Wkt.Verteilung bestimmen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 Sa 16.05.2015 | | Autor: | Frosch20 |
| Aufgabe | In einem Hut liegen $n$ Zettel beschriftet mit den Ziffern $1,...,n$. Es werden nacheinander (ohne Zurucklegen) zwei Zettel herausgenommen. Die Zufallsvariable $X$ bezeichne die erste gezogene Zahl, die Zufallsvariable $Y$ bezeichne die kleinere der beiden gezogenen Zahlen.
(a) Geben Sie die Wertebereiche und die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der beiden Zufallsvariablen an, sowie ihre gemeinsame Verteilung.
(b) Sind $X$ und $Y$ unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort!
(c) Es sei nun die Zufallsvariable $Z$ definiert als $Z := X-Y$. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Z$ unter Verwendung der gemeinsamen Verteilung von $X$ und $Y$ an. |
Die Aufgabe bereitet mir momentan noch etwas schwierigkeiten.
(a) Wir haben also einen Ergebnisraum [mm] $\Omega:=\{\omega=(\omega_1,\omega_2)| \omega_1,\omega_2\in \{1,...,n\}: \omega_1<\omega_2 \}$ [/mm] mit [mm] $P(\{\omega_i\})=\frac{1}{n}$.
[/mm]
[mm] $X:=\text{die erste gezogene Zahl}$
[/mm]
[mm] $Y:=\text{die kleinere der beiden gezogenen Zahlen}$
[/mm]
Also lässt sich die Zufallsgröße X, darstellen als [mm] $X:\Omega \to \{1,...,n\}$; $W(X):=\{1,...,n\}$
[/mm]
mit [mm] $X(\omega)=\omega_1$,
[/mm]
sowie [mm] $Y:\Omega \to \{1,...,n-1\}$; $W(Y):=\{1,...,n-1\}$
[/mm]
mit [mm] $Y(\omega)=min\{\omega_1,\omega_2\}$.
[/mm]
Demnach wäre $X$ gleichverteilt, da [mm] $P(X=x_i)=\frac{1}{n}\,\, \forall x_i\in [/mm] W(X)$ gilt.
Nun müsste ich noch rausfinden um welche Verteilung es sich bei Y handelt.
Schreibt man sich das ganze mal mit endlich vielen Kugeln auf, erhält man folgendes:
[mm] $\underline{n=2}:$
[/mm]
Es sind die Tupel [mm] $\{(1,2); (2,1)\}$ [/mm] möglich
[mm] $\underline{n=3}:$
[/mm]
Es sind die Tupel [mm] $\{(1,2); (2,1); (1,3); (3,1); (2,3); (3,2)\}$ [/mm] möglich
[mm] $\underline{n=4}:$
[/mm]
Es sind die Tupel [mm] $\{(1,2); (2,1); (1,3); (3,1); (1,4); (4,1); (2,3); (3,2); (2,4); (4,2); (3,4); (4,3)\}$ [/mm] möglich
Insgesamt gibt es also immer [mm] $\frac{n!}{(n-k)!}$-Möglichkeiten.
[/mm]
Die Frage ist nun wieviele Möglichkeiten gibt es, dass jeweils die Zahlen $1,...,n-1$ als geringste auftauchen.
Im Falle n=2 wäre es 2 für die 1 und keine für die 2.
Im Falle n=3 wäre es 4-Möglichkeiten für die 1 und 2-Möglichkeiten für die 2, keine für die 3
Im Falle n=4 wäre es 6-Möglichkeiten für die 1 und 4-Möglichkeiten für die 2, 2-Möglichkeiten für die 3 und keine für die 4.
Man sieht also schon einmal, dass die Möglichkeiten für jede Zahl um 2 zunimmt. Die letzte Zahl hat immer die Wkt. 0.
Kurzum ich bekomme nicht wirklich ein Muster für die Zufallsvariable Y raus und kann damit auch nicht beantworten um welche Verteilung es sich handelt.
