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| Aufgabe | Skizzieren Sie mithilfe einer Wertetabelle die Funktion [mm] \wurzel[3]{x}.
[/mm]
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Weil dies eine Wurzelfunktion ist habe ich nun den Graphen nur im 1. Quadranten gezeichnet (Punkt 0/0) als Anfang.
Wenn man die Funktion jedoch folgendermassen schreibt, dann gibt es ja auch negative Ergebnisse:
[mm] x^{1/3}
[/mm]
Kann mir jemand erklären welche Lösung stimmt??
Ich dachte immer die Umwandlung von Wurzeln zu Potenzen sei äquivalent... stimmt dies nicht??
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Sa 13.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Skizzieren Sie mithilfe einer Wertetabelle die Funktion
> [mm]\wurzel[3]{x}.[/mm]
>
> Weil dies eine Wurzelfunktion ist habe ich nun den Graphen
> nur im 1. Quadranten gezeichnet (Punkt 0/0) als Anfang.
Schonmal gut.
>
> Wenn man die Funktion jedoch folgendermassen schreibt, dann
> gibt es ja auch negative Ergebnisse:
> [mm]x^{1/3}[/mm]
Das Problem ist, dass Wurzeln tatsächlich nur für [mm] x\ge0 [/mm] definiert sind, es aber durchaus möglich ist, aus negativen Zahlen eine ungerade wurzel zu ziehen. Bsp: [mm] \wurzel[3]{-8}=-2, [/mm] denn (-2)*(-2)*(-2)=-8
>
> Kann mir jemand erklären welche Lösung stimmt??
> Ich dachte immer die Umwandlung von Wurzeln zu Potenzen
> sei äquivalent... stimmt dies nicht??
>
Man nutzt das leider oft, auch wenn mal dabei unter Umständen noch Lösungen verliert oder hinzugewinnt.
>
> Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe
Damit du evtl noch andere Antworten bekommst, lasse ich die Frage mal als Umfrage.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 Sa 13.09.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> [mm]\wurzel[3]{-8}=-2,[/mm] denn (-2)*(-2)*(-2)=-8
Das Komische an der Sache ist:
Wenn man an Stelle von [mm] (-2)^{\bruch{1}{3}}=\wurzel[3]{-8}=-2
[/mm]
schreiben würde [mm] (-2)^{\bruch{2}{6}}, [/mm] dann kommt da +2 raus
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> > [mm]\wurzel[3]{-8}=-2,[/mm] denn (-2)*(-2)*(-2)=-8
>
> Das Komische an der Sache ist:
> Wenn man an Stelle von
> [mm](\red{-2})^{\bruch{1}{3}}=\wurzel[3]{-8}=-2[/mm]
> schreiben würde [mm](\red{-2})^{\bruch{2}{6}},[/mm] dann kommt da +2 raus
hallo rabilein,
an den rot markierten Stellen hast du sicher -8
gemeint anstatt -2.
Zur Problematik, die entsteht, wenn man Wurzeln
aus negativen Zahlen zulässt, siehe meine anderen
Beiträge in diesem thread.
Schönen Sonntag !
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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Vorbemerkung: Dieser Artikel befasst sich nur mit
Wurzeln innerhalb der reellen Zahlen !
Das Rechnen mit komplexen Zahlen steht auf einem
anderen Blatt !
hallo Stefanie,
die (so weit ich sehe) "offizielle" Betrachtungsweise ist,
dass grundsätzlich alle Wurzeln (auch solche mit unge-
raden Wurzelexponenten) und Potenzen mit gebrochenen
Exponenten nur für nichtnegative Zahlen, also für [mm] x\in \IR_0^+ [/mm]
definiert sind und stets einen eindeutigen Wert in [mm] \IR_0^+
[/mm]
haben. Danach ist etwa [mm] \wurzel[3]{-8} [/mm] oder eine Potenz wie
[mm] (-8)^{2/3} [/mm] einfach gar nicht definiert.
