutze mal
[mm] $$\bruch{1}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}} \ge \frac{1}{2n}$$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge 3\,;$ [/mm] beweise dies insbesondere. Dann siehst Du vielleicht
ein passendes $C > [mm] 0\,$ [/mm] (es steht ja eigentlich schon da) und Du erkennst
hier auch, was ich wohl mit "Reststück einer Reihe" bezeichne.
Allgemein:
Ist [mm] $\sum_{n=n_0}^\infty a_n$ [/mm] eine Reihe, so nennen wir für irgendeine
ganze Zahl $p [mm] \ge n_0$ [/mm] dann [mm] $\sum_{n=p}^\infty a_n$ [/mm] ein Reststück der Reihe [mm] $\sum_{n=n_0}^\infty a_n\,.$
[/mm]
(Nebenbei: Man hätte auch anders abschätzen können, so dass man nicht
nur ein Reststück abschätzt... aber das kannst Du Dir ja mal selbst
überlegen - mach' obiges $C > [mm] 0\,$ [/mm] halt noch'n bisschen kleiner, aber es
muss halt schon $> [mm] 0\,$ [/mm] bleiben...)
> > > > Für [mm]a=\;-\;1[/mm] solltest Du an das Leibnizkriterium denken...
> > >
> > > > Und jetzt mal die Frage:
> > > > Ist für [mm]a=\;-\;1[/mm] die Reihe dann auch absolut konvergent?
> > > > (Wenn Du das
> > > > vorangegangene verstanden hast, sollte Dir die
> > Antwort
> > > zu
> > > > dieser Frage
> > > > wie eine Banalität vorkommen...)
> > >
> > > Wieso auch? Ich dachte für a = 1 ist sie divergent und
> > > daher würde ich sagen, dass sie für a = -1 gegen
> > > minus-unendlich geht. ??
> >
> > Na, was heißt denn "absolut konvergent" ?
> >
> > Mache dir das klar und deine Antwort wird dir im Nachhinein
> > ziemlich vermurkst vorkommen ...
>
> Eine Reihe [mm]\summe_{i=0}^{\infty} a_n[/mm] ist absolut
> konvergent, wenn sie für [mm]\summe_{i=0}^{\infty} | a_n|[/mm]
> konvergiert.
>
> Ich schäme mich etwas, nicht wegen meiner vorherigen
> Antwort, sondern weil ich es noch immer nicht richtig
> verstanden habe...
Nix Scham, aus Fehlern lernen wir. Du wirst gleich erneut lernen.
> Für a = 1 haben wir gesagt, die Reihe ist divergent.
> Nun werde ich gefragt, ob die Reihe für a = -1 absolut
> konvergent ist.
> Meine Antwort ist nun, wenn die Reihe für a = 1
> divergiert, dann kann sie für a = -1 nicht absolut
> konvergieren
Soweit ist das richtig.
> , da [mm]|-1| = 1[/mm] und daher divergiert sie auch
> für a = -1.
> ??
Und jetzt bist Du verwirrt. Nach Leibniz konvergiert sie doch für [mm] $a=\;-1\;,$
[/mm]
(nebenbei: hast Du dafür schon gezeigt, dass [mm] ${\Big(\frac{1}{\sqrt{n^2+5n+6}}\Big)}_n$ [/mm] monoton fallend gegen [mm] $0\,$ [/mm] ist?)
sie konvergiert dann halt nur nicht absolut. Also ist sie für [mm] $a=\;-1\;$ [/mm]
BEDINGT KONVERGENT!
Nur mal als Tipp: Schreib' Dir das mal alles nochmal zusammen. Zuerst
wendest Du das WK an, und dann machst Du ja eh Fallunterscheidungen:
1. Fall: $|a| < [mm] 1\,$...
[/mm]
2. Fall: $|a| > [mm] 1\,$...
[/mm]
Jetzt bleibt der Fall [mm] $|a|=1\,$ [/mm] noch zu untersuchen. Dazu machst Du nun
zwei Fallunterscheidungen wegen $a [mm] \in \IR:$
[/mm]
3. Fall: [mm] $a=1\,$...
[/mm]
4. Fall: [mm] $a=\;-1\;\,$...
[/mm]
Und gerade für den 3. Fall und den 4. Fall, wo Du das [mm] $a\,$ [/mm] ja konkret
gegeben hast, schreibst Du es auch in die Reihe rein und guckst Dir an,
wie die Reihe dann aussieht, also:
3. Fall: [mm] $a=1\,$ [/mm] hier untersuchen wir also [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{a^n}{\sqrt{n^2+5n+6}}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1^n}{\sqrt{n^2+5n+6}}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n^2+5n+6}}\,.$ [/mm] Gemäß des Minorantenkriteriums...
4. Fall: [mm] $a=\;-1\;\,,$ [/mm] hier untersuchen wir also [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{a^n}{\sqrt{n^2+5n+6}}=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n^2+5n+6}}=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n*\red{\frac{1}{\sqrt{n^2+5n+6}}}\,.$ [/mm] Gemäß des Leibnizkriteriums konvergiert diese
Reihe... aber wegen des 3. Falls kann sie nicht absolut konvergent sein,
also ist im Falle [mm] $a=\;-\;1$ [/mm] die Reihe bedingt konvergent!
> > >
> > > Was haben wir also bzgl.
> > > > "bedingt
> > > > konvergent" nun rausgefunden?
> > >
> > > Dass es hier keine bedingte Konvergenz gibt sondern nur
> > > Divergenz oder absolte Konvergenz??
> >
> > Langsam an, wir haben nun rausgefunden, dass
> >
> [mm]\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{a^n}{\sqrt{n^2+5n+6}}\right|}=\frac{|a|}{1}=|a|[/mm]
> > ist.
> >
> > Nun sagt das Wurzelkriterium:
> >
> 1) Für [mm]|a|>1[/mm] ist die Reihe divergent.
>
> 2) Für [mm]|a|<1[/mm] ist die Reihe absolut konvergent.
>
> > Und durch Einsetzen und Nachrechnen wissen wir schon:
>
> 3) Für [mm]a=1[/mm] ist die Reihe divergent.
>
> > 4) Für [mm]a=-1[/mm] steht immer noch Leibniz an ...
> Kommt gleich in einer seperaten Antwort.
>
> Und warum steht dann in der Aufgabenstellung für welche a
> ist die Reihe konvergent und für welche absolut
> konvergent?
Frag' den Aufgabensteller. Ich hätte gefragt: Für welche [mm] $a\,$ [/mm] konvergiert
die Reihe, und für welche [mm] $a\,$ [/mm] divergiert sie? Gibt es auch $a [mm] \in \IR\,,$
[/mm]
für die die Reihe bedingt konvergiert? Falls ja: Geben Sie alle diese $a [mm] \in \IR$ [/mm] an, für die die Reihe (nur) bedingt konvergiert.
Beweisen Sie Ihre Aussagen! Zudem sollen alle $a [mm] \in \IR$ [/mm] bei der Aufgabe behandelt werden. (Die letzten zwei Sätze werden bei diesen Aufgaben
eigentlich nie dazugeschrieben; aber eigentlich wäre es besser, sie
dazuzuschreiben. Sonst kannst Du auch antworten: "Für [mm] $a=0\,$ [/mm]
konvergiert die Reihe, insbesondere absolut, für $a=1$ divergiert sie und
für [mm] $a=\;-\;1$ [/mm] konvergiert sie bedingt." Damit wäre dann die Frage doch
beantwortet. Aber natürlich, wie sie oft: Es "ist ja klar", dass hier bei der
Aufgabe viel mehr verlangt wird - und weil wir "intuitiv" wissen, was wir
alles tun "sollen", wissen wir auch, "was wir alles zu tun haben". )
> Für die a, für die sie absolut konvergent ist, ist sie
> auch konvergent.
Ja. Wie gesagt: Die Aufgabe ist nicht gerade besonders gut formuliert. Man
könnte wenigstens schreiben:
Bestimmen Sie jeweils:
- genau alle $a [mm] \in \IR\,,$ [/mm] für die die Reihe absolut konvergiert
- genau alle $a [mm] \in \IR\,,$ [/mm] für die die Reihe bedingt konvergiert
- genau alle $a [mm] \in \IR\,,$ [/mm] für die die Reihe divergiert
Was der Aufgabensteller sich sicher eigentlich denkt: Wenn Du genau alle $a [mm] \in \IR$ [/mm]
kennst, für die die Reihe absolut konvergiert und genau alle $a [mm] \in \IR$ [/mm]
kennst, für die sie konvergiert (konvergent=bedingt konvergent ODER
absolut konvergent), dann weißt Du auch, für genau welche sie
bedingt konvergiert. (Wenn Du genau alle kennst, für die sie konvergiert,
kennst Du auch genau alle, für die sie divergiert). Dabei erspart er sich der
Worte "genau alle"; das muss man quasi erahnen, was er meint: Das muss
Dir quasi aus Deiner obigen Überlegung klarwerden, dass er immer "genau
alle" hier wissen will. Leider ist das üblich bei derartigen Fragen; und Du
bist nicht die erste, die sich dadurch verwirren ließ. Mir ging's da nicht
anders; ähnlich, wie oft auch in Beweisen irgendwann gesagt wird:
"Dazu müssen wir zeigen, dass..."
obwohl gemeint ist
"Es ist dazu hinreichend, zu zeigen, dass..."
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel :)
> > Aber was soll mir [mm]\sqrt[n]{n}=\sqrt[2n]{n^2} \le \sqrt[2n]{n^2+5n+6} \le \sqrt[2n]{n^2+5n^2+6n^2}\,[/mm]
> > eigentlich sagen bzw. wie weiterhelfen?
>
> Rechts kannst Du doch [mm]n^2+5n^2+6n^2=12n^2[/mm] schreiben, dann
> ist
>
> [mm]\sqrt[2n]{n^2+5n^2+6n^2}=\sqrt[2n]{12}*\sqrt[2n]{n^2}=\sqrt[2n]{12}*\sqrt[n]{n}[/mm]
>
> Und jetzt gibt's wenigstens zwei gute Begründungen, warum
> [mm]\sqrt[2n]{12} \to 1\,.[/mm] Bei der einen argumentiert
> man einfach mit einer Teilfolge, bei der anderen mit
> Umschreiben, wo halt
> dann [mm]\sqrt[]{}=\sqrt[2]{}[/mm] ins Spiel kommt... Danach
> Sandwichkritierum...
Und ich müsste dann auch wirklich eine dieser beiden Begründen geben, denn sonst könnte ich das Sandwichkriterium hier nicht anwenden, oder?
Kannst du mir vielleicht nur zwei kleine Ansätze zu den Begründungen geben?
> (Was passiert mit den Schranken bei [mm]n \to \infty[/mm]?)
Was mit den Schranken von [mm]\sqrt[2n]{12}*\sqrt[n]{n}[/mm] bei [mm]n \to \infty[/mm] passiert?
Maximum ist [mm]\wurzel{12}[/mm] und das Infimum 1.
> > Hier habe ich einen Denkfehler ich hoffe Ihr könnt mir da
> > helfen.
> > Wenn ich eine Reihe auf Konvergenz untersuchen will und
> > mich dem Majorantenkriterium bediene dann suche ich dieses
> > Verhältnis [mm]|a_n| \leq b_n[/mm], wobei [mm]a_n[/mm]die Folge der
> > Reihenglieder der gegebenen Reihe ist und <span <br="">[mm]b_n[/mm] die einer Reihe die bereits bekannt konvergent ist (geometrische Reihe).
>
> Das muss nicht immer die geometrische sein, in den meisten
> Fällen ist es
> auch eine von einer anderen Form. Man muss halt
> irgendwoher wissen,
> dass die Majorante eine konvergente Reihe ist. Das geht
> manchmal auch
> durch Betrachtungen mit Ziehharmonikareihen oder wie auch
> immer...
Okay verstanden, aber was sind Ziehharmonikareihen?
> > Und für Divergenz
> > suche ich dieses Verhltnis [mm]a_n \geq b_n[/mm], das heißt hier
> > konkret [mm]\bruch{1}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}} \geq \bruch{1}{n}[/mm],
> > dafür muss aber [mm]\wurzel{n^2 + 5n + 6} < n[/mm] ist doch nie
> > erfüllt??
