Wurzel(2) keine rationale Zahl < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 Mi 19.10.2005 | | Autor: | t_irgang |
Ich muss Beweisen dass [mm] \wurzel{2} [/mm] keine rationale Zahl ist.
Mein bisheriger Ansatz lautet:
[mm] \wurzel{2}=\bruch{a}{b} [/mm] |²
[mm] 2=\bruch{a²}{b²}
[/mm]
2*b²=a²
und habe in einem anderen Forum bereits die weitere
Lösung mit gerade Zahl ungerade Zahl usw. gelesen, würde
das ganze aber ganz gern verstehen. Wie heissen die entspr. Sätze
in denen das Definiert ist ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 Mi 19.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Thomas!
Dein Ansatz ist richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Du darfst aber annehmen, dass $a$ und $b$ teilerfremd sind. Dann führt [mm] $2b^2=a^2$ [/mm] zu einem Widerspruch: die linke Seite ist gerade, so muss es auch die rechte sein, d.h. [mm] $2|a\Rightarrow 4|a^2$. [/mm] Also ist auch die linke Seit durch 4 teilbar, sprich [mm] $2|b^2\Rightarrow [/mm] 2|b$. Dann aber ist $b$ gerade, was im Widerspruch zur Teilerfremdheit von a und b steht.
Das lässt sich für jede beliebige Primzahl durchführen!
Liebe Grüße,
Hanno
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