Winkel zwischen zwei Schiffen < Maschinenbau < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Aufgabenstellung findet sich hier:
http://abload.de/img/01_g03pxsp9.jpg |
Mein Problem dabei ist, die beiden Winkel einzeln rauszukriegen, ich weiß gar nicht ob das mit den gegebenen Werten überhaupt möglich ist und wenn ja wie.
Ich kriege nur den Winkel [mm] (\alpha [/mm] + [mm] \beta) [/mm] raus, nämlich 68,2°. Aber wie schließe ich daraus auf die beiden einzelnen Werte?
Hier mal meine Rechnung im Detail:
[mm] \summe F_{ix} [/mm] = 0 : [mm] S_{2}cos\alpha [/mm] + [mm] S_{3}cos\beta [/mm] - [mm] Fcos\gamma [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow Fcos\gamma [/mm] = [mm] S_{2}cos\alpha [/mm] + [mm] S_{3}cos\beta
[/mm]
[mm] \summe F_{iy} [/mm] = 0 : [mm] S_{2}sin\alpha [/mm] - [mm] S_{3}sin\beta [/mm] - [mm] Fsin\gamma [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow Fsin\gamma [/mm] = [mm] S_{2}cos\alpha [/mm] - [mm] S_{3}cos\beta
[/mm]
Ich habe in meinem Freikörperbild die Kraft F sicherheitshalber unter einem unbekannten Winkel Gamma angenommen, macht aber rechnerisch keinen Unterschied, kürzt sich ja später raus.
Mein nächster Schritt war es die beiden Gleichgungen zu quadrieren:
I) [mm] F^{2}cos^{2}\gamma [/mm] = [mm] S_{2}^{2}cos^{2}\alpha [/mm] + [mm] 2S_{2}S_{3}cos\alpha cos\beta [/mm] + [mm] S_{3}^{2}cos^{2}\beta
[/mm]
II) [mm] F^{2}sin^{2}\gamma [/mm] = [mm] S_{2}^{2}sin^{2}\alpha [/mm] - [mm] 2S_{2}S_{3}sin\alpha sin\beta [/mm] + [mm] S_{3}^{2}sin^{2}\beta
[/mm]
Dann addiert:
I + II) [mm] F^{2}cos^{2}\gamma [/mm] + [mm] F^{2}sin^{2}\gamma [/mm] = [mm] S_{2}^{2}cos^{2}\alpha [/mm] + [mm] 2S_{2}S_{3}cos\alpha cos\beta [/mm] + [mm] S_{3}^{2}cos^{2}\beta [/mm] + [mm] S_{2}^{2}sin^{2}\alpha [/mm] - [mm] 2S_{2}S_{3}sin\alpha sin\beta [/mm] + [mm] S_{3}^{2}sin^{2}\beta
[/mm]
Gekürzt:
[mm] F^{2}(cos^{2}\gamma [/mm] + [mm] sin^{2}\gamma) [/mm] = [mm] S_{2}^{2}(cos^{2}\alpha [/mm] + [mm] sin^{2}\alpha) [/mm] + [mm] S_{3}^{2}(cos^{2}\beta [/mm] + [mm] sin^{2}\beta) [/mm] + [mm] 2S_{2}S_{3}cos\alpha cos\beta [/mm] - [mm] 2S_{2}S_{3}sin\alpha sin\beta
[/mm]
[mm] \gdw F^{2} [/mm] = [mm] S_{2}^{2} [/mm] + [mm] S_{3}^{2} [/mm] + [mm] 2S_{2}S_{3}(cos\alpha cos\beta [/mm] - [mm] sin\alpha sin\beta)
[/mm]
[mm] \gdw F^{2} [/mm] = [mm] S_{2}^{2} [/mm] + [mm] S_{3}^{2} [/mm] + [mm] 2S_{2}S_{3}cos(\alpha [/mm] + [mm] \beta)
[/mm]
Und wenn ich da die Zahlenwerte für F, [mm] S_{2} [/mm] und [mm] S_{3} [/mm] eingebe und nach [mm] cos(\alpha [/mm] + [mm] \beta) [/mm] auflöse bekomme ich für den [mm] cos(\alpha [/mm] + [mm] \beta) [/mm] = [mm] \bruch{26}{70} [/mm] raus und für den Winkel [mm] (\alpha [/mm] + [mm] \beta) [/mm] = 68,2°.
Nun ist ja in der Aufgabenstellung nach den sich einstellendEN WinkelN gefragt, also wollen die beide Winkel einzeln habe. Bloß, wie kriege ich die? Hilft mir das, was ich jetzt habe überhaupt? Oder ist das schon die Lösung und präziser gehts nicht?
Danke schonmal und sorry nochmal, dass ich mich beim letzten Thema so spät erst gemeldet habe.