> > Wo ist mein Denkfehler?
>
> Du hast Dich dem Vergleichskriterium bedient. Das ist auch
> in Ordnung. Der
> Fehler ist versteckt, das versteht man wirklich besser,
> wenn man sich mal
> den Beweis des Vergleichskriteriums anschaut:
> Die Aussage, dass Deine Reihe das gleiche
> Konvergenzverhalten hat wie
> die Reihe [mm]\sum_{n=1}^\infty 1/n\,,[/mm] ist absolut korrekt.
> Der Fehler ist,
> dass das noch nicht heißt, dass Du direkt einfach
> [mm]\sum_{n=1}^\infty 1/n[/mm]
> als divergente Minorante für Deine
> Reihe hernehmen kannst. Sondern, es
> heißt, dass es sicher ein [mm]C > 0\,[/mm] so gibt, dass Du
> [mm]C*\sum_{n=1}^\infty 1/n=\sum_{n=1}^\infty C/n[/mm]
> als
> divergente Minorante nehmen kannst.
>
> Und wenn man's ganz genau nimmt: Bei der Minoranten kommt
> es dann
> auf endlich viele Summanden nicht an - anders gesagt: Es
> reicht auch,
> ein "Reststück" einer Reihe [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n\,[/mm] mit
> einer
> divergenten Minoranten (bzw. dem "Reststück" einer
> divergenten
> Minoranten) abzuschätzen.
>
> Also beispielsweise bei Dir oben:
> Benutze mal
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}} \ge \frac{1}{2n}[/mm]
> für
> alle [mm]n \ge 3\,;[/mm] beweise dies insbesondere.
Mit Induktion oder Äquivalenzumformung?
Ich probiere es mal mit ÄU:
[mm]\bruch{1}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}} \ge \frac{1}{2n} \gdw \bruch{1}{n^2 + 5n + 6} \ge \frac{1}{4n^2} \gdw 4n^2 \geq n^2 + 5n + 6 \gdw 3n^2 \geq 5n + 6[/mm]
Cool, das gilt für [mm]n \geq 3[/mm] :)
Dann siehst Du
> vielleicht
> ein passendes [mm]C > 0\,[/mm] (es steht ja eigentlich schon da)
Das C, dass du gewählt hast ist [mm]\bruch{1}{2}[/mm]?
> und Du erkennst
> hier auch, was ich wohl mit "Reststück einer Reihe"
> bezeichne.
> Allgemein:
> Ist [mm]\sum_{n=n_0}^\infty a_n[/mm] eine Reihe, so nennen wir für
> irgendeine
> ganze Zahl [mm]p \ge n_0[/mm] dann [mm]\sum_{n=p}^\infty a_n[/mm] ein
> Reststück der Reihe [mm]\sum_{n=n_0}^\infty a_n\,.[/mm]
Verstanden :)
> (Nebenbei: Man hätte auch anders abschätzen können, so
> dass man nicht
> nur ein Reststück abschätzt... aber das kannst Du Dir ja
> mal selbst
> überlegen - mach' obiges [mm]C > 0\,[/mm] halt noch'n bisschen
> kleiner, aber es
> muss halt schon [mm]> 0\,[/mm] bleiben...)
Für 1/3, 1/4.. etc. würde es klappen. Also für [mm]C = \bruch{1}{n} [/mm] mit [mm]n \in\IN[/mm] ?
Wobei n dann ja auch unendlich groß wird, aber für C gilt doch [mm]C > 0[/mm].
Also [mm]C = \bruch{1}{n} [/mm] solange [mm]C > 0[/mm].
Oder wie schreibt man das mathematisch korrekt auf?
> > > > > Für [mm]a=\;-\;1[/mm] solltest Du an das Leibnizkriterium denken...
> > > >
> > > > > Und jetzt mal die Frage:
> > > > > Ist für [mm]a=\;-\;1[/mm] die Reihe dann auch absolut konvergent?
> > > > > (Wenn Du das
> > > > > vorangegangene verstanden hast, sollte Dir die
> > > Antwort
> > > > zu
> > > > > dieser Frage
> > > > > wie eine Banalität vorkommen...)
> > > >
> > > > Wieso auch? Ich dachte für a = 1 ist sie divergent und
> > > > daher würde ich sagen, dass sie für a = -1 gegen
> > > > minus-unendlich geht. ??
> > >
> > > Na, was heißt denn "absolut konvergent" ?
> > >
> > > Mache dir das klar und deine Antwort wird dir im Nachhinein
> > > ziemlich vermurkst vorkommen ...
> >
> > Eine Reihe [mm]\summe_{i=0}^{\infty} a_n[/mm] ist absolut
> > konvergent, wenn sie für [mm]\summe_{i=0}^{\infty} | a_n|[/mm]
> > konvergiert.
> >
> > Ich schäme mich etwas, nicht wegen meiner vorherigen
> > Antwort, sondern weil ich es noch immer nicht richtig
> > verstanden habe...
>
> Nix Scham, aus Fehlern lernen wir. Du wirst gleich erneut
> lernen.
Okay :)
> > Für a = 1 haben wir gesagt, die Reihe ist divergent.
> > Nun werde ich gefragt, ob die Reihe für a = -1 absolut
> > konvergent ist.
> > Meine Antwort ist nun, wenn die Reihe für a = 1
> > divergiert, dann kann sie für a = -1 nicht absolut
> > konvergieren
>
> Soweit ist das richtig.
>
> > , da [mm]|-1| = 1[/mm] und daher divergiert sie auch
> > für a = -1.
> > ??
>
> Und jetzt bist Du verwirrt. Nach Leibniz konvergiert sie
> doch für [mm]a=\;-1\;,[/mm]
Gut, als ich den Satz geschrieben habe, hatte ich das Leibnizkriterium noch nicht für -1 verwendet :P Ich hätte mit meinem voreiligem Urteil warten müssen.
> (nebenbei: hast Du dafür schon gezeigt, dass
> [mm]{\Big(\frac{1}{\sqrt{n^2+5n+6}}\Big)}_n[/mm] monoton fallend
> gegen [mm]0\,[/mm] ist?)
Ja, in der Antwort, die etwas später kam, als ich das Leibnizkriterium angewandt habe.
> sie konvergiert dann halt nur nicht absolut. Also ist sie
> für [mm]a=\;-1\;[/mm]
> BEDINGT KONVERGENT!
Verstanden:)
Nur aus Interesse, würde man für a = -2 auch von einer alternierenden Reihe sprechen?
> Nur mal als Tipp: Schreib' Dir das mal alles nochmal
> zusammen. Zuerst
> wendest Du das WK an, und dann machst Du ja eh
> Fallunterscheidungen:
>
> 1. Fall: [mm]|a| < 1\,[/mm]...
> 2. Fall: [mm]|a| > 1\,[/mm]...
>
> Jetzt bleibt der Fall [mm]|a|=1\,[/mm] noch zu untersuchen. Dazu
> machst Du nun
> zwei Fallunterscheidungen wegen [mm]a \in \IR:[/mm]
>
> 3. Fall: [mm]a=1\,[/mm]...
> 4. Fall: [mm]a=\;-1\;\,[/mm]...
>
> Und gerade für den 3. Fall und den 4. Fall, wo Du das [mm]a\,[/mm]
> ja konkret
> gegeben hast, schreibst Du es auch in die Reihe rein und
> guckst Dir an,
> wie die Reihe dann aussieht, also:
>
> 3. Fall: [mm]a=1\,[/mm] hier untersuchen wir also [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{a^n}{\sqrt{n^2+5n+6}}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1^n}{\sqrt{n^2+5n+6}}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n^2+5n+6}}\,.[/mm]
> Gemäß des Minorantenkriteriums...
> 4. Fall: [mm]a=\;-1\;\,,[/mm] hier untersuchen wir also
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{a^n}{\sqrt{n^2+5n+6}}=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n^2+5n+6}}=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n*\red{\frac{1}{\sqrt{n^2+5n+6}}}\,.[/mm]
> Gemäß des Leibnizkriteriums konvergiert diese
> Reihe... aber wegen des 3. Falls kann sie nicht absolut
> konvergent sein,
> also ist im Falle [mm]a=\;-\;1[/mm] die Reihe bedingt konvergent!
Super, alles verstanden :)
> > Und warum steht dann in der Aufgabenstellung für welche a
> > ist die Reihe konvergent und für welche absolut
> > konvergent?
>
> Frag' den Aufgabensteller. Ich hätte gefragt: Für welche
> [mm]a\,[/mm] konvergiert
> die Reihe, und für welche [mm]a\,[/mm] divergiert sie? Gibt es
> auch [mm]a \in \IR\,,[/mm]
> für die die Reihe bedingt konvergiert?
> Falls ja: Geben Sie alle diese [mm]a \in \IR[/mm] an, für die die
> Reihe (nur) bedingt konvergiert.
> Beweisen Sie Ihre Aussagen! Zudem sollen alle [mm]a \in \IR[/mm] bei
> der Aufgabe behandelt werden. (Die letzten zwei Sätze
> werden bei diesen Aufgaben
> eigentlich nie dazugeschrieben; aber eigentlich wäre es
> besser, sie
> dazuzuschreiben. Sonst kannst Du auch antworten: "Für
> [mm]a=0\,[/mm]
> konvergiert die Reihe, insbesondere absolut, für [mm]a=1[/mm]
> divergiert sie und
> für [mm]a=\;-\;1[/mm] konvergiert sie bedingt." Damit wäre dann
> die Frage doch
> beantwortet. Aber natürlich, wie sie oft: Es "ist ja
> klar", dass hier bei der
> Aufgabe viel mehr verlangt wird - und weil wir "intuitiv"
> wissen, was wir
> alles tun "sollen", wissen wir auch, "was wir alles zu tun
> haben". )
>
> > Für die a, für die sie absolut konvergent ist, ist sie
> > auch konvergent.
>
> Ja. Wie gesagt: Die Aufgabe ist nicht gerade besonders gut
> formuliert. Man
> könnte wenigstens schreiben:
> Bestimmen Sie jeweils:
> - genau alle [mm]a \in \IR\,,[/mm] für die die Reihe absolut
> konvergiert
> - genau alle [mm]a \in \IR\,,[/mm] für die die Reihe bedingt
> konvergiert
> - genau alle [mm]a \in \IR\,,[/mm] für die die Reihe divergiert
>
> Was der Aufgabensteller sich sicher eigentlich denkt: Wenn
> Du genau alle [mm]a \in \IR[/mm]
> kennst, für die die Reihe absolut konvergiert und genau
> alle [mm]a \in \IR[/mm]
> kennst, für die sie konvergiert (konvergent=bedingt
> konvergent ODER
> absolut konvergent), dann weißt Du auch, für genau welche
> sie
> bedingt konvergiert. (Wenn Du genau alle kennst, für die
> sie konvergiert,
> kennst Du auch genau alle, für die sie divergiert).
> erspart er sich der
> Worte "genau alle"; das muss man quasi erahnen, was er
> meint: Das muss
> Dir quasi aus Deiner obigen Überlegung klarwerden, dass
> er immer "genau
> alle" hier wissen will. Leider ist das üblich bei
> derartigen Fragen; und Du
> bist nicht die erste, die sich dadurch verwirren ließ. Mir
> ging's da nicht
> anders; ähnlich, wie oft auch in Beweisen irgendwann
> gesagt wird:
> "Dazu müssen wir zeigen, dass..."
> obwohl gemeint ist
> "Es ist dazu hinreichend, zu zeigen, dass..."
Super, vielen Dank für die Erklärung :))
Gruß,
Lisa </span>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa,
puh, wird das lang ^^
>
>
> Hallo Marcel :)
>
> > > Aber was soll mir [mm]\sqrt[n]{n}=\sqrt[2n]{n^2} \le \sqrt[2n]{n^2+5n+6} \le \sqrt[2n]{n^2+5n^2+6n^2}\,[/mm]
> > > eigentlich sagen bzw. wie weiterhelfen?
