Wurzelausdruck < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
> Bestimmen Sie die Menge aller [mm]x \in \IR [/mm], für die der
> Wurzelausdruck
> [mm]\wurzel{\bruch{x^2-5x+6}{x^2+5x+6}}[/mm]
> reelle Lösungen besitzt.
>
Das heißt aber nicht so am Ende. Eher vielleicht '... definiert ist' oder etwas in der Art. Denn wie soll ein Term Lösungen besitzen???
> Hallo mal wieder 
> Ich weiß leider nicht genau, ob ich richtig an die
> Aufgabe heran gehe. Ich bin erstmal davon ausgegangen, dass
> der Radikand positiv sein muss, also quasi einer
> Ungleichung [mm]\bruch{(x^2-5x+6)}{(x^2+5x+6)}\ge 0[/mm] entspricht.
Ja, so ist das gemeint.
> Kann ich nun den Wurzelausdruck mit 0 gleichsetzen und dann
> den Zähler faktorisieren (x-2)(x-3), so dass ich als
> Nullstellen 2 und 3 habe. Das bedeutet [mm]\IL_1[/mm] =
> [mm](-\infty,2] \wedge [3,\infty)[/mm] !?
>
Nein, hier machst du es dir zu einfach. Du musst alle die Bereiche herausfinden, in denen der Term entweder positiv ist (bedeutet: Zähler und Nenner haben gleiches Vorzeichen) oder gleich Null (bedeutet: Zähler gleich Null) ist.
> Für den Nenner würde sich ja genau das Gegenteil (-2, -3)
> ergeben, aber der fällt ja beim gleichsetzen weg...
Es geht ja auch nicht nur um die Gleichheit, sondern es ist eine Ungleichung.
Nutze einmal aus, dass die Schaubilder von Zähler- und Nennerterm nach oben geöffnete Parabeln sind. Diese verlaufen bekanntlich zwischen den Nullstellen unterhalb der x-Achse und außerhalb dann logischwerweise oberhalb. Daraus sollte sich doch ein Ansatz zimmern lassen!
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:14 Mi 16.10.2013 | | Autor: | jayw |
> Hallo,
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> > Bestimmen Sie die Menge aller [mm]x \in \IR [/mm], für die der
> > Wurzelausdruck
> > [mm]\wurzel{\bruch{x^2-5x+6}{x^2+5x+6}}[/mm]
> > reelle Lösungen besitzt.
> >
>
> Das heißt aber nicht so am Ende. Eher vielleicht '...
> definiert ist' oder etwas in der Art. Denn wie soll ein
> Term Lösungen besitzen???
Tja, ich weiß nicht, aber die Aufgabe lautet sogar GENAU so :)
> > Hallo mal wieder
> > Ich weiß leider nicht genau, ob ich richtig an die
> > Aufgabe heran gehe. Ich bin erstmal davon ausgegangen,
> dass
> > der Radikand positiv sein muss, also quasi einer
> > Ungleichung [mm]\bruch{(x^2-5x+6)}{(x^2+5x+6)}\ge 0[/mm]
> entspricht.
>
> Ja, so ist das gemeint.
>
> > Kann ich nun den Wurzelausdruck mit 0 gleichsetzen und
> dann
> > den Zähler faktorisieren (x-2)(x-3), so dass ich als
> > Nullstellen 2 und 3 habe. Das bedeutet [mm]\IL_1[/mm] =
> > [mm](-\infty,2] \wedge [3,\infty)[/mm] !?
> >
>
> Nein, hier machst du es dir zu einfach. Du musst alle die
> Bereiche herausfinden, in denen der Term entweder positiv
> ist (bedeutet: Zähler und Nenner haben gleiches
> Vorzeichen) oder gleich Null (bedeutet: Zähler gleich
> Null) ist.
>
> > Für den Nenner würde sich ja genau das Gegenteil (-2,
> -3)
> > ergeben, aber der fällt ja beim gleichsetzen weg...
>
> Es geht ja auch nicht nur um die Gleichheit, sondern es ist
> eine Ungleichung.
>
> Nutze einmal aus, dass die Schaubilder von Zähler- und
> Nennerterm nach oben geöffnete Parabeln sind. Diese
> verlaufen bekanntlich zwischen den Nullstellen unterhalb
> der x-Achse und außerhalb dann logischwerweise oberhalb.