Achja und natürlich:
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo AndrThadk,
die Annahme von [mm] \gamma [/mm] kannst Du Dir tatsächlich ersparen.
Ansonsten müssen hier doch nur zwei Gleichungen erfüllt sein:
(I) [mm] S_2\cos{\alpha}+S_3\cos{\beta}=F_1 [/mm] (longitudinal)
(II) [mm] S_2\sin{\alpha}+S_3\sin{\beta}=0 [/mm] (lateral)
Daraus kannst Du die beiden Winkel bestimmen.
Grüße
reverend
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Hm ja, so habe ich es auch schon versucht, hat mich aber nicht weitergeführt, daher habe ich die kompliziertere Variante versucht.
Ich hab doch 4 Unbekannte und 2 Gleichgungen. Ich dreh mich da immer im Kreis und krieg nix sinnvolles raus, höchstens [mm] cos\alpha [/mm] = [mm] cos\alpha [/mm] oder sowas.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Mi 29.01.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo AndrThadk!
Mit den beiden Gleichungen, welche Dir reverend oben genannt hat, haben wir ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten ( [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] ) sowie zwei Gleichungen.
Wo sind die beiden weiteren Unbekannten? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Gruß
Loddar
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Ich seh [mm] cos\alpha [/mm] , [mm] cos\beta [/mm] , [mm] sin\alpha [/mm] , und [mm] sin\beta [/mm] als Unbekannte.
Aus der ersten Gleichung kriege ich
[mm] cos\alpha [/mm] = [mm] \bruch{F - S_{3}cos\beta }{S_{2}} [/mm] oder
[mm] cos\beta [/mm] = [mm] \bruch{F - S_{2}cos\alpha }{S_{3}}
[/mm]
Wenn ich das für z.B. [mm] cos\alpha [/mm] in die erste Gleichung einsetze, kriege ich:
I) [mm] S_{2}*(\bruch{F - S_{3}cos\beta }{S_{2} }) [/mm] + [mm] S_{3}cos\beta [/mm] = F
Dann kriege ich
F - [mm] S_{3}cos\beta [/mm] + [mm] S_{3}cos\beta [/mm] = F
also, F = F.
Andersrum genauso.
Und bei der zweiten Gleichung komme ich auch nicht weiter. Welchen Fehler mache ich, was überseh ich?
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Hallo nochmal,
so kann das auch nichts werden. Du verlierst das Ziel aus den Augen.
Wenn Du die erste Gleichung umformst und das Ergebnis dann wieder in die erste Gleichung einsetzst, kann ja nur eine Tautologie entstehen. Das wäre auch bei linearen Gleichungssystemen nicht anders.
Natürlich musst Du die aus der einen Gleichung gewonnene Information in die jeweils andere Gleichung einfließen lassen.
Ich ersetze mal direkt die Zahlenwerte. Wir hatten:
(I) [mm] 7\cos{\alpha}+5\cos{\beta}=10 [/mm] und
(II) [mm] 7\sin{\alpha}-5\sin{\beta}=0
[/mm]
Aus (II) folgt [mm] \sin{\beta}=\br{7}{5}\sin{\alpha}.
[/mm]
Das in (I) einsetzen:
[mm] (I)\Rightarrow 7\cos{\alpha}+5\wurzel{1-\left(\br{7}{5}\sin{\alpha}\right)^2}=10
[/mm]
Aus Schreibfaulheit setze ich mal [mm] s:=\sin^2{\alpha}. [/mm] Weiter:
[mm] \Rightarrow 7\wurzel{1-s}+5\wurzel{1-\left(\br{7}{5}\right)^2s}=10
[/mm]
Jetzt gibt es mehrere Möglichkeiten. In jedem Fall wird zweimal quadriert werden müssen. Ich entscheide mich wieder für weniger Schreiben...
[mm] \gdw 5\wurzel{1-\left(\br{7}{5}\right)^2s}=10+7\wurzel{1-s}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 25\left(1-\br{49}{25}s\right)=100+49(1-s)+140\wurzel{1-s}
[/mm]
[mm] \gdw 25-49s-100-49+49s=140\wurzel{1-s}
[/mm]
[mm] \gdw -\br{31}{35}=\wurzel{1-s}
[/mm]
[mm] \Rightarrow s=1-\br{31^2}{35^2}=\br{264}{1225}
[/mm]
mit Resubstitution folgt also
[mm] \Rightarrow \sin{\alpha}=\br{2\wurzel{66}}{35}
[/mm]
Hier interessiert nur der positive Wurzelwert.
Es ergibt sich [mm] \alpha\approx 27,66^{\circ}.