> >
> > Rechts kannst Du doch [mm]n^2+5n^2+6n^2=12n^2[/mm] schreiben, dann
> > ist
> >
> >
> [mm]\sqrt[2n]{n^2+5n^2+6n^2}=\sqrt[2n]{12}*\sqrt[2n]{n^2}=\sqrt[2n]{12}*\sqrt[n]{n}[/mm]
> >
> > Und jetzt gibt's wenigstens zwei gute Begründungen, warum
> > [mm]\sqrt[2n]{12} \to 1\,.[/mm] Bei der einen argumentiert
> > man einfach mit einer Teilfolge, bei der anderen mit
> > Umschreiben, wo halt
> > dann [mm]\sqrt[]{}=\sqrt[2]{}[/mm] ins Spiel kommt... Danach
> > Sandwichkritierum...
>
> Und ich müsste dann auch wirklich eine dieser beiden
> Begründen geben, denn sonst könnte ich das
> Sandwichkriterium hier nicht anwenden, oder?
sagen wir es lieber so: Mit einer dieser beiden Begründungen kannst Du
dann das Sandwichkriterium benutzen. Vielleicht gibt's ja auch was
anderes - deswegen sage ich nicht, dass das nur mit einer dieser beiden
geht. Es sind die - für mich - naheliegendsten.
> Kannst du mir vielleicht nur zwei kleine Ansätze zu den
> Begründungen geben?
Ja. Bei der ersten Möglichkeit: [mm] ${(\sqrt[2k]{12})}_k$ [/mm] ist Teilfolge der bekanntlich
gegen [mm] $1\,$ [/mm] konvergierenden Folge [mm] ${(\sqrt[n]{12})}_n\,.$ [/mm] Wogegen
konvergiert jede Teilfolge einer konvergenten Folge?
Bei der zweiten Möglichkeit: [mm] $\sqrt[2n]{12}=\sqrt{\sqrt[n]{12}}$ [/mm] gilt
für jedes $n [mm] \in \IN\,,$ [/mm] und weil [mm] $\sqrt{\cdot}$ [/mm] stetig (in [mm] $1=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{12}$)
[/mm]
ist, folgt dann
[mm] $$\sqrt[2n]{12}=\sqrt{\sqrt[n]{12}} \to \text{ ?}$$
[/mm]
Eine dritte Möglichkeit wäre es übrigens, einfach [mm] $\sqrt[2n]{12}=\sqrt[n]{\sqrt{12}}$ [/mm] zu benutzen...
> > (Was passiert mit den Schranken bei [mm]n \to \infty[/mm]?)
>
> Was mit den Schranken von [mm]\sqrt[2n]{12}*\sqrt[n]{n}[/mm] bei [mm]n \to \infty[/mm]
> passiert?
> Maximum ist [mm]\wurzel{12}[/mm] und das Infimum 1.
Nein, ich meine, wir wissen nun
[mm] $$1=\sqrt[2n]{1} \le \sqrt[2n]{n^2+5n+6} \le \sqrt[2n]{12}*\sqrt[n]{n}$$
[/mm]
[mm] $1\,$ [/mm] ist die linke Schranke, und [mm] $\sqrt[2n]{12}*\sqrt[n]{n}$ [/mm] ist die rechte Schranke. Was
passiert jeweils bei $n [mm] \to \infty$? [/mm] (Es geht drum, dass Du siehst, dass
das Sandwichkriterium "greift"!)
> > > Hier habe ich einen Denkfehler ich hoffe Ihr könnt mir da
> > > helfen.
> > > Wenn ich eine Reihe auf Konvergenz untersuchen will
> und
> > > mich dem Majorantenkriterium bediene dann suche ich dieses
> > > Verhältnis [mm]|a_n| \leq b_n[/mm], wobei [mm]a_n[/mm]die Folge der
> > > Reihenglieder der gegebenen Reihe ist und <span <br="">[mm]b_n[/mm]
> die einer Reihe die bereits bekannt konvergent ist
> (geometrische Reihe).
> >
> > Das muss nicht immer die geometrische sein, in den meisten
> > Fällen ist es
> > auch eine von einer anderen Form. Man muss halt
> > irgendwoher wissen,
> > dass die Majorante eine konvergente Reihe ist. Das geht
> > manchmal auch
> > durch Betrachtungen mit Ziehharmonikareihen oder wie
> auch
> > immer...
>
> Okay verstanden, aber was sind Ziehharmonikareihen?
Reihen der Bauart
[mm] $$\sum_{n=n_0}^\infty (a_{n+1}-a_n)\,.$$
[/mm]
> > > Und für Divergenz
> > > suche ich dieses Verhltnis [mm]a_n \geq b_n[/mm], das heißt hier
> > > konkret [mm]\bruch{1}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}} \geq \bruch{1}{n}[/mm],
> > > dafür muss aber [mm]\wurzel{n^2 + 5n + 6} < n[/mm] ist doch nie
> > > erfüllt??
> > > Wo ist mein Denkfehler?
> >
> > Du hast Dich dem Vergleichskriterium bedient. Das ist auch
> > in Ordnung. Der
> > Fehler ist versteckt, das versteht man wirklich besser,
> > wenn man sich mal
> > den Beweis des Vergleichskriteriums anschaut:
> > Die Aussage, dass Deine Reihe das gleiche
> > Konvergenzverhalten hat wie
> > die Reihe [mm]\sum_{n=1}^\infty 1/n\,,[/mm] ist absolut korrekt.
> > Der Fehler ist,
> > dass das noch nicht heißt, dass Du direkt einfach
> > [mm]\sum_{n=1}^\infty 1/n[/mm]
> > als divergente Minorante für
> Deine
> > Reihe hernehmen kannst. Sondern, es
> > heißt, dass es sicher ein [mm]C > 0\,[/mm] so gibt, dass Du
> > [mm]C*\sum_{n=1}^\infty 1/n=\sum_{n=1}^\infty C/n[/mm]
> > als
> > divergente Minorante nehmen kannst.
> >
> > Und wenn man's ganz genau nimmt: Bei der Minoranten kommt
> > es dann
> > auf endlich viele Summanden nicht an - anders gesagt:
> Es
> > reicht auch,
> > ein "Reststück" einer Reihe [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n\,[/mm]
> mit
> > einer
> > divergenten Minoranten (bzw. dem "Reststück" einer
> > divergenten
> > Minoranten) abzuschätzen.
> >
> > Also beispielsweise bei Dir oben:
> > Benutze mal
> > [mm]\bruch{1}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}} \ge \frac{1}{2n}[/mm]
> >
> für
> > alle [mm]n \ge 3\,;[/mm] beweise dies insbesondere.
>
> Mit Induktion oder Äquivalenzumformung?
> Ich probiere es mal mit ÄU:
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}} \ge \frac{1}{2n} \gdw \bruch{1}{n^2 + 5n + 6} \ge \frac{1}{4n^2} \gdw 4n^2 \geq n^2 + 5n + 6 \gdw 3n^2 \geq 5n + 6[/mm]
>
> Cool, das gilt für [mm]n \geq 3[/mm] :)
>
> Dann siehst Du
> > vielleicht
> > ein passendes [mm]C > 0\,[/mm] (es steht ja eigentlich schon da)
>
> Das C, dass du gewählt hast ist [mm]\bruch{1}{2}[/mm]?
>
> > und Du erkennst
> > hier auch, was ich wohl mit "Reststück einer Reihe"
> > bezeichne.
> > Allgemein:
> > Ist [mm]\sum_{n=n_0}^\infty a_n[/mm] eine Reihe, so nennen wir
> für
> > irgendeine
> > ganze Zahl [mm]p \ge n_0[/mm] dann [mm]\sum_{n=p}^\infty a_n[/mm] ein
> > Reststück der Reihe [mm]\sum_{n=n_0}^\infty a_n\,.[/mm]
>
> Verstanden :)
>
> > (Nebenbei: Man hätte auch anders abschätzen können, so
> > dass man nicht
> > nur ein Reststück abschätzt... aber das kannst Du Dir
> ja
> > mal selbst
> > überlegen - mach' obiges [mm]C > 0\,[/mm] halt noch'n bisschen
> > kleiner, aber es
> > muss halt schon [mm]> 0\,[/mm] bleiben...)
>
> Für 1/3, 1/4.. etc. würde es klappen. Also für [mm]C = \bruch{1}{n}[/mm]
> mit [mm]n \in\IN[/mm] ?
> Wobei n dann ja auch unendlich groß wird, aber für C
> gilt doch [mm]C > 0[/mm].
> Also [mm]C = \bruch{1}{n}[/mm] solange [mm]C > 0[/mm].
> Oder wie schreibt man das mathematisch korrekt auf?
Das [mm] $C\,$ [/mm] variierst Du nicht mit dem [mm] $n\,,$ [/mm] d.h. Du nimmst einfach nur
ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge 3\,,$ [/mm] das bleibt im folgenden fest, und redest
dann von [mm] $C=1/n\,.$ [/mm] Wobei Du besser sagst, dass Du meinetwegen
$q [mm] \ge [/mm] 3$ mit $q [mm] \in \IN$ [/mm] festhältst und [mm] $C=1/q\,$ [/mm] setzt, denn [mm] $n\,$ [/mm] ist hier
eine schlechte Wahl für einen Parameter, wenn man zugleich in der Folge
[mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] schon [mm] $n\,$ [/mm] als Laufvariable benutzt. Das ist auch sicher das,
was Dich hier verwirrt hat!
>
> > > > > > Für [mm]a=\;-\;1[/mm] solltest Du an das Leibnizkriterium denken...
> > > > >
> > > > > > Und jetzt mal die Frage:
> > > > > > Ist für [mm]a=\;-\;1[/mm] die Reihe dann auch absolut konvergent?
> > > > > > (Wenn Du das
> > > > > > vorangegangene verstanden hast, sollte Dir
> die
> > > > Antwort
> > > > > zu
> > > > > > dieser Frage
> > > > > > wie eine Banalität vorkommen...)
> > > > >
> > > > > Wieso auch? Ich dachte für a = 1 ist sie divergent und
> > > > > daher würde ich sagen, dass sie für a = -1 gegen
> > > > > minus-unendlich geht. ??
> > > >
> > > > Na, was heißt denn "absolut konvergent" ?
> > > >
> > > > Mache dir das klar und deine Antwort wird dir im Nachhinein
> > > > ziemlich vermurkst vorkommen ...
> > >
> > > Eine Reihe [mm]\summe_{i=0}^{\infty} a_n[/mm] ist absolut
> > > konvergent, wenn sie für [mm]\summe_{i=0}^{\infty} | a_n|[/mm]
> > > konvergiert.
> > >
> > > Ich schäme mich etwas, nicht wegen meiner vorherigen
> > > Antwort, sondern weil ich es noch immer nicht richtig
> > > verstanden habe...
> >
> > Nix Scham, aus Fehlern lernen wir. Du wirst gleich erneut
> > lernen.
>
> Okay :)
>
> > > Für a = 1 haben wir gesagt, die Reihe ist divergent.
> > > Nun werde ich gefragt, ob die Reihe für a = -1
> absolut
> > > konvergent ist.
> > > Meine Antwort ist nun, wenn die Reihe für a = 1
> > > divergiert, dann kann sie für a = -1 nicht absolut
> > > konvergieren
> >
> > Soweit ist das richtig.
> >
> > > , da [mm]|-1| = 1[/mm] und daher divergiert sie auch
> > > für a = -1.
> > > ??
> >
> > Und jetzt bist Du verwirrt. Nach Leibniz konvergiert sie
> > doch für [mm]a=\;-1\;,[/mm]
>
> Gut, als ich den Satz geschrieben habe, hatte ich das
> Leibnizkriterium noch nicht für -1 verwendet :P Ich hätte
> mit meinem voreiligem Urteil warten müssen.
>
> > (nebenbei: hast Du dafür schon gezeigt, dass
> > [mm]{\Big(\frac{1}{\sqrt{n^2+5n+6}}\Big)}_n[/mm] monoton fallend
> > gegen [mm]0\,[/mm] ist?)
>
> Ja, in der Antwort, die etwas später kam, als ich das
> Leibnizkriterium angewandt habe.
>
> > sie konvergiert dann halt nur nicht absolut. Also ist sie
> > für [mm]a=\;-1\;[/mm]
> > BEDINGT KONVERGENT!
>
> Verstanden:)
>
> Nur aus Interesse, würde man für a = -2 auch von einer
> alternierenden Reihe sprechen?
