Wohldefinierte, holomorphe Abb < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 So 15.06.2008 | | Autor: | Olek |
| Aufgabe | Wir betrachten die Abbildung h, definiert durch [mm] z\mapsto ie^{\bruch{1}{2}(Log(iz-1)+Log(iz+1))}.
[/mm]
1. Zeigen Sie: Auf [mm] \IC [/mm] \ i[-1,1] ist h wohldefiniert und holomorph.
2. Zeigen Sie, dass ha eine Bijektion von [mm] \IC [/mm] \ i[-1,1] nach [mm] \IC [/mm] \ [-1,1] definiert. Wie lautet die Umkehrabbildung?
3. Zeigen Sie, dass auch die Umkehrabbildung holomorph ist. |
Hallo,
diese Aufgabe irritiert mich. Zu Beginn des Semesters habe ich gehört, dass bestimmte Potenzgesetze im Komplexen nicht gelten. Daher weiß ich nun nicht, was man mit der Funktion alles machen darf. des weiteren verstehe ich nicht, was das i vor dem Intervall soll. das hab ich so noch nicht gesehen.
Ich würde mich freuen wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte, und im besten Fall sogar einen kleinen Ansatz geben könnte wie ich an die Aufgabe rangehen sollte.
Beste Grüße und schon mal vielen Dank,
Olek
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:48 Mo 16.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Mit Log wird wohl der Hauptzweig des komplexen Logarithmus gemeint sein.
Wenn Du weißt, wo dieser holomorph ist, weißt Du auch wo h holomorph ist.
C \ i[-1.1] = C \ {it: t in [-1,1]}
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:48 Di 17.06.2008 | | Autor: | Jazz2 |
Log(z)=lnIzI + i Arg(z)
Wenn du [mm] Arg(z)\in(-\pi,\pi] [/mm] wählst, dann ist der Log für alle z [mm] \in \IC \setminus\{0\} [/mm] definiert und aufgrund des Arg(z) für alle z [mm] \in \IC \setminus(-\infty,0] [/mm] stetig.
[mm] Log(zw)=Log(z)+Log(w)+2k\pi [/mm] i
Für z,w [mm] \in \IC \setminus\{0\} [/mm] und es gibt [mm] k\in\{-1,0,1\}
[/mm]
[mm] Log(z^n)=nLog(z)+2k\pi [/mm] i
Für [mm] z\in\IC \setminus\{0\} [/mm] , [mm] n\in\IN [/mm] und es gibt [mm] k\in\{-n+1,.....,n-1\}
[/mm]
[mm] e^{aLog(z)} [/mm] = [mm] z^a [/mm]
Für [mm] z\in\IC \setminus\{0\}, a\in\IC
[/mm]
Für [mm] a\not\in\IZ [/mm] ist die Funktion nur stetig auf [mm] \IC \setminus(-\infty,0]
[/mm]
Das i[-1,1] bedeutet, dass du dich auf der Imaginären Achse im Intervall [-1,1] befindest.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:30 Di 17.06.2008 | | Autor: | Olek |
... diese Erklärung hab ich in der Form mal gebraucht :)
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