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| Aufgabe | Man zeige, dass die Matrix
$A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 10}$
[/mm]
das Quadrat einer reellen Matrix ist |
hi
ich komme hier einfach nicht weiter und verzweifel langsam. ich hab inzwischen herausgefunden, dass das ganze über diagonalform und wurzel der eigenwerte laufen kann, also dass dies ein weg ist, die wurzel einer matrix zu berechnen.
nun ja, die eigenwerte dieser matrix sind die reinste katastrophe...
Minimalpolynom ist [mm] $-x^3+13x^2-30x+8 [/mm] = 0$, das habe ich mit maple überprüft, und nachdem ich auf keine nullstellen gekommen bin habe ich maple gefragt - wie gesagt, das sind ordentliche monstereigenwerte. daher kann ich mir nicht vorstellen, dass wir es über diesen weg lösen sollen.
zudem enthalten die eigenwerte alle ein $i$, sind also komplex - wohingegen es ja einen satz gibt, der besagt, dass die eigenwerte einer reellen symmetrischen matrix reell sind. heißt das, dass A gar nicht reell ist? woran erkenne ich denn eine reelle bzw komplexe matrix? dachte bisher immer, eine komplexe matrix hat halt mind. einen komplexen eintrag, ansonsten ist das ding reell...
meine frage, gibt es noch eine andere möglichkeit, wie man die wurzel aus einer matrix bekommt? thema ist momentan hauptachsentransformation, falls das was hilft  nur alles, was ich zum thema hauptachsentransformation / wurzelziehen gefunden habe läuft irgendwie auf eigenwerte hinaus...
gruß GB
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> Man zeige, dass die Matrix
> [mm]A = \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 10}[/mm]
> das
> Quadrat einer reellen Matrix ist
> hi
>
> ich komme hier einfach nicht weiter und verzweifel langsam.
> ich hab inzwischen herausgefunden, dass das ganze über
> diagonalform und wurzel der eigenwerte laufen kann, also
> dass dies ein weg ist, die wurzel einer matrix zu
> berechnen.
Hallo,
ja, so kann man das machen.
>
> nun ja, die eigenwerte dieser matrix sind die reinste
> katastrophe...
>
> Minimalpolynom ist [mm]-x^3+13x^2-30x+8 [/mm], das habe ich mit
> maple überprüft, und nachdem ich auf keine nullstellen
> gekommen bin habe ich maple gefragt - wie gesagt, das sind
> ordentliche monstereigenwerte. daher kann ich mir nicht
> vorstellen, dass wir es über diesen weg lösen sollen.
>
> zudem enthalten die eigenwerte alle ein [mm]i[/mm],
Das kann nicht sein: Du hast es mit einer symmetrischen Matrix zu tun, und deren Eigenwerte sind reell. "Bekanntlich" reell.
> sind also
> komplex - wohingegen es ja einen satz gibt, der besagt,
> dass die eigenwerte einer reellen symmetrischen matrix
> reell sind.
Achso, Du hast den Widerspruch selbst schon entdeckt.
> heißt das, dass A gar nicht reell ist?
Na, daß die bloß reelle Einträge hat, sehen wir doch deutlich.
Du hast Dich schlicht und ergreifend verrechnet oder Deine elektronischen Helfer falsch gefüttert.
> meine frage, gibt es noch eine andere möglichkeit, wie man
> die wurzel aus einer matrix bekommt?
Man will von Dir hier ja freundlicherweise überhaupt nicht die Wurzel wissen, sondern lediglich, ob sie existert.
Da Du eine symmetrische Matrix hast, weißt Du, daß sie nur reelle Eigenwerte hat und orthogonal diagonalisierbar ist. Also [mm] A=S^{t}DS.
[/mm]
Wenn Du nun irgendeinen Weg findest, zu zeigen daß alle Eigenwerte nichtnegativ sind, dann hast Du bereits gewonnen, denn dann kannst Du A schreiben als [mm] A=(S^{t}\wurzel{D}S)(S^{t}\wurzel{D}S).
[/mm]
Wie Du das im einzelnen machst, kommt natürlich darauf an, was schon dran war, eventuell hattet Ihr was im Zusammenhang mit der Definitheit symmetrischer Matrizen, was Dir nützlich ist.
Ansonsten kannst Du Dich auch Deiner Kenntnisse aus der Analysis und über Nullstellen von Polynomen bedienen.
Gruß v. Angela
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super danke - ich glaub es hat grad "klick" gemacht 
mal sehen, ob meine gedanken auch auf papier sinn machen
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