Wurzel-Ungleichungen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:09 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Commotus |
Hallo,
habe mal wieder einen Übungszettel in Analysis I erhalten, auf dem drei Aufgaben zu Wurzeln vermerkt sind. Leider habe ich keinen Lösungsansatz, wie ich diese Aufgaben lösen könnte (haben Wurzeln auch noch nicht in der Vorlesung besprochen).
Ich soll zeigen, dass:
1.) 0 [mm] \le [/mm] x < y [mm] \Rightarrow \wurzel{x} [/mm] < [mm] \wurzel{y}
[/mm]
2.) [mm] \wurzel{xy} \le \bruch{x+y}{2}
[/mm]
und 3.) [mm] \wurzel{n + \wurzel{(n-1) ... + \wurzel{1}}} [/mm] < [mm] \wurzel{n} [/mm] + 1
Wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!
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Hallo Commotus!
> 2.) [mm]\wurzel{xy} \le \bruch{x+y}{2}[/mm]
Hier mal zunächst auf beiden Seiten [mm] $\times [/mm] \ 2$ rechnen, anschließend beide Seiten quadrieren und dann alles auf eine Seite bringen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Commotus |
Hinterher habe ich dort stehen, dass 0 [mm] \le (x-y)^2 [/mm] ist, damit wäre der Beweis erbracht, da jede Zahl zum Quadrat größer/gleich null ist?! Reicht dies wirklich?
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Hallo Commotus!
> Hinterher habe ich dort stehen, dass 0 [mm]\le (x-y)^2[/mm] ist,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> damit wäre der Beweis erbracht, da jede Zahl zum Quadrat
> größer/gleich null ist?! Reicht dies wirklich?
Ja, damit bist Du fertig!
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Commotus!
> 1.) 0 [mm]\le[/mm] x < y [mm]\Rightarrow \wurzel{x}[/mm] < [mm]\wurzel{y}[/mm]
[mm] $\gdw$ $\wurzel{y} [/mm] - [mm] \wurzel{x} [/mm] \ > \ 0$
Nun auf beiden Seiten quadrieren, und Du erhältst fast exakt das "Problem" aus Aufgabe 2.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Commotus |
Quadrieren ist jedoch wie bei Aufgabe 2 keine Äquivalenzumformung..wieso darf ich es dann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Kohei |
Hallo!
Ich bin hier noch ziemlich neu und auch nicht der beste in Mathe aber
soweit ich weiß sind die beiden Schreibweisen für [mm] x^{2}=y [/mm] und x= [mm] \wurzel{y}
[/mm]
gleich.
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Hallo Commotus,
stimmt schon, allgemein muss man da vorsichtig sein. Aber wenn wir wissen, dass [mm]\wurzel{y}>\wurzel{x}[/mm], also [mm]\wurzel{y}-\wurzel{x}>0[/mm], dann ist auch das Quadrat [mm]\left(\wurzel{y}-\wurzel{x}\right)^2 >0[/mm]. (Denk an die Normalparabel: jeder Wert aus [mm]\IR^+[/mm] wird nach [mm]\IR^+[/mm] abgebildet.)
mfg
Daniel
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Hallo Commotus,
> Ich soll zeigen, dass:
3.) [mm]\wurzel{n + \wurzel{(n-1) ... + \wurzel{1}}}[/mm] < [mm]\wurzel{n}[/mm] + 1
Beweis läuft über vollständige Induktion nach n. Dazu schreiben wir die Behauptung noch mal sauber auf:
Für die rekursiv definierte Folge [mm](a_n)[/mm] mit
[mm]a_1:=\wurzel{1}[/mm] und [mm]a_n:=\wurzel{n+a_{n-1}}\ \forall\ n \geq 2[/mm] ist zu zeigen:
[mm]a_n < \wurzel{n} +1\ \forall\ n\in \IN[/mm].
I.A.: n=1: klar.
I.S.: [mm](n-1)\Rightarrow n[/mm]:
[mm]a_n=\wurzel{n+a_{n-1}} \stackrel{I.V.}{<} \wurzel{n+\wurzel{n-1}+1} < \wurzel{n+2*\wurzel{n}+1} =\wurzel{(\wurzel{n}+1)^2}=\wurzel{n}+1[/mm]
mfg
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Commotus |
Ich verstehe den Schritt des Einsetzens der Induktionsvoraussetzung nicht ganz, könntest du diesen Schritt wohl bitte nochmals kurz erläutern?
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Naja, wenn a<b, dann ist auch c+a < c+b. Und wegen der (strengen) Monotonie von der Wurzelfunktion ist dann auch [mm]\wurzel{c+a} < \wurzel{c+b}[/mm] Jetzt alles klar?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Commotus |
Wie aber kommst du bei a_(n-1) auf [mm] \wurzel{n-1} [/mm] + 1 ?
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Es ist Induktionsvoraussetzung, dass [mm]a_{n-1} < \wurzel{n-1}+1[/mm] ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Commotus |
Das heißt, ich darf von n-1 auf n schließen und(!) gleichzeitig die Induktionsvoraussetzung für n benutzen?
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Ähm, also ich verstehe nicht warum dir das so schwer fällt. Vielleicht solltest du dir nochmal andere Beispiele mit vollständiger Induktion anschauen.
Im Induktionsschritt benutze ich die Induktionsvoraussetzung, und zwar nur für das n-1. Folgenglied, alles völlig normales alltägliches Induktionsgeschäft.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Commotus |
Nicht schwierig, nur unklar. Für gewöhnlich schließt man von n auf (n+1). Das heißt die I.V. gelte für n. Kann ich jetzt die I.V. für n wie in diesem Falle gelten lassen und von (n-1) auf n schließen, oder muss ich die I.V. für (n-1) gelten lassen?
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implizit steht in meiner Antwort "die Behauptung gelte für n-1. (Induktionsvoraussetzung)". Allgemein kannst du die Induktion schreiben mit n-2 zu n-1, oder n-10 zu n-9 oder halt n-1 zu n. Oder wie du n zu n+1. Wichtig ist ja nur, dass es um das nächste n geht!
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