Wurzel- & Quotientenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Do 04.12.2008 | | Autor: | JulianTa |
| Aufgabe | Es sei die Reihe [mm] \sum(a_n) [/mm] mit [mm] a_n:= \begin{cases} 2^{-n} & \mbox{falls } n \mbox{ gerade} \\ 3^{-n} & \mbox{falls } n \mbox{ ungerade} \end{cases}.
[/mm]
Wenden Sie auf die Reihe Quotienten- und Wurzelkriterium an, und entscheiden Sie, ob die Reihe konvergiert. |
Hallo!
Das Wurzelkriterium ist hier ja kein Problem. Zwei Fälle (n gerade und ungerade) und dann erhalte ich einmal [mm] \frac{1}{2} [/mm] und einmal [mm] \frac{1}{3}, [/mm] die beide kleiner 1 sind. Also konvergiert die Reihe (sogar absolut).
So, mein Problem liegt also beim Quotientenkriterium.
1. Fall: n gerade: [mm] |\frac{a_{n+1}}{a_n}|=|\frac{3^{-n}}{2^{-n}}|=|\frac{2^n}{3^n}|
[/mm]
2. Fall: n ungerade: [mm] |\frac{a_{n+1}}{a_n}|=|\frac{2^{-n}}{3^{-n}}|=|\frac{3^n}{2^n}|
[/mm]
Ich hab ja mit dem Wurzelkriterium schon gezeigt, dass die Reihe konvergiert. Da ich beim 2. Fall beim Quot-Krit. jetzt aber für alle n Werte größer als 1 bekomme, müsste doch (damit das ganze logisch ist) der Limes im 2. Fall gleich 1 sein, oder? Sonst hätte ich ja einen Widerspruch zum Wurzelkriterium. Aber wie zeige ich, dass [mm] \lim(2. [/mm] Fall)=1??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Do 04.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> So, mein Problem liegt also beim Quotientenkriterium.
> 1. Fall: n gerade:
> [mm]|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=|\frac{3^{-n}}{2^{-n}}|=|\frac{2^n}{3^n}|[/mm]
> 2. Fall: n ungerade:
> [mm]|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=|\frac{2^{-n}}{3^{-n}}|=|\frac{3^n}{2^n}|[/mm]
Hier hast du dich schonmal verrechnet. Im ersten Fall ist [mm] $a_{n+1}=3^{-(n+1)}$.
[/mm]
> Ich hab ja mit dem Wurzelkriterium schon gezeigt, dass die
> Reihe konvergiert. Da ich beim 2. Fall beim Quot-Krit.
> jetzt aber für alle n Werte größer als 1 bekomme
Also im ersten Fall ist definitiv [mm] $|a_{n+1}/a_n|<1$. [/mm] Das Quotientenkriterium lässt sich nicht anwenden.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Do 04.12.2008 | | Autor: | JulianTa |
Das heisst, das "hoch minus n" läuft mit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Do 04.12.2008 | | Autor: | pelzig |
Schau dir doch einfach nochmal die Defintion der [mm] $a_n$ [/mm] an... da steht es doch.
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