Würfel geschnitten mit Parabel < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachte den Würfel
W:= [mm] [0,1]^3 [/mm] = {(x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] | 0 [mm] \le [/mm] x,y,z [mm] \le [/mm] 1}
P:= [mm] {(x,y,z)\in \IR^3|0 \le z \le x^2+y^2}
[/mm]
a) Man skizziere W und P
b) Man berechne das Volumen von W [mm] \cap [/mm] P
c) Man berechne das Volumen von [mm] W\P [/mm] |
also gut meine skizze kann ich hier nicht iwie zeigen,also fang ich mal mit aufgabenteil b an.
ich hab momentan nur so eine grobe idee, aber ich hab noch einige schwierigkeiten bzw fehlende übungen mit umgang mit doppelintegralen.
[mm] \integral_0^1 \integral_0^1 x^2 +y^2 [/mm] dy dx
dies würde wenn ich mich nicht irre das volumen beschreiben das unterhalb der dreidimensionale parabel verläuft.
also hab ich mir gedacht ich ziehe das volumen des quaders von dem volumen unterhalb der parabel ab und erhalte die schnittmenge zwischen parabel und quader.
[mm] \integral_0^1 \integral_0^1 [/mm] 1 dy dx - [mm] \integral_0^1 \integral_0^1 x^2 +y^2 [/mm] dy dx
aber dies erscheint mir nicht ganz richtig weil wenn ich mir beispielsweise einen zweidimensionalen abschnitt anschaue zum beispiel x-z ebene und zwar bei y = 0,5 oder 0,7 oder wo auch immer dann würd ich ja mit dem [mm] \integral_0^1 x^2 [/mm] dx mit der parabel bei x=1 außerhalb der rechteckhöhe von 1 sein und würde dann ein volumen unterhalb der parabale haben dass auch teilweise ausserhalb des rechtecks ist und dann könnte ich nicht einfach das volumen des rechtecks minus dem der parabel rechnen um die schnittenge beider zu haben. hmm ich weiß nicht ob ihr grad mein problem verstehen könnt mir fällt das grad voll schwer das in worte zu fassen ohne einer skizze hier.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:46 Sa 15.11.2008 | | Autor: | abakus |
> Betrachte den Würfel
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> W:= [mm][0,1]^3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {(x,y,z) [mm]\in \IR^3[/mm] | 0 [mm]\le[/mm] x,y,z [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1}
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> P:= [mm]{(x,y,z)\in \IR^3|0 \le z \le x^2+y^2}[/mm]
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> a) Man skizziere W und P
> b) Man berechne das Volumen von W [mm]\cap[/mm] P
> c) Man berechne das Volumen von [mm]W\P[/mm]
> also gut meine skizze kann ich hier nicht iwie zeigen,also
> fang ich mal mit aufgabenteil b an.
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> ich hab momentan nur so eine grobe idee, aber ich hab noch
> einige schwierigkeiten bzw fehlende übungen mit umgang mit
> doppelintegralen.
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> [mm]\integral_0^1 \integral_0^1 x^2 +y^2[/mm] dy dx
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> dies würde wenn ich mich nicht irre das volumen beschreiben
> das unterhalb der dreidimensionale parabel verläuft.
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> also hab ich mir gedacht ich ziehe das volumen des quaders
> von dem volumen unterhalb der parabel ab und erhalte die
> schnittmenge zwischen parabel und quader.
Hallo,
bei P handelt es sich um einen Rotationskörper. Die Parabel [mm] z=x^2 [/mm] rotiert um die z-Achse. Du brauchst also keine Doppelintegrale, sondern nur die Volumenformel für Rotationskörper. Der Schnitt mit W reduziert diesen Rotationskörper auf ein Viertel seines Volumens (die restlichen drei Viertel liegen im 2., 3. bzw. 4. Oktanten.
Gruß Abakus
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> [mm]\integral_0^1 \integral_0^1[/mm] 1 dy dx - [mm]\integral_0^1 \integral_0^1 x^2 +y^2[/mm]
> dy dx
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> aber dies erscheint mir nicht ganz richtig weil wenn ich
> mir beispielsweise einen zweidimensionalen abschnitt
> anschaue zum beispiel x-z ebene und zwar bei y = 0,5 oder
> 0,7 oder wo auch immer dann würd ich ja mit dem
> [mm]\integral_0^1 x^2[/mm] dx mit der parabel bei x=1 außerhalb der
> rechteckhöhe von 1 sein und würde dann ein volumen
> unterhalb der parabale haben dass auch teilweise
> ausserhalb des rechtecks ist und dann könnte ich nicht
> einfach das volumen des rechtecks minus dem der parabel
> rechnen um die schnittenge beider zu haben. hmm ich weiß
> nicht ob ihr grad mein problem verstehen könnt mir fällt
> das grad voll schwer das in worte zu fassen ohne einer
> skizze hier.
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also gut mein ergebnis sieht dann folgendermaßen aus:
zu b):
Volumen von P:= [mm] \bruch{1}{4}*\pi*\integral_0^1 \wurzel{z}^2 [/mm] dz = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_0^1 [/mm] z dz = [mm] \bruch{\pi}{8}
[/mm]
zu c)
Volumen des Würfels:
1*1*1=1
also:
V_Wuerfel-V_Parabel = 1 - [mm] \bruch{\pi}{8} [/mm] = [mm] \bruch{8-\pi}{8}
[/mm]
ist die aufgabe so richtig gelöst?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 So 16.11.2008 | | Autor: | xxyy |
Hallo,
ich habe das mit der Formel Rotationsparaboloid gelöst, das geht auch
Formel V=(1/2)*pi*a²*h²
b) Vp=(1/2)*pi
[mm] W\P= [/mm] (pi/3)*(1/4)=pi/8
c) habe ich so wie du
sorry ich bin neu hier , und mich mit den einfügen der zeich vertraut mache
ich glaube wir haben bei dem gleichem proffessor
es sind die gleichen aufgaben
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 So 16.11.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
ja hab bei wedhorn... ja wir haben dasselbe ergebnis das ist dann schonmal gut
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 So 16.11.2008 | | Autor: | xxyy |
genau wedhorn!!!
Das ergebnis ist richtig bei a)und b)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 So 16.11.2008 | | Autor: | xxyy |
Wir können uns gerne morgen treffen bevor wir die aufgaben abgeben müssen
Ich habe es gerade versucht mit den zeichen, aber klappt micht!
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