Hat vll. jemand einen Tip für mich?
Mfg. Frosch
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Hiho,
> (a) Wir haben also einen Ergebnisraum
> [mm]\Omega:=\{\omega=(\omega_1,\omega_2)| \omega_1,\omega_2\in \{1,...,n\}: \omega_1<\omega_2 \}[/mm]
ich nehme mal an, du willst mit [mm] \omega_1 [/mm] den ersten Zug modellieren und mit [mm] \omega_2 [/mm] den zweiten Zug. Warum sollte dann [mm] $\omega_1 [/mm] < [mm] \omega_2$ [/mm] gelten?
Man kann das natürlich so modellieren, dann musst du aber irgendwo vermerken, was der erste und was der zweite Zug war. Lange Rede, kurzer Sinn: Sinnvoller ist hier wohl
[mm]\Omega:=\{\omega=(\omega_1,\omega_2)| \omega_1,\omega_2\in \{1,...,n\}: \omega_1\not=\omega_2 \}[/mm]
> mit [mm]P(\{\omega_i\})=\frac{1}{n}[/mm].
Dein W-Maß soll ja ein W-Maß auf [mm] \Omega [/mm] (bzw genauer: Auf [mm] $\mathcal{P}\left(\Omega\right)$) [/mm] sein. Nun besteht dein [mm] \Omega [/mm] aus [mm] $\omega=(\omega_1,\omega_2)$, [/mm] d.h. ein Ausdruck der Form [mm] $P(\{\omega_i\})$ [/mm] ist gar nicht wohldefiniert, oder lapidar gesagt, macht keinen Sinn.
D.h. du solltest dir jetzt mal überlegen, was [mm] $P(\{\omega\}) [/mm] = [mm] P(\{(\omega_1,\omega_2)\})$ [/mm] sein könnte.
Deine Ansätze gehen schon in die richtige Richtung.
Allerdings ist das essentiell wichtig, da ein sauberes Modell dir die Hälfte der Arbeit abnimmt.
Natürlich stimmt deine Intuition, dass dann $P(X = k) = [mm] \bruch{1}{n}, k\in\{1,\ldots,n\}$ [/mm] gilt.
Aber modellieren wir erst einmal, dann ergibt sich der Rest fast von allein 
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 So 17.05.2015 | | Autor: | Frosch20 |
> Hiho,
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> > (a) Wir haben also einen Ergebnisraum
> > [mm]\Omega:=\{\omega=(\omega_1,\omega_2)| \omega_1,\omega_2\in \{1,...,n\}: \omega_1<\omega_2 \}[/mm]
>
> ich nehme mal an, du willst mit [mm]\omega_1[/mm] den ersten Zug
> modellieren und mit [mm]\omega_2[/mm] den zweiten Zug. Warum sollte
> dann [mm]\omega_1 < \omega_2[/mm] gelten?
> Man kann das natürlich so modellieren, dann musst du aber
> irgendwo vermerken, was der erste und was der zweite Zug
> war. Lange Rede, kurzer Sinn: Sinnvoller ist hier wohl
> [mm]\Omega:=\{\omega=(\omega_1,\omega_2)| \omega_1,\omega_2\in \{1,...,n\}: \omega_1\not=\omega_2 \}[/mm]
Oki :)
> > mit [mm]P(\{\omega_i\})=\frac{1}{n}[/mm].
>
> Dein W-Maß soll ja ein W-Maß auf [mm]\Omega[/mm] (bzw genauer: Auf
> [mm]\mathcal{P}\left(\Omega\right)[/mm]) sein. Nun besteht dein
> [mm]\Omega[/mm] aus [mm]\omega=(\omega_1,\omega_2)[/mm], d.h. ein Ausdruck
> der Form [mm]P(\{\omega_i\})[/mm] ist gar nicht wohldefiniert, oder
> lapidar gesagt, macht keinen Sinn.
