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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Di 22.12.2009 | | Autor: | JanW1989 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie zur jeweils gegebenen Matrix A die Matrix [mm] \wurzel{A} [/mm] mit der Eigenschaft, dass [mm] \wurzel{A}*\wurzel{A}=A.
[/mm]
[mm] A=\bruch{1}{3}\pmat{19 & -8 & -8 \\ -8 & 19 & -8 \\ -8 & -8 & 19} [/mm] |
Ich habe ein paar grundsätzliche Fragen zur Vorgehensweise beim Lösen dieser Aufgabe.
Zunächst habe ich die Eigenwerte der Matrix bestimmt. Diese sind [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=9 [/mm] (mit der Vielfachheit 2).
Nun kann ich ja im Grunde schon eine Diagonalmatrix aufstellen:
[mm] D=\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9}.
[/mm]
Um nun die Wurzel zu ziehen wollte ich folgendermaßen vorgehen:
Ich berechne eine orthogonale Matrix P, so dass [mm] P^{T}AP [/mm] eine Diagonalmatrix ist.
Die Matrix P besteht ja dann aus den normierten Eigenvektoren der Matrix A, welche damit auch eine Orthonormalbasis bilden müssten.
Ich erhalte als Eigenvektoren:
[mm] v_{1}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] und [mm] v_{2}=\vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm] oder [mm] v_{2}=\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Bei diesem Schritt bin ich mir nicht ganz sicher. In meinem Gleichungssystem zur Berechnung des Eigenvektors zu [mm] \lambda_{2} [/mm] erhalte ich 2 Nullzeilen und somit komme ich auf die 2 möglichen Eigenvektoren. Ist diese Vorgehensweise richtig?
Da diese beiden Vektoren ja auch nicht orthogonal zueinander stehen habe ich dann das Gram-Schmidtsche-Orthonormalisierungsverfahren auf einen der beiden (habe mich für den Zweiten entschieden) und erhalte dann den 3. Vektor, der meine 3. Spalte der Matrix P ausfüllt.
Nun berechne ich:
[mm] \wurzel{A} =P*\wurzel{D}*P^{T} [/mm] und komme auch auf die richtige Lösung.
Allerdings glaube ich, dass das wahrscheinlich nicht das sinnvollste bzw. schnellste Verfahren ist. Ansatzpunkte für Verbesserung sehe ich in meinen 2 möglichen Eigenvektoren zum Eigenwert 9.
Vielen Dank schon jetzt für eure Hilfe !
Liebe Grüße,
Jan
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Hallo Jan,
Dein Verfahren ist systematisch. Das ist gut.
Schneller wäre hier gewesen, wie folgt anzusetzen:
[mm] \wurzel{A}=\pmat{ a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a }
[/mm]
was auf die beiden Gleichungen
1) [mm] a^2+2b^2=\bruch{19}{3} [/mm] und 2) [mm] b^2+2ab=-\bruch{8}{3}
[/mm]
führt.
Je nachdem, wie geschickt Du dieses nichtlineare Gleichungssystem lösen kannst, bist Du u.U. schnell bei:
[mm] a=-\bruch{7}{3}, b=\bruch{2}{3}
[/mm]
edit: Pardon, ich musste vorhin ganz schnell aufhören und weg. Ich finde insgesamt vier Lösungen, hier der Kürze halber nur der Zähler, den Nenner 3 lasse ich weg.
[mm] \blue{\left. {\begin{matrix} a_1=-5, & b_1=4 \\ a_2=5, & b_2=-4 \\ a_3=-7, & b_3=2 \\ a_4=7, & b_4=-2 \end{matrix}} \right\} \text{jeweils} *\bruch{1}{3}}
[/mm]
end edit.
lg
reverend
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> Allerdings glaube ich, dass das wahrscheinlich nicht das
> sinnvollste bzw. schnellste Verfahren ist. Ansatzpunkte
> für Verbesserung sehe ich in meinen 2 möglichen
> Eigenvektoren zum Eigenwert 9.
> Vielen Dank schon jetzt für eure Hilfe !
> Liebe Grüße,
> Jan
Hallo,
Dein Verfahren ist sehr sinnvoll.
Zunächst bestimmst Du die Eigenwerte, und kannst hier schon sehen, ob Du überhaupt eine Matrix wie gesucht findest (falls die Einträge aus [mm] \IR [/mm] sein sollen).
Das Normieren von Vektoren ist kein großes Ding und das Orthogonalisieren auch nicht. Wenn man alles verschiedene Eigenwerte hat, dann fällt das letztere ja auch weg.
Aber Du mußt ja weder normieren noch orthogonalisieren. Es reicht Dir irgendeine Eigenbasis: wenn T die zugehörige Transformationsmatrix ist, hast Du mit [mm] T\wurzel{D}T^{-1} [/mm] die gesuchte Matrix [mm] \wurzel{A}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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