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Wurzelintegration: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:53 Sa 14.01.2012
Autor: Phnix

Aufgabe
Berechne folgendes unbestimmtes Integral

[mm] \integral \wurzel{1+(2x)^2} [/mm] dx


In der Regel würde ich hier Substitution durchführen, aber hilft nicht. Steh grade neben der Spur.

Ich danke für eure Antwort.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Wurzelintegration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:02 Sa 14.01.2012
Autor: MathePower

Hallo Phnix,


[willkommenmr]


> Berechne folgendes unbestimmtes Integral
>  
> [mm]\integral \wurzel{1+(2x)^2}[/mm] dx
>  
> In der Regel würde ich hier Substitution durchführen,
> aber hilft nicht. Steh grade neben der Spur.
>  


Hier hilft die Substitution [mm]2x=\sinh\left(t\right)[/mm]


> Ich danke für eure Antwort.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt


Gruss
MathePower

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Wurzelintegration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:31 Sa 14.01.2012
Autor: Phnix

Wieso hillft dort der sinh (t)?

Wenn ich nun substituiere:

2x= sinh(t)
2 =sinh(t)´
[mm] \bruch{dt}{dx}=2 \Rightarrow [/mm]   dx=0,5 dz

[mm] \integral \wurzel{1+sinh^2(t)}+\bruch{1}{2} [/mm] dt

Nun wie weiter?

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Wurzelintegration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:42 Sa 14.01.2012
Autor: TheBozz-mismo

Hallo
> Wieso hillft dort der sinh (t)?
>  
> Wenn ich nun substituiere:
>  
> 2x= sinh(t)
>  2 =sinh(t)´
>  [mm]\bruch{dt}{dx}=2 \Rightarrow[/mm]   dx=0,5 dz
>  

Ich seh grad nicht, warum du die Ableitung von sinh weglässt

Es gilt: 2dx=sinh'(t)dt <=> [mm] dx=\bruch{cosh(t)*dt}{2} [/mm]

Nun ins Integral einsetzen
[mm] =>\integral_{}^{}\wurzel{1+sinh(t)^2}*\bruch{cosh(t)*dt}{2} [/mm]
Nun gibt es die Identität [mm] cosh(x)^2-sinh(x)^2=1 [/mm]

Forme die um, setze sie ein und guck dann mal weiter.

Gruß
TheBozz-mismo

> [mm]\integral \wurzel{1+sinh^2(t)}+\bruch{1}{2}[/mm] dt
>  
> Nun wie weiter?


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Wurzelintegration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:16 Sa 14.01.2012
Autor: Phnix

[mm] =>\integral_{}^{}\wurzel{1+sinh(t)^2}*\bruch{cosh(t)*dt}{2} [/mm]

[mm] \integral_{}^{}\wurzel{cosh^2(t)-sinh^2(t)+sinh(t)^2}*\bruch{cosh(t)*dt}{2} [/mm]

[mm] \integral_{}^{}cosh(t)-sinh(t)+sinh(t)*\bruch{cosh(t)*dt}{2} [/mm]

[mm] \integral_{}^{}cosh(t)*\bruch{cosh(t)*dt}{2} [/mm]

[mm] \integral \bruch{1}{2}* cosh^2(t) [/mm] dt

[mm] \bruch{1}{2}\integral (2x)^2 [/mm] dx

[mm] \bruch{1}{2}*\bruch{4}{3}x*^3 [/mm] +c

DAnn müsste das jetzt stimmen?

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Wurzelintegration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:29 Sa 14.01.2012
Autor: leduart

Hallo
>
> [mm]=>\integral_{}^{}\wurzel{1+sinh(t)^2}*\bruch{cosh(t)*dt}{2}[/mm]
>  
> [mm]\integral_{}^{}\wurzel{cosh^2(t)-sinh^2(t)+sinh(t)^2}*\bruch{cosh(t)*dt}{2}[/mm]

Wie ziehst du da die Wurzel? da sich schon vorher die [mm] sinh^2 [/mm] wegheben ist das Ergebnis zwar richtig, aber [mm] \wurzel{a+b}=\wurzel{a}+\wurzel{b} [/mm] ist schrecklich! direkt [mm] :1+sinh(t)^2=cosh^2(t) [/mm]

> [mm]\integral_{}^{}cosh(t)-sinh(t)+sinh(t)*\bruch{cosh(t)*dt}{2}[/mm]
>  
> [mm]\integral_{}^{}cosh(t)*\bruch{cosh(t)*dt}{2}[/mm]
>  
> [mm]\integral \bruch{1}{2}* cosh^2(t)[/mm] dt

jetzt integrieren , wie kommst du auf die nächste Zeile, vergleich mal mit deinem ausgangsIntegral dann steht da
[mm] \bruch{1}{2}*(2x)^2 =\wurzel{1+2x^2} [/mm] glaubst  du das wirklich?