Stimmt, das ist mir so garnicht aufgefallen.
> D.h. du solltest dir jetzt mal überlegen, was
> [mm]P(\{\omega\}) = P(\{(\omega_1,\omega_2)\})[/mm] sein könnte.
Okay, also die Wkt. dafür, dass ich im ersten Zug einen Zettel aus $n$-Zetteln wähle beträgt ja [mm] \frac{1}{n}.
[/mm]
Im nächsten Zug sind nur noch $n-1$-Zettel übrigt. Die Wkt. nun einen beliebigen Zettel zu ziehen beträgt [mm] \frac{1}{n-1}.
[/mm]
Also müsste:
[mm] $P(\{(\omega_1,\omega_2)\})=\frac{1}{n\cdot (n-1)}$
[/mm]
sein.
> Deine Ansätze gehen schon in die richtige Richtung.
> Allerdings ist das essentiell wichtig, da ein sauberes
> Modell dir die Hälfte der Arbeit abnimmt.
Ja vielen Dank. Das finde ich generell sehr wichtig, also exakt zu modellieren. Leider werden unsere Übungszettel nicht anständig korrigiert. Ich habe bereits auf meinem letzten Übungszettel nachgefragt, ob ich alles richtig modelliert habe. Es kam aber keine Korrektur zurück.
> Natürlich stimmt deine Intuition, dass dann [mm]P(X = k) = \bruch{1}{n}, k\in\{1,\ldots,n\}[/mm]
> gilt.
>
> Aber modellieren wir erst einmal, dann ergibt sich der Rest
> fast von allein
> Gruß,
> Gono
Mfg. Frosch
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Hiho,
> Also müsste:
>
> [mm]P(\{(\omega_1,\omega_2)\})=\frac{1}{n\cdot (n-1)}[/mm]
>
> sein.
ja.
Und wenn man sich [mm] \Omega [/mm] mal schön vorstellt, erkennt man relativ leicht (was ja auch hinter deine Wahrscheinlichkeit steckt), dass [mm] $|\Omega| [/mm] = n*(n-1)$ ist.
Wenn man sich das dann noch wie folgt aufschreibt, kann man die Verteilungen von X und Y schon fast ablesen, nämlich:
[mm] \begin{matrix}
(1,2) & (1,3) & (1,4) & \ldots & (1,n) \\
(2,1) & (2,3) & (2,4) & \ldots & (2,n) \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
(n,1) & (n,2) & (n,3) & \ldots & (n,n-1)
\end{matrix} [/mm]
Dann ist {X=k} nämlich einfach die Tupel der k-ten Spalte und damit $P(X=k) = [mm] (n-1)*\bruch{1}{n(n-1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}$
[/mm]
Nun überlege dir mal, wie du {Y=k} da schön ablesen könntest.
Gruß,
Gono.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 So 17.05.2015 | | Autor: | Frosch20 |
> Hiho,
>
> > Also müsste:
> >
> > [mm]P(\{(\omega_1,\omega_2)\})=\frac{1}{n\cdot (n-1)}[/mm]
> >
> > sein.
>
> ja.
> Und wenn man sich [mm]\Omega[/mm] mal schön vorstellt, erkennt man
> relativ leicht (was ja auch hinter deine Wahrscheinlichkeit
> steckt), dass [mm]|\Omega| = n*(n-1)[/mm] ist.
>
> Wenn man sich das dann noch wie folgt aufschreibt, kann man
> die Verteilungen von X und Y schon fast ablesen, nämlich:
>
> [mm]\begin{matrix}
(1,2) & (1,3) & (1,4) & \ldots & (1,n) \\
(2,1) & (2,3) & (2,4) & \ldots & (2,n) \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
(n,1) & (n,2) & (n,3) & \ldots & (n,n-1)
\end{matrix}[/mm]
>
>
> Dann ist {X=k} nämlich einfach die Tupel der k-ten Spalte
> und damit [mm]P(X=k) = (n-1)*\bruch{1}{n(n-1)} = \bruch{1}{n}[/mm]
Okay das kann ich nachvollziehen
> Nun überlege dir mal, wie du {Y=k} da schön ablesen
> könntest.
