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| Aufgabe | Prüfen Sie die Reihe auf Konvergenz:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(2k)^{k}sin^{k}(\bruch{2}{k}) [/mm] |
Hallo,
ich habe bei der Aufgabe das Wurzelkriterium angewandt, da die Summanden k-te Potenz haben:
[mm] \wurzel[k]{|a_{k}|} [/mm] = [mm] \wurzel[k]{(2k)^{k}*sin^{k}(\bruch{2}{k})}=2k*sin(\bruch{2}{k}) [/mm] ...
Hier kam ich nicht weiter. Also habe ich in den Lösungen geschaut:
[mm] \wurzel[k]{|a_{k}|} [/mm] = [mm] \wurzel[k]{(2k)^{k}*sin^{k}(\bruch{2}{k})}=2k*sin(\bruch{2}{k})=4*\bruch{sin(\bruch{2}{k})}{\bruch{2}{k}} [/mm] und dann mit [mm] \limes_{n\rightarrow0+}\bruch{sinx}{x}=1 [/mm] , [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}
[/mm]
[mm] \wurzel[k]{|a_{k}|}=4>1 [/mm] , also Reihe divergent.
Meine Frage ist zum Teil: [mm] 2k*sin(\bruch{2}{k}) [/mm] --> [mm] 4*\bruch{sin(\bruch{2}{k})}{\bruch{2}{k}} [/mm]
Woher kommt die 4?
Wie haben die das umgeformt?
thx
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Hallo monstre!
Das ist simple Bruchrechnung. Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert.
Dies wurde hier rückwärts angewandt. Um auf die 4 zu kommen, wurde der Bruch dann noch mit 2 erweitert.
Gruß vom
Roadrunner
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> Hallo monstre!
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> Das ist simple Bruchrechnung. Man dividiert durch einen
> Bruch, indem man mit dem Kehrwert des Bruches
> multipliziert.
[mm] \bruch{1}{\bruch{1}{2k*sin(\bruch{2}{k})}} [/mm] bringt doch nix, dann kommen wir zum ursprung zurück
> Dies wurde hier rückwaärts angewandt. Um auf die 4 zu
> kommen, wurde der Bruch dann noch mit 2 erweitert.
Könntest du vllt. eine kleine Demostration geben, bitte?
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> Gruß vom
> Roadrunner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 Mo 23.08.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Um auf [mm] 2k*\sin\left(\bruch{2}{k}\right) [/mm] die Formel
$ [mm] \limes_{n\rightarrow0+}\bruch{sinx}{x}=1 [/mm] $ anwenden zu können, brauchst du in Nenner eben auch die [mm] \bruch{2}{k}
[/mm]
Also multipliziere ich [mm] 2k*\sin\left(\bruch{2}{k}\right) [/mm] mit der "Nahrhaften 1", in der Form [mm] \bruch{\bruch{2}{k}}{\bruch{2}{k}}
[/mm]
Also:
[mm] 2k*\sin\left(\bruch{2}{k}\right)
[/mm]
[mm] =2k*\sin\left(\bruch{2}{k}\right)*\bruch{\bruch{2}{k}}{\bruch{2}{k}}
[/mm]
Der Rest ist dann elementare Bruchrechnung.
Marius
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