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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Sa 29.11.2008 | | Autor: | RudiBe |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die 3 Lösungen der Gleichung
[mm] \wurzel[3]{8i}
[/mm]
und die 2 Lösungen der Gleichung
[mm] \wurzel[2]{1+i} [/mm] |
nun hier mein Lösungsweg:
[mm] \wurzel[3]{8i}=\wurzel[3]{8*e^{i*\bruch{\pi}{2}}}=\wurzel[3]{8}*e^{i*({\bruch{\bruch{\pi}{2}+2k{\pi}}{3}})}
[/mm]
k={0,1,2}
somit Lösung 1: [mm] 2*e^{i{\bruch{\pi}{6}}}
[/mm]
Lösung 2: [mm] 2*e^{i{\bruch{5\pi}{6}}}
[/mm]
und Lösung 3: [mm] 2*e^{i{\bruch{4\pi}{3}}}
[/mm]
hier die Lösungen der zweiten Aufgabe:
[mm] \wurzel[2]{1+i}=\wurzel[2]{1+e^{i*\bruch{\pi}{2}}}=\wurzel[2]{1+e^{i*({\bruch{\pi}{2}+2k{\pi}}})}
[/mm]
K={0,1}
Lösung 1: [mm] \wurzel[2]{1+e^{i*\bruch{\pi}{2}}}=\wurzel[2]{1+i}
[/mm]
Lösung 2: [mm] \wurzel[2]{1+e^{i*({\bruch{\pi}{2}+2{\pi}})}}=\wurzel[2]{1+i*e^{\pi}{2}}
[/mm]
nun meine Frage, kann das soweit stimmen? und wie komme ich jetzte auf die Darstellungsform ohne e?
PS: diese Frage steht in keinem anderen Forum
Danke
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> Ermitteln Sie die 3 Lösungen der Gleichung
>
> [mm]\wurzel[3]{8i}[/mm]
>
> und die 2 Lösungen der Gleichung
>
> [mm]\wurzel[2]{1+i}[/mm]
> nun hier mein Lösungsweg:
>
> [mm]\wurzel[3]{8i}=\wurzel[3]{8*e^{i*\bruch{\pi}{2}}}=\wurzel[3]{8}*e^{i*({\bruch{\bruch{\pi}{2}+2k{\pi}}{3}})}[/mm]
>
> k={0,1,2}
>
> somit Lösung 1: [mm]2*e^{i{\bruch{\pi}{6}}}[/mm]
> Lösung 2: [mm]2*e^{i{\bruch{5\pi}{6}}}[/mm]
> und Lösung 3: [mm]2*e^{i{\bruch{4\pi}{3}}}[/mm]
Stimmt!
> hier die Lösungen der zweiten Aufgabe:
>
> [mm]\wurzel[2]{1+i}=\wurzel[2]{1+e^{i*\bruch{\pi}{2}}}=\wurzel[2]{1+e^{i*({\bruch{\pi}{2}+2k{\pi}}})}[/mm]
>
> K={0,1}
>
> Lösung 1:
> [mm]\wurzel[2]{1+e^{i*\bruch{\pi}{2}}}=\wurzel[2]{1+i}[/mm]
> Lösung 2:
> [mm]\wurzel[2]{1+e^{i*({\bruch{\pi}{2}+2{\pi}})}}=\wurzel[2]{1+i*e^{\pi}{2}}[/mm]
Nein.
[mm] \sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}! [/mm] Quadriere doch mal deine Lösung. Lösung 2 quadriert ergibt ja [mm] 1+e^{\pi/2}i, [/mm] das ist sicher nicht 1+i, oder? Und Lösung 1 ist ja die Aufgabe und keine Lösung.
Ich würde geometrisch rangehen. Kennst du die Erklärung der Multiplikation in [mm] \IC? [/mm] Eine Drehstreckung? Beim Quadrieren werden die Winkel verdoppelt und die Beträge multipliziert. Umgekehrt beim Wurzelziehen der Winkel halbiert (bzw um eine gewisse Periode verschoben die zweite Lösung) und der Betrag "gewurzelt". Hilft dir das?
