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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:44 Mo 02.09.2013 | | Autor: | Hazelnut |
Hallo,
habe eine Frage zum Wurzelberechnung mittels Startpunkt.
[mm] \wurzel{a} [/mm] = [mm] b+((a^{2}-b^{2})/2*b)
[/mm]
Bsp. [mm] \wurzel{355} [/mm] oder [mm] 355^{1/2}
[/mm]
[mm] (a+b)^{2} [/mm] = [mm] a^{2}+2*a*b+b^{2}
[/mm]
[mm] a^{2}=355
[/mm]
Wähle b als Startpunkt 18,8
[mm] b^{2}=353,44
[/mm]
[mm] b+((a^{2}-b^{2})/2*b)
[/mm]
18,8+((355-353,44)/2*18,8)
18,8+((1,56)/37,6)
18,8+0,04148
18,84148
Probe [mm] 18,84148^{2}=355
[/mm]
Nun möchte ich die 3.Wurzel aus 355 mit der obigen Methode rechnen.
Wie muss ich die Obige Formel ändern.
Viele Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Hazelnut,
es gibt ja einige "klassische" Verfahren zum Ziehen der Quadratwurzel. Das von Dir angeführte konvergiert sehr schnell. Aber warum?
> habe eine Frage zum Wurzelberechnung mittels Startpunkt.
>
> [mm]\wurzel{a}[/mm] = [mm]b+((a^{2}-b^{2})/2*b)[/mm]
>
> Bsp. [mm]\wurzel{355}[/mm] oder [mm]355^{1/2}[/mm]
> [mm](a+b)^{2}[/mm] = [mm]a^{2}+2*a*b+b^{2}[/mm]
> [mm]a^{2}=355[/mm]
>
> Wähle b als Startpunkt 18,8
> [mm]b^{2}=353,44[/mm]
>
> [mm]b+((a^{2}-b^{2})/2*b)[/mm]
> 18,8+((355-353,44)/2*18,8)
> 18,8+((1,56)/37,6)
> 18,8+0,04148
> 18,84148
>
> Probe [mm]18,84148^{2}=355[/mm]
>
> Nun möchte ich die 3.Wurzel aus 355 mit der obigen Methode
> rechnen.
>
>
> Wie muss ich die Obige Formel ändern.
Um das herzuleiten, solltest Du sie erst einmal verstehen.
Als nächstes lies doch mal ![[]](/images/popup.gif) das hier. Und dann versuche, Dir selbst eine solche Folge aufzustellen. Wenn Du eine funktionierende hast, frag Dich, wie man die Konvergenzgeschwindigkeit erhöhen könnte.
Und mit diesen Versuchen kommst Du dann wieder her. 
Viel Erfolg!
Grüße
reverend
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Hallo Hazelnut und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]\wurzel{a}[/mm] = [mm]b+((a^{2}-b^{2})/2*b)[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
>
> Bsp. [mm]\wurzel{355}[/mm] oder [mm]355^{1/2}[/mm]
> [mm](a+b)^{2}[/mm] = [mm]a^{2}+2*a*b+b^{2}[/mm]
> [mm]a^{2}=355[/mm]
Da stimmt etwas nicht !
Es sollte möglicherweise so lauten:
[mm]\wurzel{a^2}\ \approx\ b+((a^{2}-b^{2})/(2*b))[/mm]
oder aber so:
[mm]\wurzel{a}\ \approx\ b+((a-b^{2})/(2*b))[/mm]
Dabei ist unter b jeweils ein vorläufiger Näherungswert
für den gesuchten Wurzelwert zu verstehen, und die
Rechnung liefert einen neuen Näherungswert, der besser
ist als der alte, falls dieser schon relativ gut war.
Falls du auch die erwähnte binomische Formel ins Spiel
bringen willst, würde ich dir empfehlen, andere Bezeichnungen
zu verwenden, um kein Durcheinander zu produzieren.
Beachte: anstatt [mm]b+((a^{2}-b^{2})/2*b)[/mm]
hast du bestimmt gemeint: [mm]b+((a^{2}-b^{2})/(2*b))[/mm]
Um Klarheit zu schaffen, wäre es nützlich, wenn du den
Formeleditor verwenden würdest, mit dem du auch
Terme mit Bruchstrichen darstellen kannst.
