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| Aufgabe | | Berechne! [mm] \wurzel{1} [/mm] in der Menge der komplexen Zahlen. |
Der Professor schrieb nur die Lösungen auf die Tafel (1 und -i), erklärte den Lösungsweg aber nicht. Jetzt weiß ich nicht, wie man auf diese Lösungen kommt.
Ich habe es so probiert:
[mm] (a+b\*i)^{2}=1
[/mm]
[mm] a^{2}+2\*a\*b\*i+b^{2}\*i^{2}=1 [/mm] // für [mm] b^{2}\*i^{2} [/mm] habe ich dann [mm] -b^{2} [/mm] eingesetzt, da [mm] i^{2}=-1
[/mm]
[mm] a^{2}-b^{2}+2\*a\*b\*i-1=0
[/mm]
Dann habe ich die große Lösungsformel verwendet.
Für a habe ich 1 eingesetzt, für b habe ich 2i eingsetzt und für c habe ich -1 eingsetzt. Dann erhalte ich schlussendlich [mm] \bruch{-2\*i}{2}
[/mm]
Das bringt zwar das Ergebnis -i, was laut Professor ja herauskommen soll, aber wie komme ich auf 1 als Lösung? Oder ist mein Ansatz überhaupt komplett falsch?
Würde man für die dritte Wurzel aus 1 in der Menge der komplexen Zahlen analog rechnen wie für die Quadratwurzel aus 1 in der Menge der komplexen Zahlen?
Vielen Dank im Voraus, ich hoffe, ich konnte mein Problem darstellen.
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Hallo Charlie,
eine so einfache Frage steht hier nie so lange im Forum, es sei dann, sie lässt einen so ratlos zurück wie Deine.
> Berechne! [mm]\wurzel{1}[/mm] in der Menge der komplexen Zahlen.
> Der Professor schrieb nur die Lösungen auf die Tafel (1
> und -i), erklärte den Lösungsweg aber nicht. Jetzt weiß
> ich nicht, wie man auf diese Lösungen kommt.
Ich auch nicht. Die Lösungen sind nämlich falsch.
Eine Lösung ist offensichtlich z=1. Nach der  Moivre-Formel gibt es dann noch eine weitere Lösung, nämlich z=-1. Generell sind Quadratwurzeln aus positiven reellen Zahlen immer rein reell, solche aus negativen reellen Zahlen immer rein imaginär, und alle anderen sind komplex.
> Ich habe es so probiert:
>
> [mm](a+b\*i)^{2}=1[/mm]
> [mm]a^{2}+2\*a\*b\*i+b^{2}\*i^{2}=1[/mm] // für [mm]b^{2}\*i^{2}[/mm] habe
> ich dann [mm]-b^{2}[/mm] eingesetzt, da [mm]i^{2}=-1[/mm]
> [mm]a^{2}-b^{2}+2\*a\*b\*i-1=0[/mm]
Ja, ok. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann habe ich die große Lösungsformel verwendet.
Die große Formel für alles? Was um alles in der Welt soll das sein? Meinst Du damit einfach die Mitternachtsformel?
> Für a habe ich 1 eingesetzt, für b habe ich 2i eingsetzt
> und für c habe ich -1 eingsetzt. Dann erhalte ich
> schlussendlich [mm]\bruch{-2\*i}{2}[/mm]
Verstehe ich nicht. Kannst Du mal Gleichungen schreiben und nicht nur einzelne Terme? wieso setzt Du irgendwelche Werte ein? Und was soll das Ergebnis dann bedeuten. Wofür soll es die Lösung sein?
> Das bringt zwar das Ergebnis -i, was laut Professor ja
> herauskommen soll, aber wie komme ich auf 1 als Lösung?
> Oder ist mein Ansatz überhaupt komplett falsch?
Keine Ahnung. Ich verstehe ihn einfach nicht.
Und die "Musterlösung" ist eben auch falsch, die kannst Du gar nicht bestätigen/berechnen.
> Würde man für die dritte Wurzel aus 1 in der Menge der
> komplexen Zahlen analog rechnen wie für die Quadratwurzel
> aus 1 in der Menge der komplexen Zahlen?
Nein. Auch hier gilt die Moivre-Formel.
> Vielen Dank im Voraus, ich hoffe, ich konnte mein Problem
> darstellen.
Grüße
reverend
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Ja, vermutlich die Mitternachtsformel.
[mm] x_{1,2}=\bruch{-b\pm\wurzel{b^{2}-4\*a\*c}}{2\*a}
[/mm]
Und die "irgendwelchen Werte" habe ich eingesetzt, da ich sie für die Koeffizienten hielt. Ich habe ja gesagt, ich weiß nicht, wie man das berechnen soll.