> Daraus sollte sich doch ein Ansatz zimmern lassen!
Ja, das ist schon klar, deshalb habe ich ja aus den Nullstellen auch die [mm]\IL_1 =(-\infty,2] \wedge [3,\infty)[/mm] "hergeholt". Mir ist jetzt nur nicht klar wie ich den anderen Fall/ die anderen Fälle konstruiere.
Auf den ersten Blick ist für mich die einzige andere Möglichkeit noch, das Zähler und Nenner negativ sind, damit die Ungleichung wieder erfüllt ist!?
>
> Gruß, Diophant
Danke schonmal ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:39 Mi 16.10.2013 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] p_1(x):=x^2-5x+6=(x-2)(x-3), p_2(x):=x^2+5x+6=(x+2)(x+3) [/mm] und
[mm] q(x):=\bruch{p_1(x)}{p_2(x)}
[/mm]
q hat den Definitionsbereich $D:= [mm] \IR \setminus \{-2,-3\}$.
[/mm]
Bestimmen sollst Du die folgende Teilmenge [mm] D_1 [/mm] von D :
[mm] D_1=\{x \in D: q(x) \ge 0\}.
[/mm]
Nun machst Du mal das, was Diophant Dir geraten hat: zeichne die Graphen von [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2.
[/mm]
Wenn Du das gemacht hast, so siehst Du, dass es ratsam ist, die Zahlengerade in folgende Intervalle zu zerlegen:
[mm] I_1:=[3, \infty), I_2:=[2,3), I_3:=(-2,2), I_4:=(-3,-2), I_5:=(- \infty,-3)
[/mm]
Dann ist [mm] D=I_1 \cup [/mm] ... [mm] \cup I_5.
[/mm]
Jetzt zeige Du:
[mm] D_1=I_1 \cup I_3 \cup I_5
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 Mi 16.10.2013 | | Autor: | jayw |
> Sei [mm]p_1(x):=x^2-5x+6=(x-2)(x-3), p_2(x):=x^2+5x+6=(x+2)(x+3)[/mm]
> und
>
> [mm]q(x):=\bruch{p_1(x)}{p_2(x)}[/mm]
>
> q hat den Definitionsbereich [mm]D:= \IR \setminus \{-2,-3\}[/mm].
>
> Bestimmen sollst Du die folgende Teilmenge [mm]D_1[/mm] von D :
>
> [mm]D_1=\{x \in D: q(x) \ge 0\}.[/mm]
>
>
> Nun machst Du mal das, was Diophant Dir geraten hat:
> zeichne die Graphen von [mm]p_1[/mm] und [mm]p_2.[/mm]
Hallo!
Ist es so gemeint, dass, wenn Zähler und Nenner negativ sind auch [mm]p_1(x):=-x^2+5x-6 , p_2(x):=-x^2-5x-6[/mm]
zu betrachten sind?
> Wenn Du das gemacht hast, so siehst Du, dass es ratsam ist,
> die Zahlengerade in folgende Intervalle zu zerlegen:
>
> [mm]I_1:=[3, \infty), I_2:=[2,3), I_3:=(-2,2), I_4:=(-3,-2), I_5:=(- \infty,-3)[/mm]
Fallen nicht die Intervalle 2 und 4 eh weg, da ja die Division von -p1 und -p2 wieder positiv wird?
>
> Dann ist [mm]D=I_1 \cup[/mm] ... [mm]\cup I_5.[/mm]
>
> Jetzt zeige Du:
>
> [mm]D_1=I_1 \cup I_3 \cup I_5[/mm]
Ich würde dann als Lösungsmenge schreiben:
$ [mm] \IL [/mm] = [mm] {\{x \in \IR | x<-3 \vee -2
Korrekt?
> FRED
Danke dir!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Mi 16.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo jayw,
> > Sei [mm]p_1(x):=x^2-5x+6=(x-2)(x-3), p_2(x):=x^2+5x+6=(x+2)(x+3)[/mm]
> > und
> >
> > [mm]q(x):=\bruch{p_1(x)}{p_2(x)}[/mm]
> >
> > q hat den Definitionsbereich [mm]D:= \IR \setminus \{-2,-3\}[/mm].
>
> >
> > Bestimmen sollst Du die folgende Teilmenge [mm]D_1[/mm] von D :
> >
> > [mm]D_1=\{x \in D: q(x) \ge 0\}.[/mm]
> >
> >
> > Nun machst Du mal das, was Diophant Dir geraten hat:
> > zeichne die Graphen von [mm]p_1[/mm] und [mm]p_2.[/mm]
>
> Hallo!