[/mm]
[mm] \beta [/mm] kriegst Du dann sicher allein hin, oder?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:02 Do 30.01.2014 | | Autor: | AndrThadk |
Danke, hat mir ebenfalls sehr geholfen. Ich hab so meine Probleme mit Trigonometrie und die Möglichkeit den Cosinus durch den Sinus zu ersetzen und umgekehrt war mir gar nicht so bewusst. Mit dem Hinweis hat es ebenfalls sofort geklappt, danke! Wenngleich das hier bei der Aufgabe wohl mit Kanonen auf Spatzen geschossen ist, da wohl einfach nur erwartet wurde, dass man den Cosinussatz anwendet.
> [mm]\Rightarrow 7\wurzel{1-s}+5\wurzel{1-\left(\br{7}{5}\right)^2s}=10[/mm]
>
> ...
>
> [mm]\gdw 5\wurzel{1-\left(\br{7}{5}\right)^2s}=10- 7\wurzel{1-s}[/mm]
>
Wenn du die [mm] 7\wurzel{1-s} [/mm] rüber bringst, müsste es eigentlich minus sein, statt plus.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:14 Do 30.01.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Danke, hat mir ebenfalls sehr geholfen. Ich hab so meine
> Probleme mit Trigonometrie und die Möglichkeit den Cosinus
> durch den Sinus zu ersetzen und umgekehrt war mir gar nicht
> so bewusst. Mit dem Hinweis hat es ebenfalls sofort
> geklappt, danke! Wenngleich das hier bei der Aufgabe wohl
> mit Kanonen auf Spatzen geschossen ist, da wohl einfach nur
> erwartet wurde, dass man den Cosinussatz anwendet.
Dass das viel einfacher ist, habe ich dann auch gemerkt...
> > [mm]\Rightarrow 7\wurzel{1-s}+5\wurzel{1-\left(\br{7}{5}\right)^2s}=10[/mm]
>
> >
> > ...
> >
> > [mm]\gdw 5\wurzel{1-\left(\br{7}{5}\right)^2s}=10- 7\wurzel{1-s}[/mm]
>
> >
> Wenn du die [mm]7\wurzel{1-s}[/mm] rüber bringst, müsste es
> eigentlich minus sein, statt plus.
Stimmt natürlich.
Interessant, dass trotzdem das richtige Ergebnis rauskommt. Das schau ich mir später mal an, muss gerade arbeiten...
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:56 Do 30.01.2014 | | Autor: | AndrThadk |
Liegt wohl daran, dass man hinterher nochmal quadrieren muss und das ganze dann sowieso positiv wird. Ist natürlich glücklicher Zufall bei der Aufgabe, hätten wir vorher noch eine andere Zahl mit 35 im Nenner, hätte das dein Ergebnis wohl verfälscht.
Nochmal danke für die Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Mi 29.01.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo AndrThadk!
> Und wenn ich da die Zahlenwerte für F, [mm]S_{2}[/mm] und [mm]S_{3}[/mm]
> eingebe und nach [mm]cos(\alpha[/mm] + [mm]\beta)[/mm] auflöse bekomme ich
> für den [mm]cos(\alpha[/mm] + [mm]\beta)[/mm] = [mm]\bruch{26}{70}[/mm] raus und für
> den Winkel [mm](\alpha[/mm] + [mm]\beta)[/mm] = 68,2°.
Was hält Dich denn nun ab, [mm] $\beta [/mm] \ = \ [mm] 68{,}2^\circ-\alpha$ [/mm] in einer der beiden Bestimmungsgleichungen einzusetzen?
Gruß
Loddar
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Meinst du mit Bestimmungsgleichungen eine der der beiden Gleichungen ( I / II ) ganz oben?
Falls ja, was bringt mir das an der Stelle?
Wenn ich das einsetze kriege ich:
F = [mm] S_{2}cos\alpha [/mm] + [mm] S_{3}cos(68,2° [/mm] - [mm] \alpha [/mm] )
Ich wüsste nicht, wie ich da weitermachen soll.
Den cos von [mm] \alpha [/mm] kann ich nicht berechnen, weil ich den cos von (68,2° - [mm] \alpha [/mm] ) nicht kenne, den ich nicht berechnen kann, weil ich den cos von [mm] \alpha [/mm] nicht kenne, den...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Mi 29.01.2014 | | Autor: | Calli |
Hier mal eine zeichnerische Lösung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ciao
Edit: Mathematische Lösung über Cosinus-Satz ![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:23 Mi 29.01.2014 | | Autor: | AndrThadk |
Jaa vielen dank, das hat mir sehr weitergeholfen.
Auch auf die rechnerische Lösung bin ich nicht gekommen... Ich hab da viel zu kompliziert gedacht mit den Gleichgewichtsbedingungen. Danke, danke danke!
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