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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:32 So 09.05.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Gegeben sind der Punkt [mm] A_{1}(6/5/1) [/mm] und die Gerade [mm] \overrightarrow{x}: \vektor{2\\0\\-1}+t\vektor{2\\1\\-2}
[/mm]
Die Kante [mm] D_{1},D_{2} [/mm] eines Würfels [mm] A_{1},B_{1},C_{1},D_{1},A_{2},B_{2},C_{2},D_{2} [/mm] mit Grundfläche [mm] A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} [/mm] liegt auf der Geraden g. Berechne die Koordinaten von [mm] B_{1}, C_{1} [/mm] und [mm] D_{1}. [/mm] |
Also zuerst die Ebene, welche senkrecht zu der Geraden [mm] \overrightarrow{x} [/mm] steht und den Punkt [mm] A_{1} [/mm] aber noch drin hat:
als Normalenvektor der Geraden nehme ich: [mm] \vektor{-2\\0\\2} [/mm]
ergibt dann für die Ebenengleichung: $-2x+2z+10=0$
[mm] \overrightarrow{x}: [/mm]
$x= 2+2t$
$y= t$
$z= -1-2t $
eingesetzt ergibts dann den Schnittpunkt zwischen der Ebene und der Geraden [mm] \overrightarrow{x}: \vektor{3\\0.5\\-2} [/mm] das ist der Punkt [mm] $D_{1}$.
[/mm]
Wie komme ich jetzt aber auf [mm] B_{1} [/mm] und [mm] C_{1}? [/mm]
IHDFIKAFG und bin für jede Antwort dankbar.
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Hallo kushkush,
erstmal muss ich den Vorgehen für Punkt [mm] D_{1} [/mm] etwas korrigieren. Deine Überlegung, eine Ebene in Normalform aufzustellen ist richtig. Da die Ebene senkrecht zur Gerade sein soll, musst du als Normalenvektor den Richtungsvektor der Gerade nehmen:
2x-z=k liefert mit [mm] A_{1} [/mm] nun k=2*6-2=10 also 2x-z=10.
Wenn du dann [mm] D_{1} [/mm] nach deiner Methode bestimmt hast, kannst du [mm] C_{1} [/mm] z.B. wie folgt bestimmen:
Du brauchst einen Vektor, der senkrecht auf den Vektoren zwischen den Punkten [mm] A_{1},D_{1} [/mm] und [mm] D_{2} [/mm] steht. Den bekommst du entweder mit dem Vektorprodukt der Vektoren zwischen jeweils zwei Punkten. Wenn ihr das Vektorprodukt noch nicht kennengelert habt, kannst du auch eine Ebenengleichung in Normalform aufstellen und den Normalenvektor ablesen. Von [mm] D_{1} [/mm] gehst du dann in Richtung des neuen Normalenvektors so weit, wie der Abstand von [mm] A_{1} [/mm] nach [mm] D_{1} [/mm] ist.
Ich denke das sollte dir so weit helfen, die anderen Punkte auch zu bestimmen.
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Hallo!
Wenn ich den Richtungsvektor nehme, dann erhalte ich für die Gleichung der Ebene:
$2x+y-2z-13=0$
wenn ich dann [mm] \overrightarrow{x} [/mm] mit dieser Ebene schneide erhalte ich für $t$:
[mm] $t=\frac{7}{11}$ [/mm] und für [mm] $D_{1}$ [/mm] also [mm] \vektor{3 \frac{3}{11}\\ \frac{7}{11} \\ -2 \frac{3}{11}}
[/mm]
Habe ich richtig verstanden, dass ich um den gegenüberliegenden Vektor von [mm] D_{1} zu [/mm] erhalten, das Vektorprodukt von [mm] \overrightarrow{x} [/mm] und [mm] \overrightarrow{D_{1}A_{1}} [/mm] nehmen soll - und der Betrag davon gleich dem Betrag von [mm] \overrightarrow{D_{1}A_{1}} [/mm] sein muss?
Danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:20 Mo 10.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 Mo 10.05.2010 | | Autor: | weduwe |
> Hallo!
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> Wenn ich den Richtungsvektor nehme, dann erhalte ich für
> die Gleichung der Ebene:
>
> [mm]2x+y-2z-13=0[/mm]
>
> wenn ich dann [mm]\overrightarrow{x}[/mm] mit dieser Ebene schneide
> erhalte ich für [mm]t[/mm]:
> [mm]t=\frac{7}{11}[/mm] und für [mm]D_{1}[/mm] also [mm]\vektor{3 \frac{3}{11}\\ \frac{7}{11} \\ -2 \frac{3}{11}}[/mm]
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> Habe ich richtig verstanden, dass ich um den
> gegenüberliegenden Vektor von [mm]D_{1} zu[/mm] erhalten, das
> Vektorprodukt von [mm]\overrightarrow{x}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{D_{1}A_{1}}[/mm] nehmen soll - und der Betrag
> davon gleich dem Betrag von [mm]\overrightarrow{D_{1}A_{1}}[/mm]
> sein muss?
>
>
> Danke!
mit [mm] (\vektor{2\\0\\-1}+t\vektor{2\\1\\-2}-\vektor{6\\5\\1})=0 [/mm] bekomme ich t=1
und [mm] D_1(4/1/-3) [/mm] und damit die länge s = 6
mit [mm] \overrightarrow{A_1D}_1\times\vektor{2\\1\\-2}\equiv\vektor{2\\-2\\1}
[/mm]
bekommst du
[mm] \overrightarrow{OC}_1=\overrightarrow{OD}_1\pm \frac{6}{3}\cdot\vektor{2\\-2\\1}\to C_{11}(8/-3/-1)
[/mm]
[mm] \overrightarrow{OB}_1=\overrightarrow{OA}_1+\overrightarrow{D_1C}_1
[/mm]
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