Na klar. Schreib' Dir doch mal hin, was da dann für eine Reihe steht, und
benutze dann
[mm] $$(-2)^n=((-1)*2)^n=(-1)^n*2\red{^n}\,.$$
[/mm]
(Edit: Das rote [mm] $n\,$ [/mm] hatte ich vorhin verschlampt!)
> > Nur mal als Tipp: Schreib' Dir das mal alles nochmal
> > zusammen. Zuerst
> > wendest Du das WK an, und dann machst Du ja eh
> > Fallunterscheidungen:
> >
> > 1. Fall: [mm]|a| < 1\,[/mm]...
> > 2. Fall: [mm]|a| > 1\,[/mm]...
> >
>
> > Jetzt bleibt der Fall [mm]|a|=1\,[/mm] noch zu untersuchen. Dazu
> > machst Du nun
> > zwei Fallunterscheidungen wegen [mm]a \in \IR:[/mm]
> >
> > 3. Fall: [mm]a=1\,[/mm]...
> > 4. Fall: [mm]a=\;-1\;\,[/mm]...
> >
> > Und gerade für den 3. Fall und den 4. Fall, wo Du das [mm]a\,[/mm]
> > ja konkret
> > gegeben hast, schreibst Du es auch in die Reihe rein und
> > guckst Dir an,
> > wie die Reihe dann aussieht, also:
> >
> > 3. Fall: [mm]a=1\,[/mm] hier untersuchen wir also [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{a^n}{\sqrt{n^2+5n+6}}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1^n}{\sqrt{n^2+5n+6}}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n^2+5n+6}}\,.[/mm]
> > Gemäß des Minorantenkriteriums...
> > 4. Fall: [mm]a=\;-1\;\,,[/mm] hier untersuchen wir also
> > [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{a^n}{\sqrt{n^2+5n+6}}=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n^2+5n+6}}=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n*\red{\frac{1}{\sqrt{n^2+5n+6}}}\,.[/mm]
> > Gemäß des Leibnizkriteriums konvergiert diese
> > Reihe... aber wegen des 3. Falls kann sie nicht absolut
> > konvergent sein,
> > also ist im Falle [mm]a=\;-\;1[/mm] die Reihe bedingt
> konvergent!
>
> Super, alles verstanden :)
>
>
> > > Und warum steht dann in der Aufgabenstellung für welche a
> > > ist die Reihe konvergent und für welche absolut
> > > konvergent?
> >
> > Frag' den Aufgabensteller. Ich hätte gefragt: Für welche
> > [mm]a\,[/mm] konvergiert
> > die Reihe, und für welche [mm]a\,[/mm] divergiert sie? Gibt es
> > auch [mm]a \in \IR\,,[/mm]
> > für die die Reihe bedingt
> konvergiert?
> > Falls ja: Geben Sie alle diese [mm]a \in \IR[/mm] an, für die die
> > Reihe (nur) bedingt konvergiert.
> > Beweisen Sie Ihre Aussagen! Zudem sollen alle [mm]a \in \IR[/mm] bei
> > der Aufgabe behandelt werden. (Die letzten zwei Sätze
> > werden bei diesen Aufgaben
> > eigentlich nie dazugeschrieben; aber eigentlich wäre es
> > besser, sie
> > dazuzuschreiben. Sonst kannst Du auch antworten: "Für
> > [mm]a=0\,[/mm]
> > konvergiert die Reihe, insbesondere absolut, für [mm]a=1[/mm]
> > divergiert sie und
> > für [mm]a=\;-\;1[/mm] konvergiert sie bedingt." Damit wäre dann
> > die Frage doch
> > beantwortet. Aber natürlich, wie sie oft: Es "ist ja
> > klar", dass hier bei der
> > Aufgabe viel mehr verlangt wird - und weil wir
> "intuitiv"
> > wissen, was wir
> > alles tun "sollen", wissen wir auch, "was wir alles zu tun
> > haben". )
> >
> > > Für die a, für die sie absolut konvergent ist, ist sie
> > > auch konvergent.
> >
> > Ja. Wie gesagt: Die Aufgabe ist nicht gerade besonders gut
> > formuliert. Man
> > könnte wenigstens schreiben:
> > Bestimmen Sie jeweils:
> > - genau alle [mm]a \in \IR\,,[/mm] für die die Reihe absolut
> > konvergiert
> > - genau alle [mm]a \in \IR\,,[/mm] für die die Reihe bedingt
> > konvergiert
> > - genau alle [mm]a \in \IR\,,[/mm] für die die Reihe
> divergiert
> >
> > Was der Aufgabensteller sich sicher eigentlich denkt: Wenn
> > Du genau alle [mm]a \in \IR[/mm]
> > kennst, für die die Reihe absolut konvergiert und genau
> > alle [mm]a \in \IR[/mm]
> > kennst, für die sie konvergiert (konvergent=bedingt
> > konvergent ODER
> > absolut konvergent), dann weißt Du auch, für genau welche
> > sie
> > bedingt konvergiert. (Wenn Du genau alle kennst, für die
> > sie konvergiert,
> > kennst Du auch genau alle, für die sie divergiert).
> > erspart er sich der
> > Worte "genau alle"; das muss man quasi erahnen, was er
> > meint: Das muss
> > Dir quasi aus Deiner obigen Überlegung klarwerden,
> dass
> > er immer "genau
> > alle" hier wissen will. Leider ist das üblich bei
> > derartigen Fragen; und Du
> > bist nicht die erste, die sich dadurch verwirren ließ. Mir
> > ging's da nicht
> > anders; ähnlich, wie oft auch in Beweisen irgendwann
> > gesagt wird:
> > "Dazu müssen wir zeigen, dass..."
> > obwohl gemeint ist
> > "Es ist dazu hinreichend, zu zeigen, dass..."
>
> Super, vielen Dank für die Erklärung :))
Gerne - habe ich nun noch eine Frage übersehen? (Ein bisschen sinnvoller
ist es, Texte ggf. mit ... zu kürzen, sofern diese so ersetzen Teile dann
nicht weiter wichtig sind - ich hab' nämich hier echt ein wenig den Überblick
verloren. Wobei (bei mir) natürlich dennoch gilt: Lieber zuviel zitieren als
zu wenig! )
Gruß,
Marcel
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> Hallo Lisa,
>
> puh, wird das lang ^^
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
> [mm]\sqrt[2n]{n^2+5n^2+6n^2}=\sqrt[2n]{12}\cdot{}\sqrt[2n]{n^2}=\sqrt[2n]{12}\cdot{}\sqrt[n]{n}[/mm]
> > Kannst du mir vielleicht nur zwei kleine Ansätze zu den
> > Begründungen geben?
>
> Ja. Bei der ersten Möglichkeit: [mm]{(\sqrt[2k]{12})}_k[/mm] ist
> Teilfolge der bekanntlich
> gegen [mm]1\,[/mm] konvergierenden Folge [mm]{(\sqrt[n]{12})}_n\,.[/mm]
> Wogegen
> konvergiert jede Teilfolge einer konvergenten Folge?
Gegen den selben Grenzwert.
Und weil [mm]{(\sqrt[2k]{12})}_k[/mm] eine Teilfolge von [mm]{(\sqrt[2n]{12})}_n[/mm] ist, konvergiert [mm]{(\sqrt[2n]{12})}_n[/mm] auch gegen 1.
> Bei der zweiten Möglichkeit:
> [mm]\sqrt[2n]{12}=\sqrt{\sqrt[n]{12}}[/mm] gilt
> für jedes [mm]n \in \IN\,,[/mm] und weil [mm]\sqrt{\cdot}[/mm] stetig (in [mm]1=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{12}[/mm]) ist, folgt dann
[mm]\sqrt[2n]{12}=\sqrt{\sqrt[n]{12}} \to \wurzel{1} = 1[/mm]
> Wir wissen nun [mm]1=\sqrt[2n]{1} \le \sqrt[2n]{n^2+5n+6} \le \sqrt[2n]{12}*\sqrt[n]{n}[/mm]
>
> [mm]1\,[/mm] ist die linke Schranke, und [mm]\sqrt[2n]{12}*\sqrt[n]{n}[/mm]
> ist die rechte Schranke. Was
> passiert jeweils bei [mm]n \to \infty[/mm]? (Es geht drum, dass Du
> siehst, dass
> das Sandwichkriterium "greift"!)
Die linke Schranke bleibt bestehen und die rechte Schranke nähert sich von oben an die 1, also an die linke Schranke.
...
> > Also [mm]C = \bruch{1}{n}[/mm] solange [mm]C > 0[/mm].
> > Oder wie schreibt man das mathematisch korrekt auf?
>
> Das [mm]C\,[/mm] variierst Du nicht mit dem [mm]n\,,[/mm] d.h. Du nimmst
> einfach nur
> ein [mm]n \in \IN[/mm] mit [mm]n \ge 3\,,[/mm] das bleibt im folgenden fest,
> und redest
> dann von [mm]C=1/n\,.[/mm] Wobei Du besser sagst, dass Du
> meinetwegen
> [mm]q \ge 3[/mm] mit [mm]q \in \IN[/mm] festhältst und [mm]C=1/q\,[/mm] setzt, denn
> [mm]n\,[/mm] ist hier
> eine schlechte Wahl für einen Parameter, wenn man
> zugleich in der Folge
> [mm]{(a_n)}_n[/mm] schon [mm]n\,[/mm] als Laufvariable benutzt. Das ist auch
> sicher das,
> was Dich hier verwirrt hat!
>
Ja, nun habe ich es verstanden :)
> > Nur aus Interesse, würde man für a = -2 auch von einer
> > alternierenden Reihe sprechen?
>
> Na klar. Schreib' Dir doch mal hin, was da dann für eine
> Reihe steht, und
> benutze dann
> [mm](-2)^n=((-1)*2)^n=(-1)^n*2\,.[/mm]
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n * \bruch{2}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}[/mm]
Aber dann könnte ich hier doch auch wieder das Leibnizkriterium anwenden, und das ist doch wieder eine monoton fallende Nullfolge, aber nach dem Wurzelkriterium muss es divergieren.??
Gruß,
Lisa
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa,
>
> > Hallo Lisa,
> >
> > puh, wird das lang ^^
>
>
>
> >
> [mm]\sqrt[2n]{n^2+5n^2+6n^2}=\sqrt[2n]{12}\cdot{}\sqrt[2n]{n^2}=\sqrt[2n]{12}\cdot{}\sqrt[n]{n}[/mm]
> > > Kannst du mir vielleicht nur zwei kleine Ansätze zu
> den
> > > Begründungen geben?
> >
> > Ja. Bei der ersten Möglichkeit: [mm]{(\sqrt[2k]{12})}_k[/mm] ist
> > Teilfolge der bekanntlich
> > gegen [mm]1\,[/mm] konvergierenden Folge [mm]{(\sqrt[n]{12})}_n\,.[/mm]
> > Wogegen
> > konvergiert jede Teilfolge einer konvergenten Folge?
>
> Gegen den selben Grenzwert.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und weil [mm]{(\sqrt[2k]{12})}_k[/mm] eine Teilfolge von
> [mm]{(\sqrt[2n]{12})}_n[/mm] ist,
Ne, das sind die gleichen Folgen. Du meinst, dass [mm]{(\sqrt[2k]{12})}_k[/mm]
eine Teilfolge von [mm]{(\sqrt[\red{n}]{12})}_n[/mm] ist!
> konvergiert [mm]{(\sqrt[2n]{12})}_n[/mm]
> auch gegen 1.
>
> > Bei der zweiten Möglichkeit:
> > [mm]\sqrt[2n]{12}=\sqrt{\sqrt[n]{12}}[/mm] gilt
> > für jedes [mm]n \in \IN\,,[/mm] und weil [mm]\sqrt{\cdot}[/mm] stetig
> (in [mm]1=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{12}[/mm]) ist, folgt dann
>
> [mm]\sqrt[2n]{12}=\sqrt{\sqrt[n]{12}} \to \wurzel{1} = 1[/mm]
> > Wir wissen nun [mm]1=\sqrt[2n]{1} \le \sqrt[2n]{n^2+5n+6} \le \sqrt[2n]{12}*\sqrt[n]{n}[/mm]
>
> >
> > [mm]1\,[/mm] ist die linke Schranke, und [mm]\sqrt[2n]{12}*\sqrt[n]{n}[/mm]
> > ist die rechte Schranke. Was
> > passiert jeweils bei [mm]n \to \infty[/mm]? (Es geht drum, dass Du
> > siehst, dass
> > das Sandwichkriterium "greift"!)
