Wurzelkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Sa 26.05.2007 | | Autor: | Soonic |
| Aufgabe | Das Wurzelkriterium [mm] \wurzel[i]{\bruch{1}{i²}}=\bruch{1}{(\wurzel[i]{i})²} [/mm] strebt gegen 1, was getrennt [mm] (\wurzel[i]{i}) [/mm] zu beweisen wäre.
Konvergenz kann hier über die Abschätzung der Pratioalsummen nachgewiesen werden.
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Kann mir jemand erklären, wie das gehen soll?
Danke im vorraus
soonic
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Hallo,
eine Erklärung fiele um Klassen leichter, wenn man sich die Aufgabe nicht aus Gestammel zusammenreimen müßte, sondern wenn sie hier im korrekten Wortlaut gepostet wäre.
Zunächst einmal: wie kann ein Kriterium gegen irgendwas streben???
Ich reime mir die Aufgabe wie folgt zusammen:
Betrachten sollst Du die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i^2}.
[/mm]
Zu zeigen ist die Konvergenz dieser Reihe.
Das sollst Du durch Abschätzung der Partialsummen tun, das heißt, Du sollst zeigen, daß Du eine obere Schranke C findest, so, daß
[mm] \summe_{i=1}^{N}\bruch{1}{i^2}\le [/mm] C für alle [mm] N\in \IN.
[/mm]
(Warum Du das tun sollst, entnimmst Du einem Satz aus der Vorlesung, welcher den Zusammenhang zwischen Beschränkung der Partialsummen und Reihenkonvergenz liefert. Auch sind die Voraussetzungen für den Satz zu prüfen.)
Diese Folge ist also konvergent.
Zeigen sollst Du nun weiter, daß Du das mit dem Wurzelkriterium nicht herausbekommen kannst.
Hierfür sollst Du zeigen daß
[mm] \limes_{i\rightarrow\infty}\wurzel[i]{\bruch{1}{i²}}=1 [/mm] ist.
Für diesen Fall liefert das Wurzelkriterium keine Informationen über Konvergenz.
Lernen sollst Du hieran: das Wurzelkriterium ist hinreichend, aber nicht notwendig für die Konvergenz der Folge.
> Kann mir jemand erklären, wie das gehen soll?
Ich habe mich dafür entschieden, zunächst das "Was?" zu klären, und hoffe, daß Du nun erste Lösungsversuche unternehmen kannst.
Tip: zur Konvergenz der Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i^2} [/mm] dürftest Du auch in jedem Analysislehrbuch etwas finden.
Gruß v. Angela
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