> Ist es so gemeint, dass, wenn Zähler und Nenner negativ
> sind auch [mm]p_1(x):=-x^2+5x-6 , p_2(x):=-x^2-5x-6[/mm]
> zu betrachten sind?
Die Symbole [mm] $p_1$ [/mm] und [mm] $p_2$ [/mm] sind von Fred schon vergeben worden, daher solltest du ihnen keine neue Bedeutung geben.
Für [mm] $-x^2+5x-6$ [/mm] kannst du [mm] $-p_1(x)$ [/mm] schreiben und für [mm] $-x^2-5x-6$ [/mm] entsprechend [mm] $-p_2(x)$.
[/mm]
Es gilt [mm] $q(x)=\bruch{p_1(x)}{p_2(x)}=\bruch{-p_1(x)}{-p_2(x)}$.
[/mm]
Daher kannst du in der Tat genauso gut [mm] $-p_1(x)$ [/mm] und [mm] $-p_2(x)$ [/mm] an Stelle von [mm] $p_1(x)$ [/mm] und [mm] $p_2(x)$ [/mm] betrachten.
Aber wozu soll das gut sein?
> > Wenn Du das gemacht hast, so siehst Du, dass es ratsam ist,
> > die Zahlengerade in folgende Intervalle zu zerlegen:
> >
> > [mm]I_1:=[3, \infty), I_2:=[2,3), I_3:=(-2,2), I_4:=(-3,-2), I_5:=(- \infty,-3)[/mm]
Hier ist Fred ein kleiner Fehler unterlaufen:
Das Element $2$ sollte wohl besser dem Intervall [mm] $I_3$ [/mm] statt dem Intervall [mm] $I_2$ [/mm] zugeordnet werden, also [mm] $I_2:=(2,3)$ [/mm] und [mm] $I_3:=(-2,2]$.
[/mm]
(Sonst stimmt die später getätigte Aussage [mm] $D_1=I_1\cup I_3\cup I_5$ [/mm] nämlich nicht.)
> Fallen nicht die Intervalle 2 und 4 eh weg, da ja die
> Division von -p1 und -p2 wieder positiv wird?
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Falls du meinst, dass die Elemente von [mm] $I_2$ [/mm] und [mm] $I_4$ [/mm] nicht zu [mm] $D_1$ [/mm] gehören, hast du Recht.
> > Dann ist [mm]D=I_1 \cup[/mm] ... [mm]\cup I_5.[/mm]
> >
> > Jetzt zeige Du:
> >
> > [mm]D_1=I_1 \cup I_3 \cup I_5[/mm]
>
> Ich würde dann als Lösungsmenge schreiben:
> [mm]\IL = {\{x \in \IR | x<-3 \vee -2
Es gilt in der Tat [mm] $D_1=I_1\cup I_3\cup I_5=\{x \in \IR | x<-3 \vee -2
Begründet hast du das hier zwar noch nicht, aber da du dich nicht von Freds kleinem Versehen hast beeinflussen lassen, gehe ich davon aus, dass dir die Begründung klar ist.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Mi 16.10.2013 | | Autor: | jayw |
[...]
>
> Es gilt
> [mm]q(x)=\bruch{p_1(x)}{p_2(x)}=\bruch{-p_1(x)}{-p_2(x)}[/mm].
> Daher kannst du in der Tat genauso gut [mm]-p_1(x)[/mm] und [mm]-p_2(x)[/mm]
> an Stelle von [mm]p_1(x)[/mm] und [mm]p_2(x)[/mm] betrachten.
> Aber wozu soll das gut sein?
Eben! Daher frage ich mich auch woher die Intervalle [mm] I_2 [/mm] und [mm] I_4 [/mm] kommen? Sie können doch nur bei -p1 und -p2 "auftauchen"!?
> > > Wenn Du das gemacht hast, so siehst Du, dass es ratsam ist,
> > > die Zahlengerade in folgende Intervalle zu zerlegen:
> > >
> > > [mm]I_1:=[3, \infty), I_2:=[2,3), I_3:=(-2,2), I_4:=(-3,-2), I_5:=(- \infty,-3)[/mm]
>
> Hier ist Fred ein kleiner Fehler unterlaufen:
> Das Element [mm]2[/mm] sollte wohl besser dem Intervall [mm]I_3[/mm] statt
> dem Intervall [mm]I_2[/mm] zugeordnet werden, also [mm]I_2:=(2,3)[/mm] und
> [mm]I_3:=(-2,2][/mm].