>
> Die linke Schranke bleibt bestehen und die rechte Schranke
> nähert sich von oben an die 1, also an die linke
> Schranke.
>
> ...
> > > Also [mm]C = \bruch{1}{n}[/mm] solange [mm]C > 0[/mm].
> > > Oder wie schreibt man das mathematisch korrekt auf?
> >
> > Das [mm]C\,[/mm] variierst Du nicht mit dem [mm]n\,,[/mm] d.h. Du nimmst
> > einfach nur
> > ein [mm]n \in \IN[/mm] mit [mm]n \ge 3\,,[/mm] das bleibt im folgenden
> fest,
> > und redest
> > dann von [mm]C=1/n\,.[/mm] Wobei Du besser sagst, dass Du
> > meinetwegen
> > [mm]q \ge 3[/mm] mit [mm]q \in \IN[/mm] festhältst und [mm]C=1/q\,[/mm] setzt, denn
> > [mm]n\,[/mm] ist hier
> > eine schlechte Wahl für einen Parameter, wenn man
> > zugleich in der Folge
> > [mm]{(a_n)}_n[/mm] schon [mm]n\,[/mm] als Laufvariable benutzt. Das ist
> auch
> > sicher das,
> > was Dich hier verwirrt hat!
> >
> Ja, nun habe ich es verstanden :)
>
> > > Nur aus Interesse, würde man für a = -2 auch von einer
> > > alternierenden Reihe sprechen?
> >
> > Na klar. Schreib' Dir doch mal hin, was da dann für eine
> > Reihe steht, und
> > benutze dann
> > [mm](-2)^n=((-1)*2)^n=(-1)^n*2\,.[/mm]
Das war falsch (hast Du das nicht gesehen?), ich habe ein [mm] $n\,$ [/mm]
verschlampt:
[mm](-2)^n=((-1)*2)^n=(-1)^n*2^{\red{n}}\,.[/mm]
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n * \bruch{2}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}[/mm]
> Aber dann könnte ich hier doch auch wieder das
> Leibnizkriterium anwenden, und das ist doch wieder eine
> monoton fallende Nullfolge, aber nach dem Wurzelkriterium
> muss es divergieren.??
Bei dieser Reihe schon, aber wenn Du die Korrektur benutzt, steht dann
ja eigentlich da:
[mm] $$\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n [/mm] * [mm] \bruch{2^{\,\red{n}}}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}\,.$$
[/mm]
So: Geht Leibniz dann immer noch? (Insbesondere: Gilt [mm] $\bruch{2^{\,\red{n}}}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}} \to [/mm] 0$?)
P.S. Das wäre auch zu schön, wenn man für eine konvergente Reihe
[mm] $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n*a_n$ [/mm] mit Grenzwert [mm] $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n*a_n$ [/mm] wüßte, dass
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty (-1*r)^n a_n=r*\sum_{n=0}^\infty (-1)^n*a_n$$
[/mm]
gelten würde. Das stimmt natürlich nicht, weil halt
[mm] $$(-r)^n=(-1)^n*r^{\red{\,n}}$$
[/mm]
und i.a. nicht
[mm] $$(-r)^n=(-1)^n*r$$
[/mm]
gilt...
Also verzeih' mir da den schlampigen Schreibfehler.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 Mi 09.01.2013 | | Autor: | LisaWeide |
Hallo Marcel :)
> > > > Nur aus Interesse, würde man für a = -2 auch von einer
> > > > alternierenden Reihe sprechen?
> > >
> > > Na klar. Schreib' Dir doch mal hin, was da dann für eine
> > > Reihe steht, und
> > > benutze dann
> > > [mm](-2)^n=((-1)*2)^n=(-1)^n*2\,.[/mm]
>
> Das war falsch (hast Du das nicht gesehen?)
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
>ich habe ein [mm]n\,[/mm] verschlampt:
> [mm](-2)^n=((-1)*2)^n=(-1)^n*2^{\red{n}}\,.[/mm]
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n * \bruch{2}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}[/mm]
>
>
> > Aber dann könnte ich hier doch auch wieder das
> > Leibnizkriterium anwenden, und das ist doch wieder eine
> > monoton fallende Nullfolge, aber nach dem Wurzelkriterium
> > muss es divergieren.??
>
> Bei dieser Reihe schon, aber wenn Du die Korrektur benutzt,
> steht dann
> ja eigentlich da:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n * \bruch{2^{\,\red{n}}}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}\,.[/mm]
>
> So: Geht Leibniz dann immer noch? (Insbesondere: Gilt
> [mm]\bruch{2^{\,\red{n}}}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}} \to 0[/mm]?)
Nein, der Grenzwert geht gegen unendlich, also keine monoton fallende Nulfolge und daher geht auch kein Leibniz.
> P.S. Das wäre auch zu schön, wenn man für eine
> konvergente Reihe
> [mm]\sum_{n=0}^\infty (-1)^n*a_n[/mm] mit Grenzwert
> [mm]\sum_{n=0}^\infty (-1)^n*a_n[/mm] wüßte, dass
> [mm]\sum_{n=0}^\infty (-1*r)^n a_n=r*\sum_{n=0}^\infty (-1)^n*a_n[/mm]
>
> gelten würde. Das stimmt natürlich nicht, weil halt
> [mm](-r)^n=(-1)^n*r^{\red{\,n}}[/mm]
> und i.a. nicht
> [mm](-r)^n=(-1)^n*r[/mm]
> gilt...
>
> Also verzeih' mir da den schlampigen Schreibfehler.
Kein Problem, ich hätte es ja sehen müssen :P
Jetzt denke ich sind wir durch :)
Vielen lieben Dank an alle Helfer und vor allem Marcel, da du dir wirklich besonders viel Mühe gegeben hast :)
Liebste Grüße,
Lisa
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa,
> Hallo Marcel :)
>
> > > > > Nur aus Interesse, würde man für a = -2 auch von einer
> > > > > alternierenden Reihe sprechen?
> > > >
> > > > Na klar. Schreib' Dir doch mal hin, was da dann für eine
> > > > Reihe steht, und
> > > > benutze dann
> > > > [mm](-2)^n=((-1)*2)^n=(-1)^n*2\,.[/mm]
> >
> > Das war falsch (hast Du das nicht gesehen?)
>
kein Thema.
> >ich habe ein [mm]n\,[/mm] verschlampt:
> > [mm](-2)^n=((-1)*2)^n=(-1)^n*2^{\red{n}}\,.[/mm]
>
> > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n * \bruch{2}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}[/mm]
>
> >
> >
> > > Aber dann könnte ich hier doch auch wieder das
> > > Leibnizkriterium anwenden, und das ist doch wieder eine
> > > monoton fallende Nullfolge, aber nach dem Wurzelkriterium
> > > muss es divergieren.??
> >
> > Bei dieser Reihe schon, aber wenn Du die Korrektur benutzt,
> > steht dann
> > ja eigentlich da:
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n * \bruch{2^{\,\red{n}}}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}\,.[/mm]
>
> >
> > So: Geht Leibniz dann immer noch? (Insbesondere: Gilt
> > [mm]\bruch{2^{\,\red{n}}}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}} \to 0[/mm]?)
>
>
> Nein, der Grenzwert geht gegen unendlich,
Der Grenzwert ist(!) unendlich (Grenzwerte "sind" etwas, und die
Folgen(glieder eine Folge) "gehen" gegen was.
Bspw.: "Der Grenzwert der Folge [mm] ${(1+(-1)^n/n)}_n$ [/mm] IST [mm] $1\,.$"
[/mm]
schreibt man ja als [mm] $\lim_{n \to \infty} (1+(-1)^n/n)=1$ [/mm] oder als
[mm] $$1+(-1)^n/n \to 1\,,$$
[/mm]
und nicht
[mm] $$\lim_{n \to \infty} (1+(-1)^n/n) \red{\; \to \;}1\,,$$
[/mm]
auch, wenn letzteres nicht wirklich falsch wäre, weil konstante Folgen halt
als Grenzwert die entsprechende Konstante haben!)
Denn ausführlicher gesagt steht da eigentlich am Ende
[mm] $$\lim_{n \to \infty} (1+(-1)^n/n)=1 \red{\; \to \;}1\,,$$
[/mm]
also $1 [mm] \to 1\,.$
[/mm]
> also keine
> monoton fallende Nulfolge und daher geht auch kein
> Leibniz.
>
>
> > P.S. Das wäre auch zu schön, wenn man für eine
> > konvergente Reihe
> > [mm]\sum_{n=0}^\infty (-1)^n*a_n[/mm] mit Grenzwert
> > [mm]\sum_{n=0}^\infty (-1)^n*a_n[/mm] wüßte, dass
> > [mm]\sum_{n=0}^\infty (-1*r)^n a_n=r*\sum_{n=0}^\infty (-1)^n*a_n[/mm]
>
> >
> > gelten würde. Das stimmt natürlich nicht, weil halt
> > [mm](-r)^n=(-1)^n*r^{\red{\,n}}[/mm]
> > und i.a. nicht
> > [mm](-r)^n=(-1)^n*r[/mm]
> > gilt...
> >
> > Also verzeih' mir da den schlampigen Schreibfehler.
>
> Kein Problem, ich hätte es ja sehen müssen :P
> Jetzt denke ich sind wir durch :)
> Vielen lieben Dank an alle Helfer und vor allem Marcel, da
> du dir wirklich besonders viel Mühe gegeben hast :)
Gerne.
LG,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:59 Di 08.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Schachu,
nur nebenbei:
> > > Du kannst hier das Sandwichkriterium bemühen, indem Du
> > > [mm]\sqrt[n]{n} \to 1[/mm]
> >
> > Leider verstehe ich nicht ganz warum es gegen 1
> > konvergiert.. :(
> > Der Exponent geht im Unendlichen gegen Null und ich
> weiß
> > das eine Zahl hoch Null 1 ergibt. Aber die Basis also das n
> > geht doch auch gegen unendlich und was bei [mm]\infty^0[/mm]
> > passiert ist doch gar nicht festgelegt?
>
> Das ist doch in jeder AnaI-Vorlesung dran.
>
> Das kann man mithilfe des binomischen Lehrsatzes beweisen.
>
> Schaue dich um nach einem Beweis (Skript, web), bin gerade
> zu faul, das selbst zu suchen bzw. auszuführen ...
Etwas weniger elementar geht's auch so:
Wegen [mm] $n^{1/n} \to [/mm] 1 [mm] \iff \ln(n^{1/n}) \to [/mm] 0$ (Stetigkeit des [mm] $\ln$ [/mm] an der
Stelle [mm] $1\,$) [/mm] zeigen wir die rechtsstehende Behauptung:
Es ist
[mm] $$\lim_{n \to \infty}\ln(n^{1/n})=\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n)}{n}=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}=0$$
[/mm]
nach de l'Hospital.
@ Lisa:
Unabhängig davon, wie man [mm] $n^{1/n} \to [/mm] 1$ beweist: Daraus kann man auch
sehr schnell dann mit dem Sandwichkriterium einsehen, dass [mm] $a^{1/n} \to [/mm] 1$
für jedes $a > 0$ gilt.
1. Fall: Ist $a [mm] \ge 1\,,$ [/mm] so folgt die Behauptung dann aus
$$1 [mm] \le a^{1/n} \le n^{1/n}$$
[/mm]
für alle genügend große [mm] $n\,$ [/mm] (etwa $n [mm] \ge [/mm] a$).
2. Fall: Ist $a < [mm] 1\,,$ [/mm] so ist [mm] $\tilde{a}:=1/a [/mm] > 1$ und wegen [mm] $\tilde{a}^{1/n}=\tfrac{1}{a^{1/n}}$ [/mm] folgt
die Behauptung dann aus dem ersten Fall gemäß der "Rechenregel für den
Kehrwert einer konvergenter Folge" (resp. "Rechenregel für den Quotienten
zweier konvergenter Folgen").