>
> nun meine Frage, kann das soweit stimmen? und wie komme ich
> jetzte auf die Darstellungsform ohne e?
Zum Beispiel über [mm] e^{ix}=Cos(x)+i*Sin(x)
[/mm]
>
> PS: diese Frage steht in keinem anderen Forum
> Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 So 30.11.2008 | | Autor: | RudiBe |
Danke für die freundliche Hilfe Herr konfuzius.
Aber wo habe ich bei Aufgabe 2 [mm] \wurzel{a} [/mm] + [mm] \wurzel{b} [/mm] geschrieben?
Ich kanns nicht finden. Genau weil das nicht geht hab ich die ganze Sache unter der Wurzel gelassen!!
Nur hatten wir in der Akademie noch kein Beispiel der Art [mm] \wurzel{1+i}, [/mm] dem zur Folge auch keinen korrekten Lösungsansatz.
Abgesehen davon hat mir der Fomeleditor bei Lösung 2 einen Streich gespielt und [mm] e^{\pi}2 [/mm] ausgegeben statt [mm] e^{2\pi}.
[/mm]
Den Rest mit Drehstreckung und so kenne ich auch noch nicht, ist also keine Hilfe. Klar würde mir eine Lösung reichen und zu der rechne ich 180° hinzu und hab die zweite. Aber erst mal eine haben.
Somit kann ich die Aufgabe in die Ecke werfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 So 30.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Aber wo habe ich bei Aufgabe 2 [mm]\wurzel{a}[/mm] + [mm]\wurzel{b}[/mm]
> geschrieben?
Das war wohl ein Missverständnis.
> Ich kanns nicht finden. Genau weil das nicht geht hab ich
> die ganze Sache unter der Wurzel gelassen!!
Ja, aber dadurch komsmt du noch nicht auf die Lösung.
> Nur hatten wir in der Akademie noch kein Beispiel der Art
> [mm]\wurzel{1+i},[/mm] dem zur Folge auch keinen korrekten
> Lösungsansatz.
> Abgesehen davon hat mir der Fomeleditor bei Lösung 2 einen
> Streich gespielt und [mm]e^{\pi}2[/mm] ausgegeben statt [mm]e^{2\pi}.[/mm]
> Den Rest mit Drehstreckung und so kenne ich auch noch
> nicht, ist also keine Hilfe. Klar würde mir eine Lösung
> reichen und zu der rechne ich 180° hinzu und hab die
> zweite. Aber erst mal eine haben.
> Somit kann ich die Aufgabe in die Ecke werfen.
Nur Mut, die erste Hälfte war ja richtig, und mit dem Hinweis auf die Moivre-Formel [mm] $e^{i\varphi}=\cos \varphi [/mm] + i [mm] \sin \varphi$ [/mm] kannst du auch schnell Real- und Imaginärteil deiner 3 Lösungen ausrechnen.
Für die zweite Hälfte hilft diese Formel auch, indem man sie rückwärts liest. Du bestimmst zunächst die olardarstellung der Zahl 1+i: suche zunächst ein [mm] $\varphi$, [/mm] sodass
[mm] r (\cos \varphi + i \sin \varphi) = 1 +i[/mm]
Daraus ergibt sich [mm] $\cos \varphi [/mm] = [mm] \sin\varphi$ [/mm] und (zusammen mit der Tatsache, dass Real- und Imaginärteil beide positiv sind) [mm] $\varphi=\pi/4$ [/mm] und durch Einsetzen dieses Ergebnisses der Wert von r.
Damit hast du: $1-i= [mm] \sqrt{2} e^{i\pi/4} [/mm] $, und aus dieser Zahl kannst du sehr viel einfacher die Wurzel ziehen.
Viele Grüße
Rainer
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