Wurzel 2 irrational < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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also ich hab ein folgendes problem ,womit ich heute morgen damit beschäftigte ,ich hab mir den beweis von euklid angesehen das war für mich verständlich :) dann auf der nächste seite von mein Mathestudiumbuch ,der zweite beweis und das hat mein kopf verdreht bzw. ich glaub der beweis ist falsch oder jemand kann mir das begründen warum :)
so fängt es an :
Annahme : es gibt m ,n [mm] \in \IN [/mm] mit :
[mm] \wurzel{2}=\bruch{m}{n}
[/mm]
( Der Autor kommentar : Unser ziel ist es ein Widerspruch herzuleiten )
Wir dürfen Annehmen ,dass die Zahl n dabei kleinstmöglich ist . und ein kleinstes Element in der -nach Annahme nicht leeren Menge
[mm] \{n |n \in \IN , \wurzel{2} =\bruch{m}{n}}\ [/mm] (es gibt m [mm] \in \IN [/mm] )
Wir schreiben m=n+k und beachten , [mm] \wurzel{2}=\bruch{n+k}{n}
[/mm]
so gilt auch [mm] \wurzel{2}=\bruch{n-k}{k} [/mm] denn beide Formeln sind gleichwertig zu n²=k²+2nk
Nun ist aber n der kleinstmögliche Nenner ,der bei der Darstellung von
[mm] \wurzel{2} [/mm] auftritt ,also muss k [mm] \ge [/mm] n Dann aber wäre
[mm] m=n+k\ge [/mm] 2n und folglich [mm] \wurzel{2}=bruch{m}{n} \ge [/mm] 2
das wäre gleichwertig 2 [mm] \ge [/mm] 4 somit widerspruch
ehmmm jetzt meine Frage an diesen Beweis ,alles ist schön einleuchtent ich verstehe denn einen schritt nicht ,da wo es sagt ," nun ist aber n der kleinstmögliche Nenner ..." => k [mm] \ge [/mm] n ,warum muss dann k größer sein ,denn wenn es ein m gibt und m=n+k schreiben kann heißt es nicht dass k größer n ist .... die folgerung glaube ich ist falsch ,oder ich denke falsch :) ich hoffe jemand kann mir hier helfen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 So 02.03.2008 | | Autor: | Jorgi |
Hallo,
man hat zwei verschiedene Darstellungen von [mm]\wurzel(2)[/mm],
nämlich :
[mm]\wurzel(2) = \frac{m}{n}[/mm]
und
[mm]\wurzel(2) = \frac{n-k}{k}[/mm]
Da aber im Vorfeld geklärt wurde, dass $n$ die kleinstmögliche Zahl ist, die bei einer Darstellung von [mm] \wurzel(2) [/mm] im Nenner stehen kann, folgt [mm]k \ge n[/mm]
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