> (Sonst stimmt die später getätigte Aussage [mm]D_1=I_1\cup I_3\cup I_5[/mm]
> nämlich nicht.)
Warum heißt es (wenn ich denn [mm] I_2 [/mm] überhaupt aufstelle) nicht [mm] $I_2:=[2,3]$ [/mm] ?
> > Fallen nicht die Intervalle 2 und 4 eh weg, da ja die
> > Division von -p1 und -p2 wieder positiv wird?
>
> Falls du meinst, dass die Elemente von [mm]I_2[/mm] und [mm]I_4[/mm] nicht
> zu [mm]D_1[/mm] gehören, hast du Recht.
Naja, das meinte ich ja eigentlich, die Betrachtung erübrigt sich doch von vornherein oder? Somit hätte ich die Intervalle 2 und 4 garnicht erst aufgestellt.
Ich habe damit $I_1n:=[3, [mm] \infty), [/mm] I_2n:=(-2,2], I_3n:=(- [mm] \infty,-3)$ [/mm] und somit [mm]\IL = {\{x \in \IR | x<-3 \vee -2
> > > Dann ist [mm]D=I_1 \cup[/mm] ... [mm]\cup I_5.[/mm]
> > >
> > > Jetzt zeige Du:
> > >
> > > [mm]D_1=I_1 \cup I_3 \cup I_5[/mm]
> >
> > Ich würde dann als Lösungsmenge schreiben:
> > [mm]\IL = {\{x \in \IR | x<-3 \vee -2
>
> Es gilt in der Tat [mm]D_1=I_1\cup I_3\cup I_5=\{x \in \IR | x<-3 \vee -2
>
> Begründet hast du das hier zwar noch nicht, aber da du
> dich nicht von Freds kleinem Versehen hast beeinflussen
> lassen, gehe ich davon aus, dass dir die Begründung klar
> ist.
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Mi 16.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Es gilt
> > [mm]q(x)=\bruch{p_1(x)}{p_2(x)}=\bruch{-p_1(x)}{-p_2(x)}[/mm].
> > Daher kannst du in der Tat genauso gut [mm]-p_1(x)[/mm] und
> [mm]-p_2(x)[/mm]
> > an Stelle von [mm]p_1(x)[/mm] und [mm]p_2(x)[/mm] betrachten.
> > Aber wozu soll das gut sein?
> Eben! Daher frage ich mich auch woher die Intervalle [mm]I_2[/mm]
> und [mm]I_4[/mm] kommen? Sie können doch nur bei -p1 und -p2
> "auftauchen"!?
Was meinst du mit "bei -p1 und -p2 auftauchen"?
> > > > Wenn Du das gemacht hast, so siehst Du, dass es ratsam ist,
> > > > die Zahlengerade in folgende Intervalle zu zerlegen:
> > > >
> > > > [mm]I_1:=[3, \infty), I_2:=[2,3), I_3:=(-2,2), I_4:=(-3,-2), I_5:=(- \infty,-3)[/mm]
>
> >
> > Hier ist Fred ein kleiner Fehler unterlaufen:
> > Das Element [mm]2[/mm] sollte wohl besser dem Intervall [mm]I_3[/mm]
> statt
> > dem Intervall [mm]I_2[/mm] zugeordnet werden, also [mm]I_2:=(2,3)[/mm] und
> > [mm]I_3:=(-2,2][/mm].
> > (Sonst stimmt die später getätigte Aussage
> [mm]D_1=I_1\cup I_3\cup I_5[/mm]
> > nämlich nicht.)
> Warum heißt es (wenn ich denn [mm]I_2[/mm] überhaupt aufstelle)
> nicht [mm]I_2:=[2,3][/mm] ?
Nun, Fred wollte [mm] $I_2$ [/mm] so wählen, dass alle Elemente von [mm] $I_2$ [/mm] nicht zu [mm] $D_1$ [/mm] gehören.
Das wäre bei Wahl von [mm] $I_2:=[2,3]$ [/mm] nicht richtig.
