Wurzel von Komlexen Zahlen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 So 20.03.2005 | | Autor: | Amarradi |
Hallo
ich habe folgende Aufgabe
a=1+i
b=1-i
c=5+12i
Zu berechnen ist folgender
[mm] \wurzel{abc}
[/mm]
Mein Ansatz lautet: (1+i)(1-i)(5+12i)=2*(5+12i)= 10+24i
Also ist zu berechnen
[mm] \wurzel{10+24i}
[/mm]
berechne ich zuerst
arctan [mm] \varphi \bruch{24}{10}=67,39°
[/mm]
Dann berechne ich den Betrag [mm] \vmat{ 1 }=\wurzel{10^2+24^2}=26
[/mm]
Da aber ein Wurzelwert zu Berechnen ist wird [mm] das\wurzel{26}
[/mm]
Dann kann ich den Ansatz machen
[mm] \wurzel{26}(Cos\bruch{67,39°+0*2Pi}{2}+i Sin\bruch{67,39°+0*2Pi}{2})
[/mm]
Ergebins: 4,24 + i 2,82
Damit berechne ich die erste der beiden Quadratwurzellösungen
[mm] \wurzel{26}(Cos\bruch{67,39°+1*2Pi}{2}+i Sin\bruch{67,39°+1*2Pi}{2})
[/mm]
Ergebins: 4,091 + i3,057
Damit berechne ich die zweite der beiden Quadratwurzellösungen
Könnte diese Rechnung mal bitte jemand verifizieren. Und zu jedem Falschen Ansatz Korrekturen und Erklärungen vornehmen.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 So 20.03.2005 | | Autor: | choosy |
Das Thema der wurzeln komplexer zahlen ist leider nicht so einfach, da
es nicht nur eine Quadratwurzel gibt...
aber einfach zu deiner frage:
geometrisch (in polar koordinaten) ist folgender zusammenhang klar:
$10 + 24 i = 26 [mm] \cdot e^{i\frac{2\pi \cdot67,39}{360}}$
[/mm]
und damit gilt
[mm] $\sqrt{10+24i}= (10+24i)^{\frac{1}{2}} [/mm] = (26 [mm] \cdot e^{i\frac{2\pi \cdot67,39}{360}})^{\frac{1}{2}} [/mm] = [mm] \sqrt{26} \cdot e^{i\frac{\pi \cdot67,39}{360}}$
[/mm]
(das die komplexe wurzel nicht eindeutig ist liegt daran das die darstellung
$10 + 24 i = 26 [mm] \cdot e^{i\frac{2\pi \cdot67,39}{360}}$
[/mm]
nicht eindeutig ist, genau müsste es heissen
$10 + 24 i = 26 [mm] \cdot e^{i\frac{k2\pi \cdot67,39}{360}}$, $k\in [/mm] N$
also nennt man
[mm] $\sqrt{10+24i}= \sqrt{26} \cdot e^{i\frac{k\pi \cdot67,39}{360}}$
[/mm]
die $k$-te Wurzel.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:11 So 20.03.2005 | | Autor: | Amarradi |
recht Herzlichen Dank, ich werde das jetzt mal durchrechnen und bei unklarheiten etweder private message wählen, oder hier posten.
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Hallo Amarradi,
wenn die Aufgabe darin bestand, eine Näherung für die Wurzel zu finden, ist an Deiner Vorgehensweise nichts auszusetzen (wenn man von den falschen Werten mal absieht  ).
Betrag und Argument von $10+24 i$ hast Du ja schon zu 26 bzw [mm] $\arctan(\bruch{12}{5})$ [/mm] bestimmt. Mir scheint es in diesem Fall aber einfacher zu sein, ein einfaches Gleichungssystem zu lösen:
Es werden reelle Zahlen a und b mit $(a+b [mm] i)^{2}=a^2-b^2+2 [/mm] a b i=10+24 i$ gesucht. Also ist [mm] $a=\bruch{12}{b}$ [/mm] und somit [mm] $\bruch{144}{b^{2}}-b^{2}-10=\bruch{(8-b^{2})(18+b^{2})}{b^2}=0$.
[/mm]
den Rest solltest Du alleine schaffen - wenn nicht: nachfragen!
Alles Gute,
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:53 So 20.03.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
nur noch 'ne kleine Anmerkung:
viele haben in der Schule offenbar Winkel nur in Grad angegeben. Dagegen ist prinzipiell nichts einzuwenden, solange sie nicht mit Winkeln in Bogenmaß verwurschtelt werden (bei Dir z.B.$ [mm] 67,3801^{\circ}+2\pi$).
[/mm]
Es empfiehlt sich, sich in der Analysis von den Winkelgraden schmerzhaft aber endgültig zu verabschieden.
Viel Erfolg,
Peter
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