> [mm]\bruch{1}{2}\integral (2x)^2[/mm] dx
>  
> [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{4}{3}x*^3[/mm] +c
>
> DAnn müsste das jetzt stimmen?

Nee
Gruss leduart


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Wurzelintegration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:06 Sa 14.01.2012
Autor: Phnix

[mm] \bruch{1}{2}\integral cosh^2(t) [/mm] dt

wenn ich jetzt nicht resubtieren darf, dann würede ich jetzt mit der partiellen Integration es probieren.

[mm] \bruch{1}{2}\integral [/mm] cosh(t)+cosh(t) dt = [mm] sinh(t)*cosh(t)-cosh(t)*sinh(t)-\integral [/mm] cosh(t)+cosh(t) dt

[mm] \integral [/mm] cosh(t)+cosh(t) dt [mm] =\bruch{2}{3} [/mm] sinh(t)*cosh(t)-cosh(t)*sinh(t)

nun weiß ich schon wieder nicht wie ich weiter machen soll?


Auf die nächste Zeile bin ich gekommen, weil ich dort wieder resubstiert habe. Anscheinend darf ich da es dann noch nicht.

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Wurzelintegration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:28 Sa 14.01.2012
Autor: MathePower

Hallo Phnix,

> [mm]\bruch{1}{2}\integral cosh^2(t)[/mm] dt
>  
> wenn ich jetzt nicht resubtieren darf, dann würede ich
> jetzt mit der partiellen Integration es probieren.
>  
> [mm]\bruch{1}{2}\integral[/mm] cosh(t)+cosh(t) dt =
> [mm]sinh(t)*cosh(t)-cosh(t)*sinh(t)-\integral[/mm] cosh(t)+cosh(t)
> dt
>  
> [mm]\integral[/mm] cosh(t)+cosh(t) dt [mm]=\bruch{2}{3}[/mm]
> sinh(t)*cosh(t)-cosh(t)*sinh(t)
>  
> nun weiß ich schon wieder nicht wie ich weiter machen
> soll?
>  
>


Die erste partielle Integration geht so:

[mm]\integral_{}^{}{cosh(t)*cosh(t) \ dt}=\sinh\left(t\right)*\cosh\left(t\right)-\integral_{}^{}{}{\sinh\left(t\right)*\sinh\left(t\right) \ dt}[/mm]

Ersetze den Integranden im rechtsstehenden Integral gemäß

[mm]\cosh^{2}\left(t\right)-\sinh^{2}\left(t\right)=1[/mm]


> Auf die nächste Zeile bin ich gekommen, weil ich dort
> wieder resubstiert habe. Anscheinend darf ich da es dann
> noch nicht.


Gruss
MathePower

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Wurzelintegration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:33 Sa 14.01.2012
Autor: Phnix


>  
> [mm]\integral_{}^{}{cosh(t)*cosh(t) \ dt}=\sinh\left(t\right)*\cosh\left(t\right)-\integral_{}^{}{}{\sinh\left(t\right)*\sinh\left(t\right) \ dt}[/mm]
>  
> Ersetze den Integranden im rechtsstehenden Integral
> gemäß
>  
> [mm]\cosh^{2}\left(t\right)-\sinh^{2}\left(t\right)=1[/mm]


DAs verstehe ich jetzt nicht was ich machen soll?



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Wurzelintegration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:42 Sa 14.01.2012
Autor: MathePower

Hallo Phnix,


> >  

> > [mm]\integral_{}^{}{cosh(t)*cosh(t) \ dt}=\sinh\left(t\right)*\cosh\left(t\right)-\integral_{}^{}{}{\sinh\left(t\right)*\sinh\left(t\right) \ dt}[/mm]
>  
> >  

> > Ersetze den Integranden im rechtsstehenden Integral
> > gemäß
>  >  
> > [mm]\cosh^{2}\left(t\right)-\sinh^{2}\left(t\right)=1[/mm]
>  
>
> DAs verstehe ich jetzt nicht was ich machen soll?
>  


Ersetze

[mm]\sinh^{2}\left(t\right)=\cosh^{2}\left(t\right)-1[/mm]  


Gruss
MathePower

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Wurzelintegration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:52 Sa 14.01.2012
Autor: Phnix

[mm] \bruch{1}{2}[/mm] [mm]\integral_{}^{}{cosh(t)*cosh(t) \ dt}=\sinh\left(t\right)*\cosh\left(t\right)-\integral_{}^{}{}{\sinh\left(t\right)*\sinh\left(t\right) \ dt}[/mm]

und das darf ich dann auch auf die andere Seite packen trotz der 1?
und zusammen fassen? Wieso?

