Wurfweite und -höhe < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Körper wird zur Zeit t = 0 unter einem Winkel [mm] \alpha [/mm] gegen die Horizontale mit der Geschwindigkeit [mm] v_0 [/mm] schräg nach oben geworfen. Die Gleichung der durchlaufenen Bahnkurve lautet in Parameterform wie folgt:
x = [mm] (v_0 [/mm] * [mm] cos(\alpha)) [/mm] * t
y = [mm] (v_0 [/mm] * [mm] sin(\alpha)) [/mm] * t - [mm] \bruch{1}{2}gt^2
[/mm]
für t [mm] \ge [/mm] 0. Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel in der Normalform, d.h. eliminieren Sie den Parameter t aus den Gleichungen.
Für die Anfangswerte [mm] v_0 [/mm] = 20 [mm] \bruch{m}{s}, \alpha [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{6} [/mm] und g = 10 [mm] m/s^2 [/mm] berechnen SIe die Wurfweite und die Wurfhöhe. |
Ich hab mal angefangen ein wenig zu rechnen, doch meine Ergebnisse sind zu abenteuerlich als das sie stimmen könnten, deswegen möcht ich erstmal hier meinen Gedankengang aufschreiben, vielleicht stimmt an dem was nicht.
Zuerst hab ich von der Parameterform das t auf die eine Seite gebacht und auf der anderen Seite hatte ich einen Term mit x drin. Dieses t setze ich in die Parameterform von y ein. Somit hatte ich nun eine Formel von y ohne t aber mit einem [mm] x^2. [/mm]
Wurfweite: Wenn ich mir das bildlich vorstelle, dann ist bei der Wurfweite y = 0. Ich setze das ein, nach der a,b,c-Formel bekomme ich zwei x-e heraus. Eins von beiden geht nicht, also nehme ich das andere. Damit hab ich die Wurfweite.
Die Wurfweite setze ich in die Parameterform vom x ein und habe so meine Zeit. Die Zeit kann ich nun in die Parameterform von y einsetzen und habe somit eine Formel mit nur einer Unbekannten, nämlich x.
Wurfhöhe = wenn die Ableitung von y = 0, also y' = 0. Das rechne ich aus und bekomme mein x. Dieses setze ich in y ein und habe somit meine Wurfhöhe.
Stimmt der Gedankengang oder mach ich hier was falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Do 19.08.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo john_rambo!
Das klingt soweit alles gut. Nur dass Du nach dem Einsetzen in die y-Paramtergleichung nicht nur einen [mm] $x^2$-Term [/mm] erhältst, sondern auch einen mit $x_$ .
Also dann: rechne hier mal vor ...
Gruß
Loddar
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Also meine Lösung:
x = [mm] (v_0 [/mm] * [mm] cos(\alpha)) [/mm] * t
t = [mm] \bruch{x}{v_0 * cos(\alpha)}
[/mm]
Eingesetzt in y:
y = [mm] (v_0 [/mm] * [mm] sin(\alpha)) [/mm] * [mm] \bruch{x}{v_0 * cos(\alpha)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * g * [mm] \bruch{x^2}{(v_0 * cos(\alpha))^2} [/mm] = [mm] \bruch{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} [/mm] * x - [mm] \bruch{g}{2 (v_0 * cos(\alpha))^2} [/mm] * [mm] x^2
[/mm]
[mm] v_0 [/mm] = 20 m/s
[mm] \alpha [/mm] = [mm] \pi/6
[/mm]
g = 10 [mm] m/s^2
[/mm]
hab ich folgendes raus:
y = -0,577x - [mm] 0,01x^2
[/mm]
[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{0,577 \pm 0,577}{2 * 0,01}
[/mm]
b = -0,577. [mm] b^2 [/mm] = [mm] (-0,577)^2 [/mm] = [mm] 0,577^2, [/mm] da in dieser Funktion c = 0, fällt die Determinante weg (also 4 * a * c) und übrig bleibt [mm] \wurzel{b^2}. [/mm] Deshalb hab ich das dann so hingeschrieben wie es nun da steht.
[mm] x_{1} [/mm] = 0
[mm] x_{2} [/mm] = -57,7
Da es ja nun eigentlich egal ist in welche Richtung man wirft, kann man ja -57,7 nehmen (so hab ich mir das zumindest gedacht).
-57,7 = (20 m/s * [mm] cos(\pi/6)) [/mm] * t
t = -3,33s
Ab hier hab ich mir schon Gedanken gemacht ... so richtig kann das hier nun doch nicht sein
y' = -0,577 - 0,02x
Einsetzen, ausrechnen, kam x = -288,5 raus, x in y Formel eingesetzt, kam raus
y = -665850 und das kann ja nun nicht wirklich der Fall sein :/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Do 19.08.2010 | | Autor: | john_rambo |
Ok, das Minuszeichen ist falsch. Das erklärt einiges.
0,01 = 1/60 gerundet ...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:26 Do 19.08.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> 0,01 = 1/60 gerundet ...
Das ist aber gefährlich.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:01 Do 19.08.2010 | | Autor: | john_rambo |
Also, jetzt hab ich natürlich
[mm] x_1 [/mm] = 57,7
[mm] x_2 [/mm] = 0
Wir nehmen [mm] x_1 [/mm] für die weitere Berechnung. Das ist unsere Wurfweite. Die Zeit wird berechnet
[mm] \bruch{57,7}{20 * cos(\pi/6)} [/mm] = 3,33s = t
Wir haben jetzt folgende Formel für y:
y = [mm] -0,01x^2 [/mm] + 0,577x
y' = -0,02x + 0,577
Das setzen wir gleich null, also y' = 0 => x = 288,5
Setzen wir in y ein: y = -665,858
Das kann aber auch nicht ganz sein, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 Do 19.08.2010 | | Autor: | abakus |
> Also, jetzt hab ich natürlich
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> [mm]x_1[/mm] = 57,7
> [mm]x_2[/mm] = 0
>
> Wir nehmen [mm]x_1[/mm] für die weitere Berechnung. Das ist unsere
> Wurfweite. Die Zeit wird berechnet
>
> [mm]\bruch{57,7}{20 * cos(\pi/6)}[/mm] = 3,33s = t
>
> Wir haben jetzt folgende Formel für y:
>
> y = [mm]-0,01x^2[/mm] + 0,577x
> y' = -0,02x + 0,577
>
> Das setzen wir gleich null, also y' = 0 => x = 288,5
Hallo,
ich habe da ca. 28 raus.
Aber, wie gesagt, das Runden von 1/60 auf 0,01 (in Wirklichkeit 0,016666...) macht außerdem einen bösen relativen Fehler , denn 0,01 ist 40% zu klein!
Gruß Abakus
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> Setzen wir in y ein: y = -665,858
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> Das kann aber auch nicht ganz sein, oder?
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Wie kommst Du auf das vordere Minuszeichen?
