Woran erkennt man einen Sattelpunkt/Terassenpunkt < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Do 02.09.2004 | | Autor: | Disap |
Ich gebe mal ein Beispiel:
Ableitung: - [mm] \bruch{2}{3}x^{3}+2x+\bruch{4}{3}
[/mm]
0= [mm] x^{3}-3x+2
[/mm]
Wobei die "Nullstellen" hier 1 und -2 sind.
(Die ERgebnisse muss man wohl abschätzen, ohne irgendwelche komplizierten Formeln benutzen)
jedenfalls setzt man dann diese Werte ja in die zweite Ableitung ein,
[mm] f''(x)=-2x^{2}+2
[/mm]
ergibt ja:
f''(1) = 0
weitere Rechnungen für die Wendepunkte:
f''(x) = 0
...
[mm] x^{2} [/mm] -1
x=1, - 1
warum hat man hier nun einen Sattelpunkt bei 1|0 ?
Die Bedinung dafür ist doch, dass die erste Ableitung und zweite Ableitung NULL ergibst. Oder wie ist das?
(da könnten einige Tippfehler in der Rechnung drin sein[habe zwar keine gefunden...], aber von den ERgebnissen her, ist es richtig)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 Do 02.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Disap!
Ich nehme mal an, du meinst:
[mm]-\bruch{2}{3}x^{3}+2x\red{-}\bruch{4}{3}[/mm],
oder?
Daraus folgt dann nämlich:
> 0= [mm]x^{3}-3x+2[/mm]
> Wobei die "Nullstellen" hier 1 und -2 sind.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (Die ERgebnisse muss man wohl abschätzen, ohne
> Ableitung: - [mm]\bruch{2}{3}x^{3}+2x+\bruch{4}{3}[/mm]
> irgendwelche komplizierten Formeln benutzen)
Ja, oder aber die Formel von Cardano benutzen (wurde zuletzt hier noch einmal diskutiert).
> jedenfalls setzt man dann diese Werte ja in die zweite
> Ableitung ein,
> [mm]f''(x)=-2x^{2}+2
[/mm]
> ergibt ja:
> f''(1) = 0
> weitere Rechnungen für die Wendepunkte:
> f''(x) = 0
> ...
> [mm]x^{2}[/mm] -1
> x=1, - 1
> warum hat man hier nun einen Sattelpunkt bei 1|0 ?
>
> Die Bedinung dafür ist doch, dass die erste Ableitung und
> zweite Ableitung NULL ergibst. Oder wie ist das?
Halt: Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.
Notwendig ist dafür die von dir beschriebene Bedingung, hinreichend jedoch nicht.
Du müsstest noch nachweisen, dass die dritte Ableitung an der Stelle $x=1$ nicht verschwindet (also nicht gleich $0$ ist). Das wäre dann hinreichend für einen Wendepunkt.
Sollte die dritte Ableitung an der betreffenden Stelle auch verschwinden, musst du so lange ableiten, bis die $n$-te Ableitung irgendwann mal (zum ersten Mal) nicht verschindet. Wenn dieses $n$ dann ungerade ist, dann handelt es sich um einen Wendepunkt (also bei zugleich verschwindender erster Ableitung um einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente, also um einen Sattelpunkt).
Ansonsten hast du es verstanden. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Do 02.09.2004 | | Autor: | Disap |
Also, wenn ich z.B.
f'(x) = 3 herausbekomme -> setze ich das in die zweite ableitung ein?
f''(3) = 0 <--- ist schon einmal ein Zeichen, dass da ein Sattelpunkt ist
dann f'''(3) = 0
und das ist jetzt der Beweis für den Sattelpunkt?> Hallo Disap!
Übrigens danke für die Antwort :)
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Hallo, Disap.
Mein Vorredner hat zwar schon einiges von dem geschrieben, was ich jetzt schreibe, aber die Masse macht's ;)
Ein Sattelpunkt ist allgemein ein Wendepunkt mit Steigung Null. Das heißt, du musst zuerst nachweisen, wo die erste Ableitung Null ist. Also f'(x)=0.
