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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 So 12.09.2010 | | Autor: | Schiman |
| Aufgabe | Löse nach x auf:
[mm]\wurzel{x-3}-\wurzel{x+6} = 9[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe die Gleichung von einem Freund erhalten, der Mathenachhilfe gibt, mit der Frage, ob ich diese Gleichung lösen kann.
Ich bin auf Anhieb folgendermaßen vorgegangen:
[mm]\wurzel{x-3}-\wurzel{x+6} = 9
\wurzel{x-3} = 9 + \wurzel{x+6}
x - 3 = 81 + 18\wurzel{x+6} + x + 6
18\wurzel{x+6} = -90
\wurzel{x+6} = -5
x+6 = 25
x = 19[/mm]
Wenn ich nun x = 19 in die Ausgangsgleichung einsetze kommt -1 = 9 raus, was natürlich Quatsch ist. Mein Freund hat das gleiche raus und ist genauso wie ich verwirrt.
Ich habe die Funktion
[mm]f(x) = \wurzel{x-3}-\wurzel{x+6} - 9[/mm]
mal geplottet und selbstverständlich hat diese Funktion keine Nullstelle, mit anderen Worten hat die Ausgangsgleichung keine Lösung.
Meiner Erfahrung nach, ist es dann aber so, dass man eigentlich auch keine Lösung ausrechnen können sollte. In der Herleitung für x = 19 sollte irgendwo ein Widerspruch drin sein, aber ich kann keinen sehen.
Hat da jemand vielleicht eine plausible Erklärung für die berechenbare und doch nicht existente Lösung?
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> Löse nach x auf:
> [mm]\wurzel{x-3}-\wurzel{x+6} = 9[/mm]
> Ich habe diese Frage in
> keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ich habe die Gleichung von einem Freund erhalten, der
> Mathenachhilfe gibt, mit der Frage, ob ich diese Gleichung
> lösen kann.
> Ich bin auf Anhieb folgendermaßen vorgegangen:
> [mm]\wurzel{x-3}-\wurzel{x+6} = 9
\wurzel{x-3} = 9 + \wurzel{x+6}
x - 3 = 81 + 18\wurzel{x+6} + x + 6
18\wurzel{x+6} = -90
\wurzel{x+6} = -5
x+6 = 25
x = 19[/mm]
>
du hast ja mehrfach quadriert, was ja nur folgerungen sind; und keine äquivalenz. am deutlichsten wird das im vorletzten schritt:
[mm] \wurzel{x+6} [/mm] = -5
die linke seite ist wegen des wertebereichs der wurzel IMMER [mm] \ge [/mm] 0 und die rechte seite ist augenscheinlich negativ.. hier kann man schon sagen:
leere lösungsmenge..
und durch dein quadrieren ist dann eine scheinlösung dazugekommen, eine probe ist also erforderlich
> Wenn ich nun x = 19 in die Ausgangsgleichung einsetze kommt
> -1 = 9 raus, was natürlich Quatsch ist. Mein Freund hat
> das gleiche raus und ist genauso wie ich verwirrt.
> Ich habe die Funktion
> [mm]f(x) = \wurzel{x-3}-\wurzel{x+6} - 9[/mm]
> mal geplottet und
> selbstverständlich hat diese Funktion keine Nullstelle,
> mit anderen Worten hat die Ausgangsgleichung keine
> Lösung.
> Meiner Erfahrung nach, ist es dann aber so, dass man
> eigentlich auch keine Lösung ausrechnen können sollte. In
> der Herleitung für x = 19 sollte irgendwo ein Widerspruch
> drin sein, aber ich kann keinen sehen.
>
> Hat da jemand vielleicht eine plausible Erklärung für die
> berechenbare und doch nicht existente Lösung?
>
gruß tee
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 So 12.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
während Fencheltee absolut recht hat, wollte ich sagen, daß man hier schon sieht, daß es keine Lösung gibt:
> [mm][mm] \wurzel{x-3}-\wurzel{x+6} [/mm] = 9
Das ist eine einfache Differenz und x-3 ist immer kleiner als x+6, also ist das Ergebnis kleiner 0.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:13 So 12.09.2010 | | Autor: | Schiman |
Vielen Dank, ihr habt natürlich vollkommen recht!
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