Könntest du mir mal bitte eine komplexere Antwort geben?
  


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Wurzelintegration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:07 Sa 14.01.2012
Autor: TheBozz-mismo

Hallo
>  [mm]\bruch{1}{2}[/mm] [mm]\integral_{}^{}{cosh(t)*cosh(t) \ dt}=\sinh\left(t\right)*\cosh\left(t\right)-\integral_{}^{}{}{\sinh\left(t\right)*\sinh\left(t\right) \ dt}[/mm]
>  

Wo kommt denn der Bruch [mm] \bruch{1}{2} [/mm] her?

Also es gilt ja
[mm]\integral_{}^{}{cosh(t)*cosh(t) \ dt}=\sinh\left(t\right)*\cosh\left(t\right)-\integral_{}^{}{}{\sinh\left(t\right)*\sinh\left(t\right) \ dt}[/mm]
Jetzt ersetzt man [mm] sinh^2(t)=cosh^2(t)-1 [/mm]
=>$ [mm] \integral_{}^{}{cosh(t)\cdot{}cosh(t) \ dt}=\sinh\left(t\right)\cdot{}\cosh\left(t\right)-\integral_{}^{}{}{cosh^2(t)-1 \ dt} [/mm] $
Jetzt das Integral trennen und dann plus das Integral rechnen.
Versuchs mal.

> und das darf ich dann auch auf die andere Seite packen
> trotz der 1?
>  und zusammen fassen? Wieso?
>  
> Könntest du mir mal bitte eine komplexere Antwort geben?
>    
>  

Gruß
TheBozz-mismo

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Wurzelintegration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:23 Sa 14.01.2012
Autor: Phnix

jo darf nicht drüben stehen



[mm]\integral_{}^{}{cosh(t)*cosh(t) \ dt}=\bruch{1}{2}(\sinh\left(t\right)*\cosh\left(t\right)-\integral_{}^{}{}{\sinh\left(t\right)*\sinh\left(t\right) dt)[/mm]

wenn mich nicht alles täuscht muss es sogar so stehen?
Geht das jetzt immer noch? Der bruch kommt aus der Substitution.



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Wurzelintegration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:51 Sa 14.01.2012
Autor: MathePower

Hallo Phnix,

> jo darf nicht drüben stehen
>  
>
>
> [mm]\integral_{}^{}{cosh(t)*cosh(t) \ dt}=\bruch{1}{2}(\sinh\left(t\right)*\cosh\left(t\right)-\integral_{}^{}{}{\sinh\left(t\right)*\sinh\left(t\right) dt)[/mm]
>  


Dann muss hier aber stehen:

[mm]\blue{\bruch{1}{2}}\integral_{}^{}{cosh(t)*cosh(t) \ dt}=\bruch{1}{2}(\sinh\left(t\right)*\cosh\left(t\right)-\integral_{}^{}{}{\sinh\left(t\right)*\sinh\left(t\right) dt)[/mm]


> wenn mich nicht alles täuscht muss es sogar so stehen?
>  Geht das jetzt immer noch? Der bruch kommt aus der
> Substitution.
>  


Sicher geht das.  


Gruss
MathePower

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Wurzelintegration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:59 Sa 14.01.2012
Autor: Phnix

irgendwie komm ich komplett nicht weiter. mag sich jemand die Mühe machen und die Aufgabe einmal mit kompletten Lösungsweg aufschreiben, bitte?

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Wurzelintegration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:07 Sa 14.01.2012
Autor: leduart

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

hallo
$ \integral_{}^{}{cosh(t)\cdot{}cosh(t) \ dt}=(\sinh\left(t\right)\cdot{}\cosh\left(t\right)-\integral_{}^{}{}{\sinh\left(t\right)\cdot{}\sinh\left(t\right) dt) $
ist richtig
jetzt hinten ersetzen:$ \integral_{}^{}{cosh(t)\cdot{}cosh(t) \ dt}=(\sinh\left(t\right)\cdot{}\cosh\left(t\right)-\integral_{}^{}{}{\cosh\left(t\right)\cdot{}\cosh\left(t\right) dt)+\integral{1dt}
jetzt auf beiden _seiten der Gl. \integral_{}^{}{cosh(t)\cdot{}cosh(t) \ dt} addieren.
dann steht  links 2*\integral_{}^{}{cosh(t)\cdot{}cosh(t) \ dt} rechts kannst du selbst
Gruss leduart

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Wurzelintegration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:14 Sa 14.01.2012
Autor: Phnix

Wo verarbeitest du den von der Substituion das [mm] \bruch{dt}{2}=\bruch{1}{2}*dt [/mm]