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:09 Mi 09.01.2013 | | Autor: | LisaWeide |
Hallo Marcel :)
Wieder alles so super erklärt, dass sogar ich alles verstanden habe :)
Dankeschön
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:11 Di 08.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa,
das hier ist nun keine Kritik an Schachus Antwort, aber ein paar Dinge will
ich dann doch noch schnell sagen:
>
> Hallo Marcel :)
>
> > > Für welche a ist die Reihe [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}[/mm]
> >
> > den Laufindex solltest Du einheitlich bezeichnen: Bei Dir
> > soll ja [mm]i=n\,[/mm]
> > stets sein - wobei wir zuvor die obere Grenze [mm]n\,[/mm] noch
> > durch [mm]\infty[/mm]
> > ersetzen:
> > [mm]\summe_{\red{n}=1}^{\red{\infty}} \bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}\,.[/mm]
>
> >
> > Nicht wahr?!
>
> Oh ja, tut mir Leid :-D
>
> > > konvergent für welche absolut konvergent?
> > >
> > > Guten Abend.
> > >
> > > Zunächst einmal würde ich sagen, dass man hier am besten
> > > das Wurzelkriterium anwendet.
> > >
> > > [mm]\wurzel[n]{|a_n|} =\wurzel[n]{| \bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}|} = (\bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}})^\bruch{1}{n}= \bruch{a}{(n^2+5n+6)^\bruch{1}{2n}}[/mm]
>
> >
> > Kleine Korrektur:
> > [mm]\wurzel[n]{|a_n|} =\wurzel[n]{| \bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}|} = (\bruch{\overbrace{\red{|}a^n\red{|}}^{=\red{|}a\red{|}^n}}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}})^\bruch{1}{n}= \bruch{\red{|}a\red{|}}{(n^2+5n+6)^\bruch{1}{2n}}[/mm]
>
> Weil ich nicht weiß, ob das a negativ oder positiv ist,
> darf ich die Betragstriche nicht weglassen, aber ich weiß,
> dass der Nenner immer positiv ist und lasse deshalb dort
> die Betragstriche weg.?
Jo: Es gilt doch
[mm] $$\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}\,,$$
[/mm]
und wenn man $r [mm] \ge 0\,$ [/mm] weiß, dann kann man [mm] $|r|=r\,$ [/mm] benutzen!
> > > 1.Frage:
> > > Und nun muss ich den Grenzwert bestimmen, oder?
> >
> > Am besten den [mm]\limsup_{n \to \infty}\,.[/mm] Wenn aber [mm]\lim[/mm]
> > existiert, dann gilt eh
> > [mm]\lim=\limsup=\liminf\,.[/mm]
> >
> (Satz 5.21 2. (klick!),
> > Richtung "[mm]\Rightarrow[/mm]" in diesem
> > Satz! Dort bedeutet [mm]\overline{\lim}=\limsup[/mm] und
> > [mm]\underline{\lim}=\liminf\,.[/mm])
>
> Bei Wikipedia steht "Limes superior und Limes inferior sind
> ein partieller Ersatz für den Grenzwert, falls dieser
> nicht existiert."
Ja - aber wenn der Grenzwert existiert, brauchen wir ihn nicht zu ersetzen,
und dann wissen wir (habe ich ja schon gesagt), dass er mit dem Limsup
übereinstimmt (beachte auch, dass wir hier in [mm] $\IR$ [/mm] sind). Ich sprach' vom
Limsup gemäß Satz 6.17 des Skriptes, das ich verlinkt hatte. Wie habt ihr
denn das WK und QK formuliert (es gibt andere, äquivalente
Formulierungen und auch teilweise Formulierungen, die inhaltlich
schwächer sind...)?
> Und warum verwende ich den Limes superior
> dann hier? Wenn kein Grenzwert existiert, dann ist die
> Reihe doch nicht konvergent.
Den Limsup (bzw. den Limsup und den Liminf) den man beim WK und QK
berechnet, ist i.a. NICHT gleichzusetzen mit dem Reihenwert im Falle der
Konvergenz der Reihe. Das Problem habe ich heute schon mindestens
zweimal gelesen, dass da etwas durcheinander geht:
Rechne Dir mal anhand der geometrischen Reihe bitte alles durch; der
Reihenwert für [mm] $\sum_{k=0}^\infty q^k$ [/mm] ist ja für $|q| < [mm] 1\,$ [/mm] mit
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}$$
[/mm]
bekannt. (Und das ist dann auch [mm] $=\limsup_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n q^k=\liminf_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n q^k$ [/mm] für $|q| [mm] <1\,.$)
[/mm]
Was berechnet man beim WK bzw. QK?
> > > Der Exponent im Nenner konvergiert gegen 0 und das in der
> > > Klammer geht gegen unendlich. Verträgt sich das? Also zwei
> > > verschiedene Grenzwerte? Einmal der im Exponent und einmal
> > > der in der Klammer.
> >
> > Du kannst hier das Sandwichkriterium bemühen, indem Du
> > [mm]\sqrt[n]{n} \to 1[/mm]
>
> Leider verstehe ich nicht ganz warum es gegen 1
> konvergiert.. :(
Es ist klar, dass für $n [mm] \in \IN$ [/mm]
[mm] $$\sqrt[n]{n}=(1+\epsilon_n)$$ [/mm]
mit [mm] $\epsilon_n \ge [/mm] 0$ geschrieben werden kann. (Warum?)
Nimm' die Gleichung hoch [mm] $n\,,$ [/mm] dann folgt
$$n [mm] \ge (1+\red{n*}\epsilon_n)^n\,.$$
[/mm]
(edit: natürlich meinte ich
$$n [mm] \ge (1+\epsilon_n)^n\,.$$
[/mm]
Danke für den Hinweis auf meinen Schreibfehler!)
Jetzt kann man [mm] $\epsilon_n \to [/mm] 0$ zeigen. Tipp: Allgemeine binomische
Formel, dann abschätzen, aber mit Summanden, wo mindestens die Potenz
[mm] $n^2$ [/mm] vorkommt...
> Der Exponent geht im Unendlichen gegen Null und ich weiß
> das eine Zahl hoch Null 1 ergibt.
Die bessere Begründung wäre hier, die Stetigkeit der Exponentialfunktion
an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] zu benutzen. Da oben das ist so ein bisschen
"Schulgeschwätz" (ohne das nun böse zu meinen, weder gegenüber Dir
noch gegenüber den Lehrern; man kann halt in der Schule so manches
nicht ganz ausführlich beweisen, sondern eher plausibilisieren...).
> Aber die Basis also das n
> geht doch auch gegen unendlich und was bei [mm]\infty^0[/mm]
> passiert ist doch gar nicht festgelegt?
Du solltest, spätestens nach oben geführtem Beweis, AUSWENDIG
behalten:
[mm] $$\sqrt[n]{n} \to 1\,.$$ [/mm]
Darauf folgt nämlich sofort etwa sowas wie
[mm] $$\sqrt[n]{n^3}=\sqrt[n]{n}*\sqrt[n]{n}*\sqrt[n]{n} \to 1*1*1=1^3=1\,.$$
[/mm]
> > sowie auch [mm]\sqrt[n]{r} \to 1[/mm] (für jedes
> > bel., aber feste [mm]r > 0[/mm]) ausnutzt.
>
> Wenn das r fest ist, dann bin ich damit einverstanden, dass
> es gegen 1 konvergiert, aber wie gesagt bei dem ersten
> Beispiel habe ich wohl einen Denkfehler..
Nein - das ist ja keine Trivialität. Alleine der Beweis oben zeigt, dass die
Abschätzung da nun doch einiger (kleinereren) Überlegungen bedarf!
> > (Ich hoffe, dass beides bekannt ist; zudem solltest Du
> > insbesondere
> > die Rechenregel für den Grenzwert des Produktes einer
> > Folge, die Produkt
> > zweier konvergenter Folgen ist, beherrschen!)
>
> <span class="math">[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n = a
\limes_{n\rightarrow\infty} b_n = b
\limes_{n\rightarrow\infty} a_n * b_n = a * b[/mm]
>
> Meinst du das?
> </span>
Ja!
> > Tipp: Für jedes [mm]n \in \IN[/mm] gilt
> > [mm]\sqrt[n]{n}=\sqrt[2n]{n^2} \le \sqrt[2n]{n^2+5n+6} \le \sqrt[2n]{n^2+5n^2+6n^2}\,.[/mm]
>
> >
> > (Warum?)
>
> Weil [mm]n^2 \leq n^2 + 5n + 6 \leq n^2 + 5n^2 + 6n^2[/mm], oder wie
> meinst du das?
Zu beachten ist - Schachu hat ja schon darauf hingewiesen, dass auch
[mm] $\sqrt[2n]{\cdot\;}\colon [0,\infty) \to \IR$ [/mm] monoton wachsend ist.
Ansonsten: Ja. Aber diese Monotonie ist wichtig! (Denn überlege mal:
Wenn [mm] $f_n$ [/mm] monoton fallend ist, was folgte dann aus
[mm] $n^2 \leq n^2 [/mm] + 5n + 6 [mm] \leq n^2 [/mm] + [mm] 5n^2 [/mm] + [mm] 6n^2$ [/mm] für [mm] $f_n(n^2)\,,$ $f_n(n^2 [/mm] + 5n + 6)$ und [mm] $f_n(n^2 [/mm] + [mm] 5n^2 [/mm] + [mm] 6n^2)$ [/mm]
(natürlich müssen die jeweiligen Stellen auch im Definitionsbereich des
jeweiligen [mm] $f_n$ [/mm] liegen!)? Bei uns ist [mm] $f_n=\sqrt[2n]{\cdot}\,$ [/mm] aber zum
Glück, wie gesagt, für jedes [mm] $n\,$ [/mm] monoton wachsend!)
So, okay, hier jetzt erstmal ein Break. Ist auch schon so ein wenig arg viel,
oder?
Gruß,
Marcel
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Hallo nochmal Marcel :)
> > > Kleine Korrektur:
> > > [mm]\wurzel[n]{|a_n|} =\wurzel[n]{| \bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}|} = (\bruch{\overbrace{\red{|}a^n\red{|}}^{=\red{|}a\red{|}^n}}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}})^\bruch{1}{n}= \bruch{\red{|}a\red{|}}{(n^2+5n+6)^\bruch{1}{2n}}[/mm]
>
> >
> > Weil ich nicht weiß, ob das a negativ oder positiv ist,
> > darf ich die Betragstriche nicht weglassen, aber ich weiß,
> > dass der Nenner immer positiv ist und lasse deshalb dort
> > die Betragstriche weg.?
>
> Jo: Es gilt doch
> [mm]\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}\,,[/mm]
> und wenn man [mm]r \ge 0\,[/mm] weiß, dann kann man [mm]|r|=r\,[/mm]
> benutzen!
Okay, verstanden :)
> > > > 1.Frage:
> > > > Und nun muss ich den Grenzwert bestimmen, oder?
> > >
> > > Am besten den [mm]\limsup_{n \to \infty}\,.[/mm] Wenn aber [mm]\lim[/mm]
> > > existiert, dann gilt eh
> > > [mm]\lim=\limsup=\liminf\,.[/mm]
> > >
> >
> (Satz 5.21 2. (klick!),
> > > Richtung "[mm]\Rightarrow[/mm]" in diesem
> > > Satz! Dort bedeutet [mm]\overline{\lim}=\limsup[/mm] und
> > > [mm]\underline{\lim}=\liminf\,.[/mm])
> >
> > Bei Wikipedia steht "Limes superior und Limes inferior sind
> > ein partieller Ersatz für den Grenzwert, falls dieser
> > nicht existiert."
>
> Ja - aber wenn der Grenzwert existiert, brauchen wir ihn
> nicht zu ersetzen,
> und dann wissen wir (habe ich ja schon gesagt), dass er
> mit dem Limsup
> übereinstimmt (beachte auch, dass wir hier in [mm]\IR[/mm] sind).
> Ich sprach' vom
> Limsup gemäß Satz 6.17 des Skriptes, das ich verlinkt
> hatte. Wie habt ihr
> denn das WK und QK formuliert (es gibt andere, äquivalente
> Formulierungen und auch teilweise Formulierungen, die
> inhaltlich
> schwächer sind...)?
http://www7.pic-upload.de/08.01.13/mkqkx5snu2q.png
http://www7.pic-upload.de/08.01.13/q5efztv8itpz.png
> > Und warum verwende ich den Limes superior
> > dann hier? Wenn kein Grenzwert existiert, dann ist die
> > Reihe doch nicht konvergent.
