Wo ist die Funktion holomorph < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $g(z) := [mm] \frac{x^2}{x^2+y^2}+i*\frac{y^2}{x^2+y^2}$
[/mm]
mit $z = x + iy$ und $z [mm] \neq [/mm] 0$
Auf welchen Mengen ist diese Funktion holomorph? |
Hi,
also wenn $u(x,y) = [mm] \frac{x^2}{x^2+y^2}$ [/mm] und $v(x,y) = [mm] \frac{y^2}{x^2+y^2}$, [/mm] dann kriege ich für die Cauchy-Riemannschen DGLn heraus dass:
[mm] $2xy^2 [/mm] = [mm] 2yx^2$ [/mm] und $-2x^2y = [mm] 2xy^2$
[/mm]
dass gilt dann nur wenn $x=0$ oder $y=0$. Also wäre die Funktion auf den Mengen:
[mm] $\{ (x,y) | x = 0, y < 0 \}$
[/mm]
[mm] $\{ (x,y) | x = 0, y > 0 \}$
[/mm]
[mm] $\{ (x,y) | x < 0, y = 0 \}$
[/mm]
[mm] $\{ (x,y) | x > 0, y = 0 \}$
[/mm]
holomorph.
Stimmt das so?
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Diese Funktion ist auf den von dir bestimmten Halbgeraden komplex differenzierbar. Sie ist dort aber nicht holomorph, denn die Halbgeraden sind in [mm]\mathbb{C}[/mm] nicht offen.
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also ist die Funktion nirgends holomorph? Andere Mengen gibt es ja nicht auf denen sie komplex diffbar wäre, oder hab ich was übersehen?
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Richtig. Nirgends holomorph.
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