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Di 03.09.2013 | | Autor: | Hazelnut |
Hallo an alle,
ihr hattet Recht habe beim schreiben beim Klammer und Hochzahl fehler gemacht.
[mm] \wurzel{a^2} \to b+\bruch{a^{2}-b^{2}}{2*b} [/mm] oder [mm] \wurzel{a} \to b+\bruch{a-b^{2}}{2*b} [/mm] Näherungswert
b= Startpunkt
Dabei ist x die Korrektur:
[mm] \wurzel{a^2} [/mm] = b+x, somit ist
[mm] {a^2}={b^2}+2*b*x+{x^2} [/mm] Das [mm] {x^2} [/mm] wird Vernachlässigt weil es sehr klein ist.
[mm] {a^2}={b^2}+2*b*x [/mm] demnach
[mm] x=\bruch{a^{2}-b^{2}}{2*b} [/mm] folglich [mm] \wurzel{a^2} [/mm] = b+x
b= 18,8 Startwert
[mm] \wurzel{355} [/mm] = b+x
[mm] x=\bruch{355-353,44}{2*18,8} [/mm]
[mm] x=\bruch{1,56}{37,6} [/mm]
x= 0,0414
[mm] \wurzel{355} [/mm] = b+x = 18,8 + 0,0414 =18,8414
Nun meine Lösung für 3. Wurzel von 355 [mm] \wurzel[3]{355}
[/mm]
[mm] \wurzel[3]{a^3} \to b+\bruch{a^{3}-b^{3}}{3*b+3*b^{2}} [/mm] oder [mm] \wurzel[3]{a} \to b+\bruch{a-b^{3}}{3*b+3*b^{2}} [/mm] Näherungswert
b= Startpunkt
Dabei ist x die Korrektur:
[mm] \wurzel[3]{a^3} [/mm] = b+x, somit ist ab hier habe ich probleme ????
[mm] {a^3}={b^3}+3*b+3*b^{2}+{x^3} [/mm] Das [mm] {x^3} [/mm] wird Vernachlässigt weil es sehr klein ist.
[mm] {a^3}={b^3}+3*b+3*b^{2} [/mm] demnach
[mm] x=\bruch{a^{3}-b^{3}}{3*b+3*b^{2}} [/mm] folglich [mm] \wurzel{a^3} [/mm] = b+x
b= 7,08 Startwert
[mm] \wurzel[3]{355} [/mm] = b+x
[mm] x=\bruch{355-354,89}{3*7,08+3*7,08^{2}} [/mm]
[mm] x=\bruch{-0,1051}{171,62} [/mm]
x= -0,0006124
[mm] \wurzel[3]{355} [/mm] = 7,08+(-0,0006124)=7,079
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Hi Hazelnut,
bei deinem neuen Beitrag handelt es sich im Grunde nicht
um eine "Mitteilung", sondern um eine weitere Frage, auf
die ich aber gerne eingehe.
Es wäre aber zu wünschen, dass du bei folgenden Beiträgen
jeweils im Voraus entscheidest, ob du etwas als "Mitteilung"
oder als "Frage" deklarierst.
> Hallo an alle,
>
> ihr hattet Recht habe beim schreiben beim Klammer und
> Hochzahl fehler gemacht.
>
> [mm]\wurzel{a^2} \to b+\bruch{a^{2}-b^{2}}{2*b}[/mm] oder
> [mm]\wurzel{a} \to b+\bruch{a-b^{2}}{2*b}[/mm] Näherungswert
>
> b= Startpunkt
>
> Dabei ist x die Korrektur:
>
> [mm]\wurzel{a^2}[/mm] = b+x, somit ist
>
> [mm]{a^2}={b^2}+2*b*x+{x^2}[/mm] Das [mm]{x^2}[/mm] wird Vernachlässigt
> weil es sehr klein ist.
(Achtung: das ist es natürlich nur unter der Voraussetzung,
dass auch |x| selber schon klein ist (und insbesondere |x|<1) !