>
> Den Limsup (bzw. den Limsup und den Liminf) den man beim WK
> und QK
> berechnet, ist i.a. NICHT gleichzusetzen mit dem
> Reihenwert im Falle der
> Konvergenz der Reihe. Das Problem habe ich heute schon
> mindestens
> zweimal gelesen, dass da etwas durcheinander geht:
> Rechne Dir mal anhand der geometrischen Reihe bitte alles
> durch; der Reihenwert für [mm]\sum_{k=0}^\infty q^k[/mm] ist ja für [mm]|q| < 1\,[/mm]
> mit [mm]\sum_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}[/mm] bekannt.
> (Und das ist dann auch [mm]=\limsup_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n q^k=\liminf_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n q^k[/mm] für [mm]|q| <1\,.[/mm])
> Was berechnet man beim WK bzw. QK?
Gute Frage! Was man da genau berechnet habe ich nie richtig verstanden, ich weiß beim QK nur, dass ich [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|[/mm] untersuchen soll und worauf ich dann schließen kann für [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}| < 1[/mm] oder >1. Ich denke was wir hier berechnen ist doch nur das Verhältnis zwischen Folgeglied und Nachfolgeglied, also so sieht es für mich aus wenn ich <span class="math">[mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] anschaue. Und es konvergiert für < 1, weil das Nachfoleglied kleiner ist als das vorherige, und nur dann kann es eine Nullfolge sein.
Bei WK weiß ich überhaupt nicht was da berechnet wird. Für mich ist das noch immer Magie das man mit Hilfe der n-ten Wurzel auf die Konvergenz schließen kann.
</span>
> > > > Der Exponent im Nenner konvergiert gegen 0 und das in der
> > > > Klammer geht gegen unendlich. Verträgt sich das? Also zwei
> > > > verschiedene Grenzwerte? Einmal der im Exponent und einmal
> > > > der in der Klammer.
> > >
> > > Du kannst hier das Sandwichkriterium bemühen, indem Du
> > > [mm]\sqrt[n]{n} \to 1[/mm]
> >
> > Leider verstehe ich nicht ganz warum es gegen 1
> > konvergiert.. :(
>
> Es ist klar, dass für [mm]n \in \IN[/mm]
> [mm]\sqrt[n]{n}=(1+\epsilon_n)[/mm]
> mit [mm]\epsilon_n \ge 0[/mm] geschrieben werden kann. (Warum?)
> Nimm' die Gleichung hoch [mm]n\,,[/mm] dann folgt
> [mm]n \ge (1+n*\epsilon_n)^n\,.[/mm]
Wie kommt das n vor das [mm]\epsilon_n[/mm]?
Ich hätte gedacht: [mm]\sqrt[n]{n}=(1+\epsilon_n) \gdw n = (1+\epsilon_n)^n[/mm]
> > Der Exponent geht im Unendlichen gegen Null und ich weiß
> > das eine Zahl hoch Null 1 ergibt.
>
> Die bessere Begründung wäre hier, die Stetigkeit der
> Exponentialfunktion
> an der Stelle [mm]0\,[/mm] zu benutzen. Da oben das ist so ein
> bisschen
> "Schulgeschwätz" (ohne das nun böse zu meinen, weder
> gegenüber Dir
> noch gegenüber den Lehrern; man kann halt in der Schule
> so manches
> nicht ganz ausführlich beweisen, sondern eher
> plausibilisieren...).
Kein Problem, ich gebe dir da vollkommen Recht :)
> > Aber die Basis also das n
> > geht doch auch gegen unendlich und was bei [mm]\infty^0[/mm]
> > passiert ist doch gar nicht festgelegt?
>
> Du solltest, spätestens nach oben geführtem Beweis,
> AUSWENDIG
> behalten:
> [mm]\sqrt[n]{n} \to 1\,.[/mm]
>
> Darauf folgt nämlich sofort etwa sowas wie
> [mm]\sqrt[n]{n^3}=\sqrt[n]{n}*\sqrt[n]{n}*\sqrt[n]{n} \to 1*1*1=1^3=1\,.[/mm]
Okay, ist im Kopf :)
> So, okay, hier jetzt erstmal ein Break. Ist auch schon so
> ein wenig arg viel,
> oder?
Ja :P , aber ein umso größeres Dankeschön, dass du dir auch die Zeit dafür/für mich nimmst :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:41 Di 08.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur kurz:
>
>
> Hallo nochmal Marcel :)
>
>
> > > > Kleine Korrektur:
> > > > [mm]\wurzel[n]{|a_n|} =\wurzel[n]{| \bruch{a^n}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}}|} = (\bruch{\overbrace{\red{|}a^n\red{|}}^{=\red{|}a\red{|}^n}}{\wurzel{n^2 + 5n + 6}})^\bruch{1}{n}= \bruch{\red{|}a\red{|}}{(n^2+5n+6)^\bruch{1}{2n}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Weil ich nicht weiß, ob das a negativ oder positiv ist,
> > > darf ich die Betragstriche nicht weglassen, aber ich weiß,
> > > dass der Nenner immer positiv ist und lasse deshalb dort
> > > die Betragstriche weg.?
> >
> > Jo: Es gilt doch
> > [mm]\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}\,,[/mm]
> > und wenn man [mm]r \ge 0\,[/mm] weiß, dann kann man [mm]|r|=r\,[/mm]
> > benutzen!
>
> Okay, verstanden :)
>
> > > > > 1.Frage:
> > > > > Und nun muss ich den Grenzwert bestimmen,
> oder?
> > > >
> > > > Am besten den [mm]\limsup_{n \to \infty}\,.[/mm] Wenn aber [mm]\lim[/mm]
> > > > existiert, dann gilt eh
> > > > [mm]\lim=\limsup=\liminf\,.[/mm]
> > > >
> > >
> >
> (Satz 5.21 2. (klick!),
> > > > Richtung "[mm]\Rightarrow[/mm]" in diesem
> > > > Satz! Dort bedeutet [mm]\overline{\lim}=\limsup[/mm] und
> > > > [mm]\underline{\lim}=\liminf\,.[/mm])
> > >
> > > Bei Wikipedia steht "Limes superior und Limes inferior sind
> > > ein partieller Ersatz für den Grenzwert, falls dieser
> > > nicht existiert."
> >
> > Ja - aber wenn der Grenzwert existiert, brauchen wir ihn
> > nicht zu ersetzen,
> > und dann wissen wir (habe ich ja schon gesagt), dass er
> > mit dem Limsup
> > übereinstimmt (beachte auch, dass wir hier in [mm]\IR[/mm]
> sind).
> > Ich sprach' vom
> > Limsup gemäß Satz 6.17 des Skriptes, das ich verlinkt
> > hatte. Wie habt ihr
> > denn das WK und QK formuliert (es gibt andere, äquivalente
> > Formulierungen und auch teilweise Formulierungen, die
> > inhaltlich
> > schwächer sind...)?
>
> http://www7.pic-upload.de/08.01.13/mkqkx5snu2q.png
> http://www7.pic-upload.de/08.01.13/q5efztv8itpz.png
da gucke ich morgen rein.
> > > Und warum verwende ich den Limes superior
> > > dann hier? Wenn kein Grenzwert existiert, dann ist die
> > > Reihe doch nicht konvergent.
> >
> > Den Limsup (bzw. den Limsup und den Liminf) den man beim WK
> > und QK
> > berechnet, ist i.a. NICHT gleichzusetzen mit dem
> > Reihenwert im Falle der
> > Konvergenz der Reihe. Das Problem habe ich heute schon
> > mindestens
> > zweimal gelesen, dass da etwas durcheinander geht:
> > Rechne Dir mal anhand der geometrischen Reihe bitte
> alles
> > durch; der Reihenwert für [mm]\sum_{k=0}^\infty q^k[/mm] ist ja
> für [mm]|q| < 1\,[/mm]
> > mit [mm]\sum_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}[/mm] bekannt.
> > (Und das ist dann auch [mm]=\limsup_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n q^k=\liminf_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n q^k[/mm]
> für [mm]|q| <1\,.[/mm])
> > Was berechnet man beim WK bzw. QK?
>
> Gute Frage! Was man da genau berechnet habe ich nie richtig
> verstanden, ich weiß beim QK nur, dass ich
> [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|[/mm] untersuchen soll und worauf ich dann
> schließen kann für [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}| < 1[/mm] oder >1.
> Ich denke was wir hier berechnen ist doch nur das
> Verhältnis zwischen Folgeglied und Nachfolgeglied, also so
> sieht es für mich aus wenn ich <span
> class="math">[mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|[/mm] anschaue. Und es
> konvergiert für < 1, weil das Nachfoleglied kleiner ist
> als das vorherige, und nur dann kann es eine Nullfolge
> sein.
>
> Bei WK weiß ich überhaupt nicht was da berechnet wird.
> Für mich ist das noch immer Magie das man mit Hilfe der
> n-ten Wurzel auf die Konvergenz schließen kann.
> </span>
Die Beweise musst Du können. So viel Magie steckt da doch gar nicht
dahinter: Prinzipiell führt man alles auf Ergebnisse zurück, die mit der
geometrischen Reihe zu tun haben. Aber vor allem: Das, was man
berechnet, hat doch (i.a.) nichts mit dem Reihenwert zu tun. Eher mit
dem Majorantenkriterium. Mir ist jetzt erstmal wichtig, dass der Limes,
den man sich da jeweils anguckt, gar nichts mit dem Reihenwert der
betrachteten Reihe zu tun hat (von vielleicht zufälligen Ausnahmen mal
abgesehen). Ich glaube, wir müssen hier den Beweis des WK und QK
nochmal durchgehen. Denn das ist WICHTIG; das MUSS man wirklich
verstanden haben. Sonst bleibt's wirklich einfach nur Magie und Zauberei.
So mal "ganz blöd" schnell gefragt:
Wenn Du
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty a_n$$
[/mm]
hättest und schon wüßtest, dass sogar für alle $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] gelten
würde, dass [mm] $|a_n| \le q^n$ [/mm] mit einem $0 < q < [mm] 1\;:$
[/mm]
Wie kannst Du dann [mm] $\left|\sum_{n=0}^\infty a_n\right|$ [/mm] mit [mm] $\sum_{n=0}^\infty q^n$ [/mm] vergleichen?
(Beachte dabei, dass, wie Du selbst schon sagtest, absolute Konvergenz
einer Reihe auch deren Konvergenz impliziert. Bei dem Beweis dieser
Aussage arbeitet man aber eigentlich mit "Cauchyfolge"...)
Viel mehr steckt eigentlich bei WK nicht dahinter (d.h., ein bisschen mehr
schon, aber "viel wesentliches" erfasst man eigentlich gerade mit dieser,
gemäß des Majorantenkriteriums, doch relativ einfachen Vorüberlegung...)
(Vielleicht hilft's Dir ja auch mal, wenn Du in das Skript meines damaligen
Profs., welches ich verlinkt habe, reinguckst. Der ist didaktisch eigentlich
wirklich super, entsprechend auch das Skript, wie ich finde...)
Beim QK "erweitert man mit Folgengliedern" - wenn Du da reinguckst, kann
man immer "schräg" Brüche zu einer [mm] $1\,$ [/mm] kürzen. Aber egal...
> > > > > Der Exponent im Nenner konvergiert gegen 0 und
> das in der
> > > > > Klammer geht gegen unendlich. Verträgt sich das? Also zwei
> > > > > verschiedene Grenzwerte? Einmal der im Exponent und einmal
> > > > > der in der Klammer.
> > > >
> > > > Du kannst hier das Sandwichkriterium bemühen, indem Du
> > > > [mm]\sqrt[n]{n} \to 1[/mm]
> > >
> > > Leider verstehe ich nicht ganz warum es gegen 1
> > > konvergiert.. :(
> >
> > Es ist klar, dass für [mm]n \in \IN[/mm]
> > [mm]\sqrt[n]{n}=(1+\epsilon_n)[/mm]
> > mit [mm]\epsilon_n \ge 0[/mm] geschrieben werden kann. (Warum?)
