Wurzel gleichm. stetig < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 So 03.07.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Ist die Abbildung g:[0,1] to [mm] \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \wurzel{x} [/mm] gleichmäßig stetig? |
Guten Abend,
Wenn ich mir den Graphen der Funktion anschaue, vermute ich, dass sie gleichmäßig stetig ist. Beim Beweis habe ich aber Probleme.
Eine Funktion ist gleichmäßig stetig gdw. [mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta [/mm] >0: [mm] K(x,\varepsilon) \subseteq f^{-1}(K(f(x),\varepsilon) \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X.
Ich hab mir zunächst die Umkehrfunktion f: [mm] \IR \to [/mm] [0,1], x [mm] \to x^{2} [/mm] angeschaut.
Ich muss doch jetzt irgendwie ein [mm] \delta [/mm] wählen, aber ich weiß überhaupt nicht, wie ich da ran komme.
Wie muss ich ansetzen um das [mm] \delta [/mm] zu berechnen?
Vielen Dank
lg
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Huhu,
zeige: [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] ist auf [mm] $(1,\infty)$ [/mm] Lipschitz-stetig (und damit glm. stetig), die gleichmäßige Stetigkeit auf [0,1] bekommst du geschenkt (warum?)
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 So 03.07.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo Gono,
> zeige: [mm]\sqrt{x}[/mm] ist auf [mm](1,\infty)[/mm] Lipschitz-stetig (und
> damit glm. stetig), die gleichmäßige Stetigkeit auf [0,1]
> bekommst du geschenkt (warum?)
Danke für deinen Rat, aber der bringt mir leider nichts, weil wir Lipschitz-Stetigkeit noch nicht definiert haben.
Vielleicht hat jemand eine andere Idee?
Vielen Dank
lg
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Hiho,
> Danke für deinen Rat, aber der bringt mir leider nichts,
> weil wir Lipschitz-Stetigkeit noch nicht definiert haben.
das macht doch gar nix!
Zeige halt, dass [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] auf [mm] $(1,\infty)$ [/mm] gleichmäßig stetig ist!
Der Beweis ist doch identisch..... also ein wenig Eigeninitiative darfs auch sein.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Di 05.07.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo ,
> > Danke für deinen Rat, aber der bringt mir leider nichts,
> > weil wir Lipschitz-Stetigkeit noch nicht definiert haben.
>
> das macht doch gar nix!
> Zeige halt, dass [mm]\sqrt{x}[/mm] auf [mm](1,\infty)[/mm] gleichmäßig
> stetig ist!
> Der Beweis ist doch identisch..... also ein wenig
> Eigeninitiative darfs auch sein.
Das es dasselbe wusste ich nicht. Ich hab mal bei Wikipedia nachgeguckt und da Stand irgendwas von einer Lipschitz Konstante, deswegen hab ich das gelassen.
Aber gut, wenn es dasselbe ist.
Ich hab jetzt versucht das zu beweisen und bin so vorgegangen:
Nach Definition gilt:
[mm] f:(1,\infty) \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \wurzel{x} [/mm] genau dann gleichmäßug konvergent falls [mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta [/mm] >0: [mm] K(x,\delta) \subseteq f^{-1}(K(f(x),\varepsilon) \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X.
Sei also [mm] \varepsilon [/mm] >0 gegeben. Um das [mm] \delta [/mm] angemessen zu wählen betrachte ich [mm] K(x,\delta)=\{y \in (1,\infty): d(x,y) < \varepsilon\} [/mm] und [mm] K(f(x),\varepsilon).
[/mm]
Jetzt habe ich einfach mal [mm] \delta=\bruch{\varepsilon}{3} [/mm] gewählt.
Sei nun x' [mm] \in K(x,\delta). [/mm] Dann gilt d(x,x') < [mm] \bruch{\varepsilon}{3}.
[/mm]
Zu zeigen ist, dass dieses x' auch in [mm] f^{-1}(K(f(x),\varepsilon) [/mm] liegt, dass also [mm] d(\wurzel{x},x') [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Ich hatte gedacht, das mit der Dreiecksungleichung zu machen, aber dafür muss ich erst noch [mm] f^{-1} [/mm] anwenden auf f(x). Damit bin ich aber durcheinander gekommen...
Ich glaube mein Ansatz ist eh nicht gelungen, weil ich noch gar nichts mit (1, [mm] \infty) [/mm] gemacht habe. Wo muss ich das benutzen und wie kann ich jetzt weitermachen?
Vielen Dank
lg
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Hiho,
> Das es dasselbe wusste ich nicht. Ich hab mal bei Wikipedia
> nachgeguckt und da Stand irgendwas von einer Lipschitz
> Konstante, deswegen hab ich das gelassen.
es ist auch nicht dasselbe (das hab ich auch nicht behauptet).
Einzig der Beweis dazu ist analog.