Betrachtet man dann zum Beispiel die Gleichung [mm] x^3=-8,
[/mm]
so hat diese natürlich sehr wohl die Lösung x=-2, aber man
darf diese nicht schreiben als
x = [mm] \wurzel[3]{-8}
[/mm]
und auch nicht als
x = [mm] (-8)^{1/3}
[/mm]
sondern als
x = - [mm] \wurzel[3]{|-8|} [/mm] = - [mm] |-8|^{1/3}
[/mm]
Man mag das als komplizierter als nötig betrachten, aber
mit dieser konsequenten und einheitlichen Behandlung aller
Wurzelausdrücke erspart man sich viele andere Kompli-
kationen.
Ich finde es schade, dass z.B. in heutigen Taschenrechnern
keine einheitliche Definition befolgt wird. Bei gewissen
Rechnern werden Kubikwurzeln aus negativen Zahlen
akzeptiert und bei anderen gibt es (wie es sein sollte)
eine Fehlermeldung.
Siehe zu dem Thema auch:
![[]](/images/popup.gif) Wurzeln aus negativen Zahlen
LG
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> Betrachtet man zum Beispiel die Gleichung [mm]x^3=-8,[/mm]
> so hat diese natürlich sehr wohl die Lösung x=-2, aber
> man darf diese nicht schreiben als
>
> x = [mm]\wurzel[3]{-8}[/mm]
>
> und auch nicht als
>
> x = [mm](-8)^{1/3}[/mm]
>
> sondern als
>
> x = - [mm]\wurzel[3]{|-8|}[/mm] = - [mm]|-8|^{1/3}[/mm]
>
> Man mag das als komplizierter als nötig betrachten, aber
> mit dieser konsequenten und einheitlichen Behandlung
> aller Wurzelausdrücke erspart man sich viele andere Kompli-
> kationen.
>
> Ich finde es schade, dass z.B. in heutigen Taschenrechnern
> keine einheitliche Definition befolgt wird. Bei gewissen
> Rechnern werden Kubikwurzeln aus negativen Zahlen
> akzeptiert und bei anderen gibt es (wie es sein sollte)
> eine Fehlermeldung.
Auf meinem Voyage 200 (den ich sonst schätze),
der Kubikwurzeln aus negativen Zahlen akzeptiert,
habe ich gerade ein besonders schlimmes Beispiel
produziert:
Ich definiere zuerst: -8 [mm] \to [/mm] a , 10 [mm] \to [/mm] b , 1/6 [mm] \to [/mm] c
Dann gebe ich die Gleichung [mm] (a^b)^c [/mm] = [mm] a^{b*c} [/mm] ein.
Ergebnis: false (!!!!!)
Es kommt aber noch schlimmer:
Wenn ich den Rechenmodus "Complex Format REAL"
einstelle, so ist
[mm] a^{b*c} [/mm] = -32 ,
aber mit "Complex Format RECTANGULAR" erhält der
gleiche Term einen anderen Wert, nämlich
[mm] a^{b*c} [/mm] = -16 - 16 [mm] \wurzel{3} [/mm] i
Mit welcher Einstellung auch immer, die Gleichung
[mm] (a^b)^c [/mm] = [mm] (a^c)^b
[/mm]
wird (mit den angegebenen Werten für a, b und c) als
false eingestuft, allerdings aus verschiedenen
Gründen !
Wenn man auf solche "Selbstverständlichkeiten"
(wenn denn Potenzen mit negativer Basis und
gebrochenen Exponenten Sinn machen sollten)
wie etwa
[mm] (-8)^{10/6}=(-8)^{5/3}
[/mm]
nicht mehr bauen kann, dann ist etwas faul !
Derartige Unsinnigkeiten sind es, die ich meinte, als ich
von den Komplikationen schrieb, die man sich einhandelt,
wenn man Wurzeln aus negativen Zahlen zulässt.
LG al-Chwarizmi
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