Wurzelfunktion Grenzwerte... < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Sa 16.09.2017 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Gegeben ist f(x) = [mm] \wurzel{3x+5} [/mm] -2
a) Berechnen und vereinfachen Sie den Diffrenzenquotienten.
b) bestimmen Sie den Grenzwert !
Es ist keine bestimmte Stelle vorgegeben!
Zur vereinfachung betrachten wir nur den reellen Zahlenbereich. |
Moin, moin!
zu a)
Wie kann man den Diffrenzenquotienten weiter umformen; komme da nicht auf den "Trick" !???
[mm] m_s [/mm] = [mm] \bruch{f(x+h) - f(x)}{x+h - x}
[/mm]
[mm] m_s [/mm] = [mm] \bruch{ \wurzel{3(x+h)+5} -2 - ( \wurzel{3x+5} -2)}{h}
[/mm]
[mm] m_s [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{3(x+h)+5} - \wurzel{3x+5}}{h}
[/mm]
Wie kann man da weiter vereinfachen?
Erweitern mithilfe binomischer Formel führt zu nichts.
Kann man eventuell etwas substituieren??
Oder gibt es andere Umformungskniffe??
b)
[mm] \limes_{n\rightarrow 0} m_s [/mm]
Dies scheitert an der fehlenden Umformung!
Danke & Gruß
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Hallo,
Leider scheint die LaTeX-Darstellung im Moment nicht korrekt zu funktionieren.
$ [mm] \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} [/mm] = [mm] \frac{\left(\sqrt{3x_1-5}-2\right) - \left(\sqrt{3x_0-5}-2\right)}{x_1-x_0} [/mm] = [mm] \frac{\sqrt{3x_1-5}- \sqrt{3x_0-5}}{x_1-x_0} [/mm] = [mm] \frac{(3x_1-5)- (3x_0-5)}{(x_1-x_0)\left(\sqrt{3x_1-5}+ \sqrt{3x_0-5}\right)} [/mm] = [mm] \frac{3(x_1-x_0)}{(x_1-x_0)\left(\sqrt{3x_1-5}+ \sqrt{3x_0-5}\right)} [/mm] = [mm] \frac{3}{\left(\sqrt{3x_1-5}+ \sqrt{3x_0-5}\right)} $\\ \\
[/mm]
Grenzübergang $ [mm] x_1 \to x_0$ [/mm] liefert [mm] \\ \\
[/mm]
$ [mm] \lim_{x_1 \to x_0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} [/mm] = [mm] \frac{d f(x_0)}{d x} [/mm] = [mm] \frac{3}{\left(\sqrt{3x_0-5}+ \sqrt{3x_0-5}\right)} [/mm] = [mm] \frac{3}{2\sqrt{3x_0-5}} $\\ \\
[/mm]
LG,
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:52 Sa 16.09.2017 | | Autor: | ChopSuey |
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Dateianhang Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:01 Sa 16.09.2017 | | Autor: | ChopSuey |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Sa 16.09.2017 | | Autor: | hase-hh |
Moin Moin,
also bis auf, dass die Funktion f(x) = [mm] \wurzel{3x + 5} [/mm] -2, lautet... kann ich deine Lösung nachvollziehen.
Also führt die Erweiterung zur dritten binomischen Formel doch zu einer Vereinfachung / Lösung !!
Danke und Gruß!
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> Moin Moin,
>
> also bis auf, dass die Funktion f(x) = [mm]\wurzel{3x + 5}[/mm] -2,
> lautet... kann ich deine Lösung nachvollziehen.
Du wunderst dich offenbar, wo die -2 im Zähler geblieben ist. Die taucht dort ja zwei mal auf und hebt sich durch die Subtraktion weg.
Das Minuszeichen unter der Wurzel ist allerdings ein Schreibfehler. Du musst es durch + ersetzen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:02 Sa 16.09.2017 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo nochmal,
> Du wunderst dich offenbar, wo die -2 im Nenner geblieben
> ist. Die taucht dort ja zwei mal auf und hebt sich durch
> die Subtraktion weg.
Ich habe versehentlich die Funktion $ f(x) = [mm] \sqrt{3x-5}-2$ [/mm] untersucht, und nicht wie vorgesehen $ f(x) = [mm] \sqrt{3x+5}-2$
[/mm]
Das war mein Fehler. Ich hab' sie bloß falsch abgeschrieben. Die Lösung funktioniert natürlich analog.
LG,
ChopSuey
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Hallo,
hier die Antwort als Bildausschnitt extern:
https://imgur.com/5z7JEBW
LG,
ChopSuey
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