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Wurzelintegration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:30 So 15.01.2012
Autor: leduart

hallo
ich hab dir nur die Lösung von
[mm] \integral{cosh^2(t)dt} [/mm] hingeschrieben, denn mir 0.5 das Endergebnis zu mult. ist ja nicht sooo schwiereig.
Gruss leduart

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Wurzelintegration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:33 So 15.01.2012
Autor: Phnix

[mm] 2*\integral_{}^{}cosh(t)\cdot{}cosh(t) =sinh(t)*cosh(t)+\integral [/mm] 1


[mm] 2*\integral_{}^{}cosh(t)\cdot{}cosh(t) [/mm] =sinh(t)*cosh(t)-t

so und wie mach ich nun die resubtitution? ich hatte ja sinh(t) = 2x

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Wurzelintegration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:06 So 15.01.2012
Autor: leduart

hallo
> [mm]2*\integral_{}^{}cosh(t)\cdot{}cosh(t) =sinh(t)*cosh(t)+\integral[/mm]
> 1
>  
>
> [mm]2*\integral_{}^{}cosh(t)\cdot{}cosh(t)[/mm] =sinh(t)*cosh(t)-t
>  
> so und wie mach ich nun die resubtitution? ich hatte ja
> sinh(t) = 2x

daraus t=Arsinh(2x) und [mm] cosht=1+(2x)^2 [/mm]
Grusss leduart


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Wurzelintegration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:38 Mo 16.01.2012
Autor: Phnix

[mm] cosht=1+(2x)^2 [/mm]

Wie kommst du darauf?  


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Wurzelintegration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:42 Mo 16.01.2012
Autor: fred97


> [mm]cosht=1+(2x)^2[/mm]
>  
> Wie kommst du darauf?  

Zunächst ist sinh(t)=2x, also, wegen [mm] cosh^2(t)-sinh^2(t)=1, [/mm]

            [mm] (2x)^2= sinh^2(t)= cosh^2(t)-1 [/mm]

FRED

>  


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Wurzelintegration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:36 So 15.01.2012
Autor: Leopold_Gast

Ich will zum vorgeschlagenen Lösungsweg eine Alternative anbieten. Wenn du über den andern Weg zum Ziel gekommen bist, kannst du es dir ja einmal anschauen. Es ist nämlich gar nicht nötig, die Substitution bis auf die hyperbolischen Funktionen herunterzubrechen, man kommt mit weniger aus. In

[mm]\sqrt{1 + 4x^2} ~ \mathrm{d}x[/mm]

substituiert man

(1)  [mm]x = \frac{1}{4} \left( t - \frac{1}{t} \right) \, , \ \ t \in (0,\infty)[/mm]

Die Ableitung

(2)  [mm]\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{4} \left( 1 + \frac{1}{t^2} \right)[/mm]

zeigt, daß die Funktion [mm]t \mapsto x[/mm] streng monoton wächst, und war von [mm]- \infty[/mm] bis [mm]\infty[/mm], wie die Grenzübergänge [mm]t \to 0[/mm]  bzw. [mm]t \to \infty[/mm] zeigen. Damit erreicht man mit [mm]t \mapsto x[/mm] jeden möglichen [mm]x[/mm]-Wert, und die Beziehung ist umkehrbar.

Und jetzt geht es los:

[mm]1 + 4x^2 = 1 + \frac{1}{4} \left( t^2 + \frac{1}{t^2} - 2 \right) = \frac{1}{4} \left( t^2 + \frac{1}{t^2} + 2 \right) = \left( \frac{1}{2} \left( t + \frac{1}{t} \right) \right)^2[/mm]

Und nach Wurzelziehen:

(3)  [mm]\sqrt{1 + 4x^2} = \frac{1}{2} \left( t + \frac{1}{t} \right)[/mm]

Jetzt alles nach (2),(3) zusammensetzen:

[mm]\sqrt{1 + 4x^2} ~ \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \left( t + \frac{1}{t} \right) \cdot \frac{1}{4} \left( 1 + \frac{1}{t^2} \right) ~ \mathrm{d}t[/mm]

Das ist aber ein simpler rationaler Ausdruck, der sich nach Ausmultiplizieren leicht integrieren läßt. Später bei der Resubstitution hilft zum Teil die dritte binomische Formel. Mit (1) und (3) folgt:

[mm]t^2 - \frac{1}{t^2} = \left( t - \frac{1}{t} \right) \left( t + \frac{1}{t} \right) = 4x \cdot 2 \sqrt{1 + 4x^2}[/mm]

Ganz kommt man aber um das Umkehren von [mm]t \mapsto x[/mm] zu [mm]x \mapsto t[/mm] nicht herum.

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