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Hallo,
> Ja, vermutlich die Mitternachtsformel.
>
> [mm]x_{1,2}=\bruch{-b\pm\wurzel{b^{2}-4\*a\*c}}{2\*a}[/mm]
Ah, ok. Das ist sie. Ich kannte nur den Ausdruck "große Lösungsformel" noch nicht. Er scheint mir auch ein bisschen übertrieben. 
> Und die "irgendwelchen Werte" habe ich eingesetzt, da ich
> sie für die Koeffizienten hielt. Ich habe ja gesagt, ich
> weiß nicht, wie man das berechnen soll.
Ja, das verstehe ich dann. Nur: was ist eigentlich die Variable? Deswegen meinte ich ja, es wäre besser, das Ergebnis als Gleichung zu scheiben. Dann sieht man wenigstens, wonach Du eigentlich auflöst.
lg
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:40 Mo 24.10.2011 | | Autor: | Charlie22 |
Ja, bei uns heißt es immer "große" und "kleine" Lösungsformel :)
Jedenfalls danke für die ausführlichen Antworten und Erklärungen, jetzt verstehe ich es!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Mo 24.10.2011 | | Autor: | Charlie22 |
Vielleicht habe ich mich verschaut und statt i stand da wirklich -1. Ich weiß leider auch nicht, was damit gemeint sein soll, dass man eine Wurzel einer reellen Zahl in der Menge der komplexen Zahlen ausrechnen soll, aber so stand es in der Angabe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:04 Mo 24.10.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo,
> Vielleicht habe ich mich verschaut und statt i stand da
> wirklich -1.
Ganz bestimmt sogar.
> Ich weiß leider auch nicht, was damit gemeint
> sein soll, dass man eine Wurzel einer reellen Zahl in der
> Menge der komplexen Zahlen ausrechnen soll, aber so stand
> es in der Angabe.
Na, das geht eben auch, da ja [mm] \IR\subset\IC [/mm] ist.
Andererseits kannst Du/könnt Ihr das ja schon. Die spannenden Sachen sind doch die, die in [mm] \IR [/mm] noch nicht gingen.
lg
rev
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Falls ich die Moivre Formel verwende, weiß ich auch da nicht, was ich einsetzen soll. Wenn ich die Quadratwurzel aus z berechnen soll, wie komme ich dann bitte auf r?
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Hallo,
> Falls ich die Moivre Formel verwende, weiß ich auch da
> nicht, was ich einsetzen soll. Wenn ich die Quadratwurzel
> aus z berechnen soll, wie komme ich dann bitte auf r?
Hattet Ihr die Polarform noch nicht?
Für z=1 ist jedenfalls r=1 und [mm] \phi=0.
[/mm]
Grüße
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:59 Mo 24.10.2011 | | Autor: | Charlie22 |
Ups, danke, bin in der Zwischenzeit schon darauf gekommen. Tut mir leid, ich bin heute schon komplett verwirrt :/
Aber danke für deine Hilfe!!
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$ [mm] z_3=\wurzel[3]{1}\cdot{}\left[\underbrace{\cos\left(\bruch{\red{0}+2\cdot{}2\pi}{3}\right)}_{=-\bruch{1}{2}}+i\cdot{}\underbrace{\sin\left(\bruch{\red{0}+2\cdot{}2\pi}{3}\right)}_{=-\bruch{\wurzel{3}}{2}}\right]=-\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}\cdot{}i [/mm] $
Jetzt verstehe ich zwar, wie man in die Formel korrekt einsetzt, nur ist mir nicht ganz klar wie man auf [mm] -\bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] kommt.
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Hallo
>
> [mm]z_3=\wurzel[3]{1}\cdot{}\left[\underbrace{\cos\left(\bruch{\red{0}+2\cdot{}2\pi}{3}\right)}_{=-\bruch{1}{2}}+i\cdot{}\underbrace{\sin\left(\bruch{\red{0}+2\cdot{}2\pi}{3}\right)}_{=-\bruch{\wurzel{3}}{2}}\right]=-\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}\cdot{}i[/mm]
>
> Jetzt verstehe ich zwar, wie man in die Formel korrekt
> einsetzt, nur ist mir nicht ganz klar wie man auf
> [mm]-\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm] kommt.
Das ist der Sinuswert für [mm] sin(\bruch{4*\pi}{3})
[/mm]
Nach und nach sollte man die gängigen Werte für Sinus und Kosinus auswendig können und wenn nicht, dann kann man sich den Sinuswert am Einheitskreis verdeutlichen bzw. herleiten.
gruß
TheBozz-mismo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:38 Mo 24.10.2011 | | Autor: | Charlie22 |
Danke.
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