> Ich hab jetzt versucht das zu beweisen und bin so
> vorgegangen:
>
> Nach Definition gilt:
> [mm]f:(1,\infty) \to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto \wurzel{x}[/mm] genau dann
> gleichmäßug konvergent falls [mm]\forall \varepsilon[/mm] >0
> [mm]\exists \delta[/mm] >0: [mm]K(x,\delta) \subseteq f^{-1}(K(f(x),\varepsilon) \forall[/mm]
> x [mm]\in[/mm] X.
schön kompliziert aufgeschrieben.
Du bist doch in [mm] $\IR$ [/mm] mit der euklidischen Metrik (was spricht dagegen?).
Schreib doch dort bitte mal die Definition der Stetigkeit und der gleichmäßigen Stetigkeit hin.
Da bedarf es keiner Kugeln, Umgebungen oder sonstigen mathematischen Begrifflichkeiten.
Wenn du alles richtig aufgeschrieben hast, musst du nur noch eine Ungleichung beweisen, für die du am besten einmal die dritte binomische Formel anwendest.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Mi 06.07.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
> > gleichmäßug konvergent falls [mm]\forall \varepsilon[/mm] >0
> > [mm]\exists \delta[/mm] >0: [mm]K(x,\delta) \subseteq f^{-1}(K(f(x),\varepsilon) \forall[/mm]
> > x [mm]\in[/mm] X.
>
> schön kompliziert aufgeschrieben.
Wohl wahr, aber wir haben nur diese Definition von gleichmäßiger Stetigkeit.
> Du bist doch in [mm]\IR[/mm] mit der euklidischen Metrik (was
> spricht dagegen?).
Nichts.
> Schreib doch dort bitte mal die Definition der Stetigkeit
> und der gleichmäßigen Stetigkeit hin.
> Da bedarf es keiner Kugeln, Umgebungen oder sonstigen
> mathematischen Begrifflichkeiten.
>
> Wenn du alles richtig aufgeschrieben hast, musst du nur
> noch eine Ungleichung beweisen, für die du am besten
> einmal die dritte binomische Formel anwendest.
Ok, vergiss was ich geschrieben habe. Ich habs jetzt hingekriegt. Vielen vielen Dank für die Hinweise.
Jetzt bleibt nur noch eine Frage. Wieso folgt aus der gleichmäßigen Stetigkeit auf (1, [mm] \infty) [/mm] die gleichmäßige Stetigkeit auf [0,1].
Vielleicht hat es was damit zu tun dass die Funktion auf diesem Intervall immer kleiner ist als auf (1, [mm] \infty),aber [/mm] so genau weiß ich das jetzt nicht.
Ich hab noch eine allgemeine Frage. Wenn man zeigt, dass eine Funktion auf ganz [mm] \IR [/mm] gleichmäßig Stetig ist, darf mand ann folgern dass sie auf jedem Intervall in [mm] \IR [/mm] gleichmäßig stetig ist?
Ich wüsste nicht, warum das nicht gehen sollte.
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:14 Do 07.07.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Jetzt bleibt nur noch eine Frage. Wieso folgt aus der
> gleichmäßigen Stetigkeit auf (1, [mm]\infty)[/mm] die
> gleichmäßige Stetigkeit auf [0,1].
Tut es nicht. Gonos Hinweis war:
1. Du zeigst, dass [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] glm stetig auf [mm] $(1,\infty)$ [/mm] ist.
2. Aus der Stetigkeit auf $[0,1]$ folgt die glm Stetigkeit (siehe Freds Hinweis)
3. Beides zusammen ergibt glm Stetigkeit auf $[0,1] [mm] \cup (1,\infty) [/mm] = [mm] [0,\infty)$ [/mm] .
> Ich hab noch eine allgemeine Frage. Wenn man zeigt, dass
> eine Funktion auf ganz [mm]\IR[/mm] gleichmäßig Stetig ist, darf
> mand ann folgern dass sie auf jedem Intervall in [mm]\IR[/mm]
> gleichmäßig stetig ist?
Ja. Umgekehrt gilt es natürlich nicht.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:27 Mo 04.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Hattet Ihr schon den folgenden
Satz: Ist $f:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] stetig, so ist f auf [a,b] gleichmäßig stetig.
?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 Di 05.07.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hattet Ihr schon den folgenden
>
> Satz: Ist [mm]f:[a,b] \to \IR[/mm] stetig, so ist f auf [a,b]
> gleichmäßig stetig.
>
Sorry, wir hatten den doch. Ich werds auch mal damit probieren.
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:18 Do 07.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Hattet Ihr schon den folgenden
> >
> > Satz: Ist [mm]f:[a,b] \to \IR[/mm] stetig, so ist f auf [a,b]
> > gleichmäßig stetig.
> >
>
> Sorry, wir hatten den doch. Ich werds auch mal damit
> probieren.
Was gibts denn da zu "probieren" ? Mit diesem Satz ist [mm] $f(x)=\wurzel{x}$ [/mm] auf [0,1] gleichmäßig stetig. Fertig !
FRED
>
> lg
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