Bei dir ist [mm] f'(x)=-\bruch{2}{3}x^3+2x-\bruch{4}{3}. [/mm] Die Nullstellen der Ableitung sind [mm] x_1=1 [/mm] und [mm] x_2=-2.
[/mm]
Du musst jetzt nur noch überprüfen, ob an [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] eine Wendestelle vorliegt. Ist dies der Fall, hast du einen Sattelpunkt.
Notwendige Bedingung Wendestellen:
[mm] f''(x_0)=0 \gdw x_0 [/mm] ist mögliche Wendestelle von f
Hinreichende Bedingung Wendestellen:
[mm] f''(x_0)=0\wedge f'''(x_0)\ne [/mm] 0 [mm] \gdw x_0 [/mm] ist Wendestelle von f
Ableitungen berechnen:
[mm] f''(x)=-2x^2+2
[/mm]
f'''(x)=-4x
Einsetzen der möglichen Wendestellen:
f''(1)=0 f'''(1)=-4 [mm] x_1 [/mm] Wendestelle und somit Sattelstelle von f
f''(-2)=-6 an [mm] x_2 [/mm] kann kein Wendepunkt und somit kein Sattelpunkt sein.
Also ist der Punkt [mm] S(1|-\bruch{1}{2}) [/mm] ein Sattelpunkt der Funktion f.
Gruß, Integralswächter.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:35 Di 22.08.2006 | | Autor: | Blaub33r3 |
HI!!, Ich hab noch nicht integrieren gelernt und interessiere mich gerade auf für diesen Sattelpunkt, und ich habs auch schon gut verstanden, aber um mir den Sattelpunkt nochmal genau zuveranschaulichen fänd ich es super wenn ihr f' mal in f umwandelt damit ich das zeichen kann =) mfg beere
$ [mm] \bruch{2}{3}x^{3}+2x+\bruch{4}{3} [/mm] $ = f'
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Di 22.08.2006 | | Autor: | Disap |
> HI!!, Ich hab noch nicht integrieren gelernt und
Hallo Blaub33r3 und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!!
> interessiere mich gerade auf für diesen Sattelpunkt, und
> ich habs auch schon gut verstanden, aber um mir den
> Sattelpunkt nochmal genau zuveranschaulichen fänd ich es
> super wenn ihr f' mal in f umwandelt damit ich das zeichen
> kann =) mfg beere
> [mm]\bruch{2}{3}x^{3}+2x+\bruch{4}{3}[/mm] = f'
>
Die Ableitung lautete aber eigentlich:
$f'(x) = [mm] \red{-}\bruch{2}{3}x^{3}+2x\red{-}\bruch{4}{3}$
[/mm]
Die zugehörige Stammfunktion, also f(x) lautet also:
$f(x) = - [mm] \br{1}{6}x^4+x^2-\br{4}{3}x+c$
[/mm]
Das c hat keinerlei Auswirkung auf die x-Koordinate des Sattelpunkts. Daher ist eine mögliche Stammfunktion:
$f(x) = - [mm] \br{1}{6}x^4+x^2-\br{4}{3}x$
[/mm]
oder aber auch
$f(x) = - [mm] \br{1}{6}x^4+x^2-\br{4}{3}x+1$
[/mm]
Die Konstante 'c' fällt beim Ableiten ja weg.
Für die von dir genannte Ableitung müsste man nur einige Vorzeichen ändern.
Viele Grüße
Disap
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Ok, danke^^ gut hab mir das jetz am Plotter ma angeschaut...nu gut, hab mir weil ich dachte du würdest mir eh nich antworten weil der thread ja paar jahre zurück liegt... hm also "kann" man sagen, dass der Sattelpunkt dort ist, wo die 1te Ableitung der Stammfunktion die x-Achse berüht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Di 22.08.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Blaub33r3!
> also "kann" man sagen, dass der Sattelpunkt dort ist, wo die 1te
> Ableitung der Stammfunktion die x-Achse berüht?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Ja, so kann man das sagen ...
Gruß
Loddar
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