> > Nimm' die Gleichung hoch [mm]n\,,[/mm] dann folgt
> > [mm]n \ge (1+n*\epsilon_n)^n\,.[/mm]
>
> Wie kommt das n vor das [mm]\epsilon_n[/mm]?
Verschreiber (ich hatte angefangen, da weiterzuschreiben und das dann
abgebrochen, da habe ich vergessen, das [mm] $n\,$ [/mm] zu entfernen). Das wird
korrigiert.
> Ich hätte gedacht: [mm]\sqrt[n]{n}=(1+\epsilon_n) \gdw n = (1+\epsilon_n)^n[/mm]
Richtig!
> > > Der Exponent geht im Unendlichen gegen Null und ich weiß
> > > das eine Zahl hoch Null 1 ergibt.
> >
> > Die bessere Begründung wäre hier, die Stetigkeit der
> > Exponentialfunktion
> > an der Stelle [mm]0\,[/mm] zu benutzen. Da oben das ist so ein
> > bisschen
> > "Schulgeschwätz" (ohne das nun böse zu meinen, weder
> > gegenüber Dir
> > noch gegenüber den Lehrern; man kann halt in der
> Schule
> > so manches
> > nicht ganz ausführlich beweisen, sondern eher
> > plausibilisieren...).
>
> Kein Problem, ich gebe dir da vollkommen Recht :)
>
> > > Aber die Basis also das n
> > > geht doch auch gegen unendlich und was bei [mm]\infty^0[/mm]
> > > passiert ist doch gar nicht festgelegt?
> >
> > Du solltest, spätestens nach oben geführtem Beweis,
> > AUSWENDIG
> > behalten:
> > [mm]\sqrt[n]{n} \to 1\,.[/mm]
> >
> > Darauf folgt nämlich sofort etwa sowas wie
> > [mm]\sqrt[n]{n^3}=\sqrt[n]{n}*\sqrt[n]{n}*\sqrt[n]{n} \to 1*1*1=1^3=1\,.[/mm]
>
> Okay, ist im Kopf :)
>
>
> > So, okay, hier jetzt erstmal ein Break. Ist auch schon so
> > ein wenig arg viel,
> > oder?
>
> Ja :P , aber ein umso größeres Dankeschön, dass du dir
> auch die Zeit dafür/für mich nimmst :)
Gerne.
Aber okay, irgendwie bin ich ja jetzt doch fertig mit der ganzen Frage. Oder
habe ich was übersehen?
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel :)
> Die Beweise musst Du können. So viel Magie steckt da doch
> gar nicht dahinter: Prinzipiell führt man alles auf Ergebnisse
> zurück, die mit der geometrischen Reihe zu tun haben. Aber vor allem: > Das, was man berechnet, hat doch (i.a.) nichts mit dem Reihenwert zu
> tun. Eher mit dem Majorantenkriterium. Mir ist jetzt erstmal wichtig,
> dass der Limes,
> den man sich da jeweils anguckt, gar nichts mit dem
> Reihenwert der
> betrachteten Reihe zu tun hat (von vielleicht zufälligen
> Ausnahmen mal
> abgesehen). Ich glaube, wir müssen hier den Beweis des WK
> und QK
> nochmal durchgehen. Denn das ist WICHTIG; das MUSS man
> wirklich
> verstanden haben. Sonst bleibt's wirklich einfach nur Magie
> und Zauberei.
> So mal "ganz blöd" schnell gefragt:
> Wenn Du
> [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n[/mm]
> hättest und schon wüßtest, dass
> sogar für alle [mm]n \in \IN_0[/mm] gelten
> würde, dass [mm]|a_n| \le q^n[/mm] mit einem [mm]0 < q < 1\;:[/mm]
Dann weiß ich also das die gegebene Reihe nach dem Majorantenkriterium konvergiert.
Kurze Frage:
Man nimmt den Betrag von [mm]a_n[/mm], weil es Folgen gibt, die aus dem Negativen gegen 0 streben. Da fällt mir nur [mm]-\bruch{1}{n}[/mm] ein, aber für die gilt nicht [mm]\leq q^n[/mm]. Außerdem ist es ja die harmonische Reihe. Was wäre ein passendes Beispiel?
> Wie kannst Du dann [mm]\left|\sum_{n=0}^\infty a_n\right|[/mm] mit [mm]\sum_{n=0}^\infty q^n[/mm] vergleichen?
[mm]\left|\sum_{n=0}^\infty a_n\right| \leq \sum_{n=0}^\infty q^n[/mm]
So vielleicht?
Leider weiß ich nicht, wie ich jetzt weitermachen soll..
> (Beachte dabei, dass, wie Du selbst schon sagtest, absolute
> Konvergenz
> einer Reihe auch deren Konvergenz impliziert.
> Bei dem Beweis dieser Aussage arbeitet man aber eigentlich mit
> "Cauchyfolge"...)
> Viel mehr steckt eigentlich bei WK nicht dahinter (d.h.,
> ein bisschen mehr
> schon, aber "viel wesentliches" erfasst man eigentlich
> gerade mit dieser,
> gemäß des Majorantenkriteriums, doch relativ einfachen
> Vorüberlegung...)
> (Vielleicht hilft's Dir ja auch mal, wenn Du in das Skript
> meines damaligen
> Profs., welches ich verlinkt habe, reinguckst. Der ist
> didaktisch eigentlich
> wirklich super, entsprechend auch das Skript, wie ich
> finde...)
Okay, da werde ich nun immer reinschauen. Meinst du es lohnt sich ein Analysis Buch anzuschaffen? Oder reicht das Skript?
> > > So, okay, hier jetzt erstmal ein Break. Ist auch schon so
> > > ein wenig arg viel,
> > > oder?
> >
> > Ja :P , aber ein umso größeres Dankeschön, dass du dir
> > auch die Zeit dafür/für mich nimmst :)
>
> Gerne.
>
> Aber okay, irgendwie bin ich ja jetzt doch fertig mit der
> ganzen Frage. Oder
> habe ich was übersehen?
Nein, alles super erklärt :)
Viele Grüße,
Lisa
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa,
>
>
> Hallo Marcel :)
>
> > Die Beweise musst Du können. So viel Magie steckt da doch
> > gar nicht dahinter: Prinzipiell führt man alles auf
> Ergebnisse
> > zurück, die mit der geometrischen Reihe zu tun haben. Aber
> vor allem: > Das, was man berechnet, hat doch (i.a.) nichts
> mit dem Reihenwert zu
> > tun. Eher mit dem Majorantenkriterium. Mir ist jetzt
> erstmal wichtig,
> > dass der Limes,
> > den man sich da jeweils anguckt, gar nichts mit dem
> > Reihenwert der
> > betrachteten Reihe zu tun hat (von vielleicht zufälligen
> > Ausnahmen mal
> > abgesehen). Ich glaube, wir müssen hier den Beweis des
> WK
> > und QK
> > nochmal durchgehen. Denn das ist WICHTIG; das MUSS man
> > wirklich
> > verstanden haben. Sonst bleibt's wirklich einfach nur Magie
> > und Zauberei.
> > So mal "ganz blöd" schnell gefragt:
> > Wenn Du
> > [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n[/mm]
> > hättest und schon wüßtest,
> dass
> > sogar für alle [mm]n \in \IN_0[/mm] gelten
> > würde, dass [mm]|a_n| \le q^n[/mm] mit einem [mm]0 < q < 1\;:[/mm]
>
> Dann weiß ich also das die gegebene Reihe nach dem
> Majorantenkriterium konvergiert.
>
> Kurze Frage:
> Man nimmt den Betrag von [mm]a_n[/mm], weil es Folgen gibt, die aus
> dem Negativen gegen 0 streben. Da fällt mir nur
> [mm]-\bruch{1}{n}[/mm] ein, aber für die gilt nicht [mm]\leq q^n[/mm].
> Außerdem ist es ja die harmonische Reihe. Was wäre ein
> passendes Beispiel?
>
> > Wie kannst Du dann [mm]\left|\sum_{n=0}^\infty a_n\right|[/mm] mit
> [mm]\sum_{n=0}^\infty q^n[/mm] vergleichen?
>
> [mm]\left|\sum_{n=0}^\infty a_n\right| \leq \sum_{n=0}^\infty q^n[/mm]
>
> So vielleicht?
> Leider weiß ich nicht, wie ich jetzt weitermachen soll..
das ist witzig: Du hast doch oben selbst davon geredet, dass die Reihe
"absolut" konvergiert. Aber falsch ist das dennoch nicht, genauer:
[mm] $$|\sum_{n=0}^\infty a_n| \le \sum_{n=0}^\infty |a_n| \le \sum_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}$$
[/mm]
gilt ja für die Reihenwerte, wobei die Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n$ [/mm] konvergiert,
weil sie - siehe Abschätzung oben - absolut konvergiert.
Beachte übrigens, dass die Ungleichung [mm] $|\sum_{n=0}^\infty a_n| \le \sum_{n=0}^\infty |a_n|$
[/mm]
alleine gar nicht implizieren würde, dass die Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n$
[/mm]
konvergiert, wenn [mm] $\sum_{n=0}^\infty |a_n|$ [/mm] konvergiert. (Man wüßte nur:
Wenn die Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n$ [/mm] konvergiert, so ist deren
Grenzwert [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n$ [/mm] betragsmäßig [mm] $\le$ [/mm] als der Grenzwert der Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty |a_n|\,.$) [/mm]
Nicht umsonst ist der Beweis "Absolute Konvergenz [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Konvergenz"
ja schon ein wenig "komplizierter" aufgebaut - diese Folgerung hat was
mit Cauchy zu tun...
> > (Beachte dabei, dass, wie Du selbst schon sagtest, absolute
> > Konvergenz
> > einer Reihe auch deren Konvergenz impliziert.
>
> > Bei dem Beweis dieser Aussage arbeitet man aber eigentlich
> mit
> > "Cauchyfolge"...)
>
> > Viel mehr steckt eigentlich bei WK nicht dahinter (d.h.,
> > ein bisschen mehr
> > schon, aber "viel wesentliches" erfasst man eigentlich
> > gerade mit dieser,
> > gemäß des Majorantenkriteriums, doch relativ einfachen
> > Vorüberlegung...)
> > (Vielleicht hilft's Dir ja auch mal, wenn Du in das
> Skript
> > meines damaligen
> > Profs., welches ich verlinkt habe, reinguckst. Der ist
> > didaktisch eigentlich
> > wirklich super, entsprechend auch das Skript, wie ich
> > finde...)
>
> Okay, da werde ich nun immer reinschauen. Meinst du es
> lohnt sich ein Analysis Buch anzuschaffen? Oder reicht das
> Skript?
Das kann sich lohnen, das Skript sollte aber größtenteils reichen (hängt
auch alles immer ein wenig vom Aufbau der Vorlesung ab, die Du besuchst).
Bücher kaufen würde ich aber erst, NACHDEM ich mir in der Bibliothek ein
paar angeschaut habe - dann wirst Du merken, mit welchem Du
einigermaßen bis hin zu (sehr) gut zu recht kommst, und mit welchen Du
eher schwer bis gar nicht klar kommst. Du kannst nun alleine nach solchen
Büchern suchen, oder hier im Matheraum (da haben schon andere nach
gefragt) danach suchen, oder aber Du stellst eigens erneut eine Umfrage.
Aber vorweg: Natürlich kannst Du auch mal einfach nach Skripten der
Analysis im Internet suchen.
> > > > So, okay, hier jetzt erstmal ein Break. Ist auch schon so
> > > > ein wenig arg viel,
> > > > oder?
> > >
> > > Ja :P , aber ein umso größeres Dankeschön, dass du dir
> > > auch die Zeit dafür/für mich nimmst :)
> >
> > Gerne.
> >
> > Aber okay, irgendwie bin ich ja jetzt doch fertig mit der
> > ganzen Frage. Oder
> > habe ich was übersehen?
>
> Nein, alles super erklärt :)
Danke, freut mich.
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 Mi 09.01.2013 | | Autor: | LisaWeide |
Danke, das habe ich nun auch verstanden :)
Verwende nun auch das Skript von deinem Prof und schaue mich mal nach einem Buch um :)
Gruß,
Lisa
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