Okay, also sagen wir ich möchte das k die kleinste zahl ist. Dann muss ich in die k-te Spalte und die k-te Zeile gehen. Davon nehm ich dann jeweils die Zeile und die Spalte. Dabei wird eine Möglichkeit doppelt gezählt die ich wieder abziehen muss.
Das wären dann also:
[mm] $(n-k)\cdot [/mm] (n-k-1)$-Möglichkeiten
> Gruß,
> Gono.
Mfg. Lé Frog :)
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Hiho,
> Okay, also sagen wir ich möchte das k die kleinste zahl
> ist. Dann muss ich in die k-te Spalte und die k-te Zeile
> gehen. Davon nehm ich dann jeweils die Zeile und die
> Spalte. Dabei wird eine Möglichkeit doppelt gezählt die
> ich wieder abziehen muss.
>
> Das wären dann also:
>
> [mm](n-k)\cdot (n-k-1)[/mm]-Möglichkeiten
Ich glaube, da hast du einen Denkfehler drin: Du zählst ja nur die Anzahl an Tupel, also irgendwie sollte da eine Summe drin vorkommen.
Du hast natürlich recht, dass sich die "Action" in Zeile bzw Spalte k abspielt:
Die Zeile k hat (n-1) Einträge. Von denen ist k in (k-1) Einträgen der größere Wert und in (n-1)-(k-1) = n-k Einträgen der kleinere Wert.
Also erhalten wir: (n-k) Einträge für die Zeile.
Die Spalte k hat n Einträge, von denen ist k in k-1 Einträgen gar nicht enthalten (die mit der Zahl k befinden sich die ersten k-1 Einträge noch in Spalte k-1) und ist in n-(k-1) = n-k+1 Einträgen die kleinere Zahl.
Also erhalten wir n-k+1 für die Spalte.
Insgesamt haben wir also: (n-k)+(n-k+1) = 2(n-k)+1 Einträge, wobei wir das Tupel der Kreuzung doppelt gezählt haben. (Und siehe da, das ist deine Formel nur mit nem + statt nem [mm] \cdot [/mm]  )
Also erhalten wir: [mm] $|\{Y=k\}|=2(n-k)$
[/mm]
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Di 19.05.2015 | | Autor: | Frosch20 |
Erstmal vielen dank für deine Hilfe Gono :)
> Hiho,
>
> > Okay, also sagen wir ich möchte das k die kleinste zahl
> > ist. Dann muss ich in die k-te Spalte und die k-te Zeile
> > gehen. Davon nehm ich dann jeweils die Zeile und die
> > Spalte. Dabei wird eine Möglichkeit doppelt gezählt die
> > ich wieder abziehen muss.
> >
> > Das wären dann also:
> >
> > [mm](n-k)\cdot (n-k-1)[/mm]-Möglichkeiten
>
> Ich glaube, da hast du einen Denkfehler drin: Du zählst ja
> nur die Anzahl an Tupel, also irgendwie sollte da eine
> Summe drin vorkommen.
> Du hast natürlich recht, dass sich die "Action" in Zeile
> bzw Spalte k abspielt:
>
> Die Zeile k hat (n-1) Einträge. Von denen ist k in (k-1)
> Einträgen der größere Wert und in (n-1)-(k-1) = n-k
> Einträgen der kleinere Wert.
> Also erhalten wir: (n-k) Einträge für die Zeile.
>
> Die Spalte k hat n Einträge, von denen ist k in k-1
> Einträgen gar nicht enthalten (die mit der Zahl k befinden
> sich die ersten k-1 Einträge noch in Spalte k-1) und ist
> in n-(k-1) = n-k+1 Einträgen die kleinere Zahl.
