Wölbung der Normalverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 Mi 04.01.2006 | | Autor: | ferramis |
| Aufgabe | | Zeigen Sie das das vierte zentrale Moment der Normalverteilung gleich dreimal ihre Varianz ist. |
Ich weiss zwar, dass das dritte moment null und das vierte 3*varianz ist, habe aber nicht herausgefunden, wie man es zeigt.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: ![[]](/images/popup.gif) http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/49081,0.html
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Mi 04.01.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Ferramis
Sei [mm] $\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac12(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$ [/mm] die Normalverteilung [mm] $N(\mu,\sigma)$. [/mm] Dann ist das 3. Moment gegeben durch
[mm] $\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^3\varphi(x)\,dx= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^3 e^{-\frac12(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}dx$
[/mm]
Die übliche Substitution [mm] $\tilde x=\frac{x-\mu}{\sigma}$, $d\tilde x=dx/\sigma$ [/mm] führt zu
[mm] $=\frac{\sigma^3}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\tilde x^3e^{-\frac12 \tilde x^2}d\tilde [/mm] x=0$,
da die Funktion im Integranden ungerade ist.
Analog für das 4. Moment (gleiche Substitution wie oben)
[mm] $\dots [/mm] = [mm] \frac{\sigma^4}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\tilde x^4e^{-\frac12 \tilde x^2}d\tilde [/mm] x [mm] =\frac{\sigma^4}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\underbrace{\tilde x^3}_{u}\underbrace{\tilde xe^{-\frac12 \tilde x^2}}_{v'}d\tilde [/mm] x $
Jetzt partiell integrieren.
[mm] $=\frac{\sigma^4}{\sqrt{2\pi}}\left(\underbrace{-\tilde x^3e^{-\frac12 \tilde x^2}\Big|_{-\infty}^{\infty}}_{0}+3\int_{-\infty}^{\infty} \tilde x^2 e^{-\frac12 \tilde x^2}d\tilde x\right)$
[/mm]
[mm] $=3\frac{\sigma^4}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \tilde x^2 e^{-\frac12 \tilde x^2}d\tilde x=3\sigma^4$, [/mm] da [mm] $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \tilde x^2 e^{-\frac12 \tilde x^2}d\tilde [/mm] x=1$.
Da die Varianz [mm] $\sigma^2$ [/mm] ist, ist daher das 4. Moment 3 Mal Varianz im Quadrat.
mfG Moudi
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