> > > Fallen nicht die Intervalle 2 und 4 eh weg, da ja die
> > > Division von -p1 und -p2 wieder positiv wird?
> >
> > Falls du meinst, dass die Elemente von [mm]I_2[/mm] und [mm]I_4[/mm]
> nicht
> > zu [mm]D_1[/mm] gehören, hast du Recht.
>
> Naja, das meinte ich ja eigentlich, die Betrachtung
> erübrigt sich doch von vornherein oder? Somit hätte ich
> die Intervalle 2 und 4 garnicht erst aufgestellt.
> Ich habe damit [mm]I_1n:=[3, \infty), I_2n:=(-2,2], I_3n:=(- \infty,-3)[/mm]
> und somit [mm]\IL = {\{x \in \IR | x<-3 \vee -2
Solange du dir auch überlegt hast, dass mit deinen Bezeichnungen für [mm] $x\notin I_1\cup I_2\cup I_3$ [/mm] auch [mm] $x\notin D_1$ [/mm] gilt, ist dein Vorgehen genauso ok.
Was bedeutet [mm] $x\notin I_1\cup I_2\cup I_3$? [/mm] Es bedeutet [mm] $x\in[-3,-2]\cup(2,3)$.
[/mm]
Daher war es naheliegend, auch den Intervallen $[-3,-2]$ und $(2,3)$ eigene Namen zu geben.
Das heißt aber natürlich nicht, dass man das tun muss.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Mi 16.10.2013 | | Autor: | jayw |
> > > Es gilt
> > > [mm]q(x)=\bruch{p_1(x)}{p_2(x)}=\bruch{-p_1(x)}{-p_2(x)}[/mm].
> > > Daher kannst du in der Tat genauso gut [mm]-p_1(x)[/mm] und
> > [mm]-p_2(x)[/mm]
> > > an Stelle von [mm]p_1(x)[/mm] und [mm]p_2(x)[/mm] betrachten.
> > > Aber wozu soll das gut sein?
> > Eben! Daher frage ich mich auch woher die Intervalle
> [mm]I_2[/mm]
> > und [mm]I_4[/mm] kommen? Sie können doch nur bei -p1 und -p2
> > "auftauchen"!?
> Was meinst du mit "bei -p1 und -p2 auftauchen"?
Auf die beiden Intervalle $I_2a:=(2,3)$ bzw. $I_2b:=[2,3]$ und [mm] $I_4:=(-3,-2)$ [/mm] komme ich doch nur, wenn ich die nach unten geöffneten Parabeln [mm] $-p_1(x)$ [/mm] und [mm] $-p_2(x)$ [/mm] betrachte. Da dies offensichtlich obsolet ist, warum sollte ich sie aufstellen?
Wo liegt mein Denkfehler?
>
> > > > > Wenn Du das gemacht hast, so siehst Du, dass es ratsam ist,
> > > > > die Zahlengerade in folgende Intervalle zu zerlegen:
> > > > >
> > > > > [mm]I_1:=[3, \infty), , I_3:=(-2,2), I_4:=(-3,-2), I_5:=(- \infty,-3)[/mm]
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Mi 16.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Auf die beiden Intervalle [mm]I_2a:=(2,3)[/mm] bzw. [mm]I_2b:=[2,3][/mm] und
> [mm]I_4:=(-3,-2)[/mm] komme ich doch nur, wenn ich die nach unten
> geöffneten Parabeln [mm]-p_1(x)[/mm] und [mm]-p_2(x)[/mm] betrachte.
Zu untersuchen ist für alle [mm] $x\in\IR$, [/mm] ob jeweils [mm] $q(x)=\bruch{p_1(x)}{p_2(x)}$ [/mm] größer gleich 0 oder kleiner 0 ist.
Insbesondere ist das für [mm] $x\in(2,3)$ [/mm] zu untersuchen.
Für solche $x$ gilt
[mm] $p_1(x):=x^2-5x+6=\underbrace{(x-2)}_{>0}\underbrace{(x-3)}_{<0}<0$
[/mm]
und
[mm] $p_2(x):=x^2+5x+6=\underbrace{(x+2)}_{>0}\underbrace{(x+3)}_{>0}>0$,
[/mm]
also [mm] $q(x)=\bruch{p_1(x)}{p_2(x)}<0$.
[/mm]
Somit gilt [mm] $x\notin D_1$ [/mm] für [mm] $x\in(2,3)$.
[/mm]
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