> Also erhalten wir n-k+1 für die Spalte.
>
> Insgesamt haben wir also: (n-k)+(n-k+1) = 2(n-k)+1
> Einträge, wobei wir das Tupel der Kreuzung doppelt
> gezählt haben. (Und siehe da, das ist deine Formel nur mit
> nem + statt nem [mm]\cdot[/mm] )
Ich weiss grade auch nicht mehr warum ich da nen [mm] "\cdot", [/mm] statt eines "+" hingeschrieben habe.
> Also erhalten wir: [mm]|\{Y=k\}|=2(n-k)[/mm]
Okay vielen dank.
Ich habe nun bereits auch die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der beiden Zufallsvariablen
aufgestellt:
[mm] $P\left(X=k,Y=j\right)=\begin{cases}
\frac{n-k}{n\left(n-1\right)} & \mbox{für }k=j\\
\frac{1}{n\left(n-1\right)} & \mbox{für }jk
\end{cases}$
[/mm]
Ist diese so erstmal korrekt?
(c) Hier komme ich nun nicht mehr weiter:
$ Z := X-Y $. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $ Z $ unter Verwendung der gemeinsamen Verteilung von $ X $ und $ Y $ an
Also $Z$ substrahiert die kleinste Zahl, von der erst gezogene Zahl. Damit kann Z, also den Wert $0$ oder einen Wert $>0$ annehmen.
Nun soll man dazu offensichtlich die Gemeinsame verteilung nutzen, das bedeutet:
[mm] $Z\left(\left\{ \left(k,j\right)\right\} \right)=\begin{cases}
k-k & \mbox{falls }k= j\\
k-j & \mbox{falls }k>j
\end{cases}$
[/mm]
Dann wäre aber doch:
[mm] P_{Z}(\{k,j\})=\begin{cases}
\frac{n-k}{n\left(n-1\right)} & \mbox{ für }k=j\\
\frac{1}{n\left(n-1\right)} & \mbox{ für }k>j
\end{cases}
[/mm]
Also irgendwie hätte ich hier genau die gleiche Verteilung oder ich verstehe irgendetwas grundsätzlich falsch bei dieser Aufgabe.
Mfg. Frosch
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Hiho,
> Ich habe nun bereits auch die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der beiden
> Zufallsvariablen aufgestellt:
>
> [mm]$P\left(X=k,Y=j\right)=\begin{cases}
\frac{n-k}{n\left(n-1\right)} & \mbox{für }k=j\\
\frac{1}{n\left(n-1\right)} & \mbox{für }jk
\end{cases}$[/mm]
>
>
> Ist diese so erstmal korrekt?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Sind X und Y nun unabhängig? Insbesondere der letzte Fall der Verteilung könnte darüber Aufschluss geben.
> (c) Hier komme ich nun nicht mehr weiter:
Hier denkst du viel zu kompliziert:
$P(Z = z) = [mm] \sum_{k=1}^n [/mm] P(X=k,Z=z) = [mm] \sum_{k=1}^n [/mm] P(X=k,X-Y=z) = [mm] \sum_{k=1}^n P(X=k,k-Y=z)=\ldots$
[/mm]
Mach du mal weiter.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Di 19.05.2015 | | Autor: | Frosch20 |
> Hiho,
>
> > Ich habe nun bereits auch die
> Wahrscheinlichkeitsverteilungen der beiden
> > Zufallsvariablen aufgestellt:
> >
> > [mm]$P\left(X=k,Y=j\right)=\begin{cases}
\frac{n-k}{n\left(n-1\right)} & \mbox{für }k=j\\
\frac{1}{n\left(n-1\right)} & \mbox{für }jk
\end{cases}$[/mm]
>
> >
> >
> > Ist diese so erstmal korrekt?
>
> Sind X und Y nun unabhängig? Insbesondere der letzte Fall
> der Verteilung könnte darüber Aufschluss geben.
