Wurzelkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Fr 02.03.2012 | | Autor: | Ciotic |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Folgen mit dem Wurzelkriterium auf Konvergenz.
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty} \bruch {k^{2k}}{100^k}$ [/mm] |
Ich habe folgendermaßen umgeformt:
[mm] $\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{\bruch {k^{2k}}{100^k}} [/mm] = [mm] \bruch {\wurzel[k]{k^{2k}}}{\wurzel{100^k}}= \bruch {k^{\bruch{2k}{k}}}{100} [/mm] = [mm] \bruch {k^2}{100} [/mm] $
Ist das soweit richtig?
Wenn ja, würde die Folge gegen [mm] $\infty$ [/mm] streben, allerdings beginnt die Reihe bei Null und für für k=0 gegen Null streben.
Wer kann mir helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Fr 02.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
Hallo!
> Untersuchen Sie die Folgen mit dem Wurzelkriterium auf
> Konvergenz.
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch {k^{2k}}{100^k}[/mm]
> Ich habe
> folgendermaßen umgeformt:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{\bruch {k^{2k}}{100^k}} = \bruch {\wurzel[k]{k^{2k}}}{\wurzel{100^k}}= \bruch {k^{\bruch{2k}{k}}}{100} = \bruch {k^2}{100}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
Ja. Betrachte nur den Grenzwert der Folge.
Das Wurzelkriterium hat die Form: [mm] \sigma:=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\red{|}a\red{|}}
[/mm]
Die Betragstriche würde ich am Anfang auf jeden Fall hinschreiben. (Auch wenn klar ist, dass es immer größer Null ist.)
Das Wurzelkriterium liefert doch folgende Aussagen:
1. Wenn der Grenzwert [mm] \sigma:=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\red{|}a\red{|}} [/mm] existiert und kleiner als eins ist, so ist die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{n}a_n [/mm] absolut konvergent.
2. Ist [mm] \sigma [/mm] größer 1, so divergiert die Reihe.
3. Fall [mm] \sigma [/mm] gleich eins, so kann man keine Aussage treffen.
Was liegt denn nun hier vor?
Gruß Hans
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Fr 02.03.2012 | | Autor: | Ciotic |
Danke schonmal!
Meiner Meinung ist die Folge absolut konvergent, da der Wert 0 ist.
Ich habe so umgeformt:
[mm] $\bruch {k^2}{100} [/mm] = [mm] \bruch {k^2}{k^2} [/mm] * [mm] \bruch {1}{\bruch {100}{k^2}} [/mm] = 0$
/EDIT:
Das ist Quatsch, was ich geschrieben habe. Ich kann mit dem Kriterium ja nur absolute Konvergenz nachweisen, nicht aber den Wert, gegen den die Folge konvergiert. Ich weiß aber nicht, was ich mit meinem [mm] $\bruch {k^2}{100}$ [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Fr 02.03.2012 | | Autor: | meely |
Hallo,
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> Meiner Meinung ist die Folge absolut konvergent, da der
> Wert 0 ist.
>
Wie kommst du auf das ?
Du lässt doch [mm] k->\infty [/mm] gehen ...
LG Meely
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Fr 02.03.2012 | | Autor: | Ciotic |
Das war Unsinn, was ich da geschrieben hatte.
Wenn ich k gegen unendlich laufen lasse komme ich auf [mm] $\infty$ [/mm] .Gilt dann:
[mm] \infty>0 [/mm] und die Folge divergiert?
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> Das war Unsinn, was ich da geschrieben hatte.
>
> Wenn ich k gegen unendlich laufen lasse komme ich auf
> [mm]\infty[/mm] .Gilt dann:
> [mm]\infty>0[/mm] und die Folge divergiert?
Genau ;)
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Fr 02.03.2012 | | Autor: | Ciotic |
Alles klar, vielen Dank für die Helfer ;)
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Kein Problem, dafür gibts ja solche Foren ;)
PS: Das nächste mal reicht ne Mitteilung für die Danksagungen :-P
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Da hat wohl vorher jemand vergessen auf "Abbrechen" zu klicken.
Problem sollte nun gelöst sein ?!
LG
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