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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:09 So 13.10.2013 | | Autor: | ATDT |
| Aufgabe | | Ein fairer Würfel wird 180 mal geworfen. Wie groß ist näherungsweise die Wahrscheinlichkeit höchstens 25 mal die Augenzahl 1 zu würfeln? |
Liebe Mathematiker,
Auch hier brauche ich jemanden der mir helfen kann.
Zum Lösen dieser Aufgabe soll nur ein gewöhnlicher Taschenrechner ausreichen. (nicht programmierbar, nicht grafisch)
Sorry eine Tabelle für die Standardnormalverteilung darf genutzt werden!
Gegeben ist ein fairer Würfel.
Die Wahrscheinlichkeiten sind also gleichverteilt.
Je [mm] \bruch{1}{6} [/mm] für 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit für den gefragten Fall? [mm] P(X\le25) [/mm] = P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = 25) ? Das muss doch irgendwie einfacher gehen? Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:43 Do 17.07.2014 | | Autor: | ATDT |
Liebe Forenteilnehmer,
Bei dieser Aufgabe wird die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von höchstens 25 mal der Augenzahl 1 beim 180-maligen Wurf gesucht.
Also P([X [mm] \le [/mm] 25]), wobei X die Zufallsvariable für das Auftreten von höchstens 25 mal der Augenzahl 1 ist.
Gegeben ist die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer 1 (bei einem fairen Würfel)
Also [mm] p_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6} [/mm]
Berechnung des Erwartungswertes:
[mm] \mu [/mm] = n*p
[mm] \mu [/mm] = [mm] 180*\bruch{1}{6} [/mm] = 30
Standardabweichung:
[mm] \sigma [/mm] = [mm] \wurzel{n*p*q}
[/mm]
[mm] \sigma [/mm] = [mm] \wurzel{180*\bruch{1}{6}*\bruch{5}{6}} [/mm] = 5 > 3
Die Laplace-Bedingung wäre damit erfüllt
Berechne nun den z-Wert:
z = [mm] \bruch{X-\mu}{\sigma} [/mm]
z = [mm] \bruch{25-30}{5} [/mm] = -1
z-Wert aus der Tabelle für die Standardnormalverteilung: 0,8413
Da ich den positiven z-Wert aus der Tabelle abgelesen habe rechne ich um:
1-0,8413 = 0,1587
Die Wahrscheinlichkeit P([X [mm] \le [/mm] 25]) [mm] \approx [/mm] 15,87%
Ist das richtig? Ich danke euch im Voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 Do 17.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> 1-0,8413 = 0,1587
> Die Wahrscheinlichkeit P([X [mm]\le[/mm] 25]) [mm]\approx[/mm] 15,87%
>
> Ist das richtig? Ich danke euch im Voraus
Ja, das kommt hin. Genauer wird es mit der sog. Stetigkeitskorrektur, dabie verwendest du einfach anstelle von X=25 X=25,5.
Damit solltest du auf rund 18,4% kommen und das liegt schon recht nah am genauen Ergebnis, welches 18,51% ist.
Gruß RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 Do 17.07.2014 | | Autor: | ATDT |
Vielen Dank für den Tipp und für das Feedback
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 So 13.10.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du kannst die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximieren.
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Hallo,
zusätzlich zur schon gegebenen Antwiort möchte ich noch eine Idee in den Raum werfen, die hieße Poisson-Verteilung.
Es ist mir dabei klar, dass das obige Problem das Kriterium für ein gute Näherung wegen
[mm] p=\bruch{1}{6}>0.05
[/mm]
nicht erfüllt, und tatsächlich bekommt man mit diesem Ansatz eine Abweichung um 12.4% nach oben. Nur steht halt in der Aufgabe die Restriktion mit dem Taschenrechner. Erhebt sich die Frage: darf ein Tabellenwerk für die Normalverteilung verwendet werden, dann ist sicherlich der Ansatz gemeint, den ullim schon gepostet hat. Falls dies nicht der Fall ist, könnte eventuell jemand die Annäherung durch die Poissonverteilung im Sinn gehabt haben, ohne dabei wirklich nachzupüfen, ob das hier sinnvoll ist...
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:09 So 13.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo ATDT,
> Ein fairer Würfel wird 180 mal geworfen. Wie groß ist
> näherungsweise die Wahrscheinlichkeit höchstens 25 mal
> die Augenzahl 1 zu würfeln?
> Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit für den gefragten
> Fall? [mm]P(X\le25)[/mm] = P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = 25) ?
Ein kleiner Hinweis: Du solltest vorher sagen, was die Zufallsgröße $X$ bezeichnen soll (nämlich die Anzahl der Einsen bei den 180 Würfen).
Viele Grüße
Tobias
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