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| Aufgabe | | Zeigen Sie die Konvergenz von [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3^k}{k!} [/mm] |
Hallo Leute, hab das einmal mit dem Wurzel- und einmal mit dem Quotientenkriterium gemacht und dabei folgendes festgestellt
WK: [mm] $\wurzel[k]{\bruch{3^k}{k!}}=\bruch{3}{\wurzel[k]{k!}} \to [/mm] 3$.
wobei [mm] $\wurzel[k]{k!}=\wurzel[k]{1}*\wurzel[k]{2}\cdots \wurzel[k]{k} \to [/mm] 1***1=1$
QK: [mm] $\bruch{3^{k+1}k!}{(k+1)!3^k}=\bruch{3}{k+1}\to [/mm] 0$
also offentsichtlich stimmt da was nicht, entweder ist das Wurzelkriterium nicht anwendbar oder die k-te Wurzel aus k! geht nicht gegen 1. Wäre nett wenn mir das jemand erklären könnte.
mfg
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Hallo rainman_do!
Du hast den Fehler bereits selber erkannt: [mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{k!}$ [/mm] geht nicht gegen $1_$ !
Verwende zur Abschätzung dieses Grenzwertes die ![[]](/images/popup.gif) Stirling-Formel:
$$n! \ [mm] \approx [/mm] \ [mm] \wurzel{2\pi*n}*\vektor{n\\e}^n$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 Do 09.10.2008 | | Autor: | rainman_do |
super! dankeschön.
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