> [mm]{a^2}={b^2}+2*b*x[/mm] demnach
>
> [mm]x=\bruch{a^{2}-b^{2}}{2*b}[/mm] folglich [mm]\wurzel{a^2}[/mm] = b+x
> Nun meine Lösung für 3. Wurzel von 355
>
> [mm]\wurzel{a^3} \to b+\bruch{a^{3}-b^{3}}{3*b+3*b^{2}}[/mm] oder
> [mm]\wurzel{a} \to b+\bruch{a-b^{3}}{3*b+3*b^{2}}[/mm]
Wir brauchen von den beiden Varianten natürlich nur eine,
nicht beide !
> b= Startpunkt
>
> Dabei ist x die Korrektur:
>
> [mm]\wurzel{a^3}[/mm] = b+x, somit ist ab hier habe ich probleme
> ????
>
> [mm]{a^3}={b^3}+3*b+3*b^{2}+{x^3}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das ist falsch. Richtig wäre:
[mm]{a^3}={b^3}+3*b^2*x+3*b*x^2+x^3[/mm]
> Das [mm]{x^3}[/mm] wird
> Vernachlässigt weil es sehr klein ist.
Natürlich darf man dies auch wieder nur dann, wenn schon |x|
genügend klein, also der vorläufige Näherungswert b genügend
nahe beim gesuchten Kubikwurzelwert liegt.
Wenn man die letzte der obigen Gleichungen "linearisiert",
indem man das Glied mit [mm] x^3 [/mm] und auch das mit [mm] x^2 [/mm] weglässt
(in der Annahme, dass diese gegenüber dem konstanten
und dem linearen Glied vernachläßigt werden sollen), kommt
man zu:
[mm]{a^3}\ \approx\ {b^3}+3*b^2*x[/mm]
Hier schreibe ich absichtlich kein Gleichheitszeichen, sondern
stattdessen ein Ungefähr-Zeichen " [mm] \approx [/mm] ".
Wir könnten daraus auch eine Gleichung machen, indem
wir aber jetzt anstelle von x eine Variable [mm] x^{\ast} [/mm] setzen,
welche einen Näherungswert für x darstellen soll:
[mm]{a^3}\ =\ {b^3}+3*b^2*x^{\ast}[/mm]
Nun kann man nach $\ [mm] x^{\ast}$ [/mm] auflösen und erhält das Rezept:
$\ [mm] x^{\ast}\ [/mm] = [mm] \frac{a^3-b^3}{3*b^2}$
[/mm]
Für den neuen Näherungswert für die gesuchte Kubik-
wurzel haben wir dann:
$\ [mm] b_{neu}\ [/mm] =\ [mm] b\,+\,x^{\ast}\ [/mm] =\ [mm] b\,+\,\frac{a^3-b^3}{3*b^2}$
[/mm]
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 Di 03.09.2013 | | Autor: | Hazelnut |
Hallo,
vielen Vielen Dank.
Habe es verstanden.
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:26 Mo 02.09.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
als Student kennst du sicher das Newtonverfahren um Nullstellen einer fkt zu finden
hier ist die fkt [mm] f(x)=x^2-a, [/mm] a=355
wenn du statt b nun lieber [mm] x_0= [/mm] schreibst hast du [mm] x_1 [/mm] ausgerechnet
also kannst du auch für [mm] f(x)=x^3-a [/mm] das newtonverfahren wähle.
Gruss leduart
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> Hallo
> als Student kennst du sicher das Newtonverfahren um
> Nullstellen einer fkt zu finden
> hier ist die fkt [mm]f(x)=x^2-a,[/mm] a=355
> wenn du statt b nun lieber [mm]x_0=[/mm] schreibst hast du [mm]x_1[/mm]
> ausgerechnet
> also kannst du auch für [mm]f(x)=x^3-a[/mm] das newtonverfahren
> wähle.
> Gruss leduart
Guten Abend leduart !
Effektiv führt das Newtonverfahren bei dieser Aufgabe
zu einer Rekursionsformel, die äquivalent zu der ist,
die man hier durch rein algebraische Überlegungen
und einen Approximationsansatz erhält.
Für die Herleitung des Newtonverfahrens benützt
man aber Ideen aus der Differentialrechnung (Ableitung,
Tangente), welche hier gar nicht erforderlich sind.
LG , Al
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