Nein, X und Y sind Abhängig voneinander.
Das sieht man bereits daran, dass die Wkt. für j>k 0 beträgt.
> > (c) Hier komme ich nun nicht mehr weiter:
>
> Hier denkst du viel zu kompliziert:
> [mm]P(Z = z) = \sum_{k=1}^n P(X=k,Z=z) = \sum_{k=1}^n P(X=k,X-Y=z) = \sum_{k=1}^n P(X=k,k-Y=z)=\ldots[/mm]
Ich verstehe noch nicht wieso die erste Gleichheit gilt.
Aber ich denke nochmal eben darüber nach.
Edit: Also gut es ist schon irgendwie logisch, dass $P(Z = z) = [mm] \sum_{k=1}^n [/mm] P(X=k,Z=z)$ gilt. Jede Differnez ergibt sich ja aus den Unterschiedlichen zuerst gezogenen Zahlen. Jedes dieser Ereignisse ist unabhängig voneinander und erhöht die Wkt. für die Differenz.
Ich wäre da nur so irgendwie nie drauf gekommen.
> Mach du mal weiter.
[mm] \sum_{k=1}^n [/mm] P(X=k,k-Y=z)= [mm] \sum_{k=1}^n [/mm] P(X=k,Y=k-z)
Damit sollte ich theor. schon fertig sein, da ich $Z$ durch $X$ und $Y$ ausgedrückt habe.
> Gruß,
> Gono
Mfg. Frosch
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Hiho,
> Ich verstehe noch nicht wieso die erste Gleichheit gilt.
> Aber ich denke nochmal eben darüber nach.
>
> Edit: Also gut es ist schon irgendwie logisch, dass [mm]P(Z = z) = \sum_{k=1}^n P(X=k,Z=z)[/mm] gilt. Jede Differnez ergibt sich ja aus den
> Unterschiedlichen zuerst gezogenen Zahlen. Jedes dieser
> Ereignisse ist unabhängig voneinander und erhöht die Wkt.
> für die Differenz.
> Ich wäre da nur so irgendwie nie drauf gekommen.
Ja, ABER: Das hat erstmal nichts mit der Differenz zu tun, sondern mit folgendem:
Seien [mm] $A_k$ [/mm] Ereignisse, so dass [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \bigcup_{k=1}^n A_k$.
[/mm]
Dann gilt erstmal sicher für jedes andere Ereignis B:
$B = B [mm] \cap \Omega [/mm] = B [mm] \cap \left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right) [/mm] = [mm] \bigcup_{k=1}^n [/mm] (B [mm] \cap A_k)$
[/mm]
Sind die [mm] A_k [/mm] zusätzlich disjunkt, sind es auch die [mm] $B\cap A_k$ [/mm] und damit gilt:
$P(B) = [mm] P\left(\bigcup_{k=1}^n (B \cap A_k)\right) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^n P(B\cap A_k)$
[/mm]
Obiges gilt auch für [mm] $n=\infty$.
[/mm]
Das erstmal zur Theorie.
Bei dir gilt eben [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \bigcup_{k=1}^n \{X = k\} [/mm] da X: [mm] \Omega \to \{1,\ldots n\}$ [/mm] und damit kannst du die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses als Summe der Ereignisse darstellen, wo gleichzeitig X=k gilt.
Das ist ein beliebter Trick bei diskreten Zufallsvariablen.
> Damit sollte ich theor. schon fertig sein, da ich [mm]Z[/mm] durch [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] ausgedrückt habe.
Na na na, das kannst du aber noch weiter vereinfachen! Beispielsweise weißt du sicher, dass deine Summe erst da losläuft, wo $z-k [mm] \le [/mm] k$ und insbesondere kennst du denn Fall $z-k = k$, der aber nicht immer auftritt!
Versuche mal eine Darstellung nur in Abhängigkeit von n und z zu finden.
Gruß,
Gono
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