Wirkung einer Gruppe G < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:09 Do 02.12.2004 | | Autor: | Phlipper |
Hilfe bei Ansatz ! Bitte !
Es sei f eine Wirkung der Gruppe G auf X. Man zeige, daß für [mm] \emptyset= [/mm] X` [mm] \subseteq [/mm] X dieMenge G´={g [mm] \in [/mm] G: [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] X´ gilz f(g,x) = x} eine Untergruppe von G ist (die Isotropiegruppe der Menge X).
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Grüße!
Diese Gruppe heißt manchmal auch "Standgruppe" eines Elementes bzw. einer Menge $X'$.
Wo genau liegt Dein Problem? Wenn Du weißt, was eine Operation einer Gruppe auf einer Menge ist und wenn Du weißt, was eine Untergruppe ist, dann ist diese Aufgabe wirklich einfach.
Also nochmal die Begriffe: eine Operation (oder Wirkung) $f$ einer Gruppe $G$ auf einer Menge $X$ ist eine Abbildung:
$f: G [mm] \times [/mm] X [mm] \to [/mm] X$, die folgende Eigenschaften erfüllt:
i) $f(e,x) = x$ für jedes $x [mm] \in [/mm] X$. (Dabei bezeichnet $e [mm] \in [/mm] G$ das neutrale Element der Gruppe.)
ii) $f(g,f(h,x)) = f (g [mm] \circ [/mm] h, x)$ für $g,h [mm] \in [/mm] G$ und $x [mm] \in [/mm] X$ beliebig.
Und bei einer Menge $U [mm] \subseteq [/mm] G$ handelt es sich um eine Untergruppe, falls
i) $e [mm] \in [/mm] U$
ii) $g,g' [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] g [mm] \circ [/mm] g' [mm] \in [/mm] U$
iii) $g [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow g^{-1} \in [/mm] U$
Oder alternativ:
i) $U [mm] \not= \emptyset$
[/mm]
ii) $g, h [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow g\circ h^{-1} \in [/mm] U$
Geht hier beides, aber das erste geht fast noch schneller, glaube ich.
Also dann, frisch ans Werk! 
Lars
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