Würfeln -> W.keit Sohn gewinnt < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 So 24.07.2005 | | Autor: | Didi |
Hallo,
Ich versuche gerade ein paar Aufgaben zu rechnen, komm mit dieser einen aber nicht klar. Wäre super, wenn mir da jemand helfen könnte.
Vater V und Sohn S würfeln mit einem fairen Würfel in der Reihenfolge: VSSVSVSVSVS...
Frage: Der Spieler, der die erste 6 würfelt, gewinnt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt der Sohn?
Ich habe überhaupt keine Ahnung, wie ich da rangehen muss.
Klar ist, dass eine geometrische Verteilung vorliegt und die W.-keit eine 6 zu würfeln 1/6 beträgt. Wie mach ich aber weiter?
Danke!
PS: Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Didi,
Ich nehme jetzt einmal an, dass Vater und Sohn jeweils abwechselnd würfeln, und Du einen Tippfehler gemacht hast, als Su den Sohn zwei Mal würfeln ließest. Sonst müsstet Du meinen Ansatz aber problemlos modifizieren können.
Nähern wir uns der Sache mal langsam:
P(Vater gewinnt beim ersten Mal) = 1/6
P(Sohn gewinnt beim ersten Mal) = 5/6 * 1/6 (Der Vater darf keine 6 würfeln UND der Sohn muss eine 6 würfeln.)
P(Vater gewinnt beim zweiten Mal) = [mm] (5/6)^2 [/mm] * 1/6 (Vater UND Sohn dürfen beim ersten Mal keine 6 würfeln UND der Vater muss beim zweiten Mal eine 6 würfeln.)
usw. usf.
Jetzt allgemein:
P(Vater gewinnt beim n-ten Mal) = [mm] (5/6)^{2*(n-1)} [/mm] * 1/6 (Vater und Sohn dürfen in den n-1 Runden zuvor jeweils keine 6 würfeln. Dann muss der Vater eine 6 würfeln.)
P(Sohn gewinnt beim n-ten Mal) = [mm] (5/6)^{2*(n-1)} [/mm] * 5/6 *1/6 (Vater und Sohn dürfen in den n-1 Runden zuvor jeweils keine 6 würfeln UND der Vater darf in Runde n keine 6 würfeln. Dann muss der Sohn eine 6 würfeln.)
Um die Wahrscheinlichkeiten für das gesamte Spiel zu bekommen, muss man diese Wahrscheinlichkeiten nun noch aufsummieren. (Der Vater gewinnt beim ersten Mal ODER beim zweiten Mal ODER ... )
Also hat man:
P(Vater gewinnt) = [mm] $\summe_{n=0}^\infty \bruch{5}{6}^{2n} [/mm] * [mm] \bruch{1}{6}$ [/mm] = ... = 6/11
P(Sohn gewinnt) = 1 - 6/11 = 5/11. (Man könnte natürlich auch hier die Summe bilden, aber so geht es schneller.)
Fazit: Da der Vater in jeder Runde den Vorteil des ersten Wurfs hat, ist seine Gewinnwahrscheinlichkeit etwas höher.
Liebe Grüße,
Holy Diver.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 Mo 25.07.2005 | | Autor: | Didi |
Hallo holy_diver_80,
Das war kein Rechstschreibfehler. Der Sohn würfelt am Anfang wirklich 2x. Werd es mit deiner Lösung nochmal probieren. Viele Dank für die schnelle Antwort.
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